Proste równoległe i prostopadłe

4. Proste równoległe i prostopadłe
Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem
innym niż prosty..
Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je
prostymi prostopadłymi.
przykład:
Jeśli proste przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je
prostymi równoległymi.
przykład:
Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli
możemy wykazać ich położenie względem siebie za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej.
Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli a.
Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y.
Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
oraz
b nas nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą, skupiamy się na
współczynnikach a obu prostych.
W przypadku badania równoległości mamy:
Jeżeli
to proste są równoległe. *
Jeśli
, to proste nie są równoległe. *
Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy wzory prostych do postaci kierunkowych czyli:
oraz
i skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli
to proste są prostopadłe, a jeżeli
to proste nie są
prostopadłe. *
Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach 3x + y + 2 = 0 i 6x + 2y + 2 = 0 są równoległe lub prostopadłe.
Pierwszym krokiem jest zawsze wyliczenie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci
kierunkowych. Najpierw pierwszy:
3x + y + 2 = 0
y = −3x − 2
a teraz drugi wzór:
6x + 2y + 2 = 0
2y= −6x − 2 |: 2
y = −3x − 1
Mamy już dwa równania prostych:
y = −3x − 2
y = −3x − 1
Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku −3:
a1 = −3
a2 = −3
Widzimy , że współczynniki kierunkowe obu prostych są równe czyli proste są równoległe.
Dla porządku możemy jeszcze sprawdzić prostopadłość:
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
Zadanie 1.
Prosta o równaniu
że
jest prostopadła do prostej o równaniu
. Stąd wynika,
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej
m=3
odp. D
Zadanie 2.
Prosta l ma równanie y = - x + 7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.
odp. C
Zadanie 3.
Prostymi równoległymi są wykresy funkcji liniowych:
odp. D
Zadanie 4.
są prostopadłe, jeżeli
Proste:
R:
a1 = -3
a2 =
a1 a2 = - 3
= - 3∙
+ 3 ∙ = - a2 + 4
- a2 + 4 = -1
- a2 = -5 /: (-1)
a2 = 5
to a= √5
lub a = -√5
odp. D
Zadanie 5.
Prostą przechodzącą przez punkt A = (1,1) i równoległą do prostej y = 0,5x - 1 opisuje równanie
Szukana prosta ma współczynnik kierunkowy równy 0,5 bo jest równoległa do prostej
y = 0,5x – 1; ten warunek spełnia tylko odpowiedź B. Możemy jeszcze sprawdzić, czy punkt A
należy do tej prostej, ale to tylko formalność Wstawiamy współrzędne punktu C w miejsce x, y
i mamy równość: 1=
1=1
odp. B
Zadanie 6.
Proste l i k są prostopadłe i l: 2x - 9y + 6 = 0, k: y = ax + b. Wówczas:
R:
Przekształcamy prostą l do postaci kierunkowej:
2x – 9y + 6 = 0
- 9y = -2x – 6 / : (-9)
a1 =
y=
2a = - 9
/:2
a2 = a
a = - 4,5
a1 ∙ a2 = -1 więc
/∙9
odp. C
Zadanie 7.
Prosta prostopadła do prostej l o równaniu 4x - 5y + 6 = 0 ma wzór:
Przekształcamy wzór prostej l do postaci kierunkowej:
4x – 5y + 6 = 0
-5y = - 4x – 6 /: (-5)
y= x+
prosta l ma współczynnik kierunkowy: a1=
szukana prosta ma współczynnik kierunkowy a2
mamy więc
/:
i
a2 = -1
a1 ∙ a2 = -1
=
odp. D
Zadanie 8.
Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x - 4y = 5.
R:
przekształcamy równanie podanej prostej do postaci kierunkowej:
- 4y = - 2x + 5 / : (- 4)
współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi a1 =
y=
współczynnik kierunkowy szukanej prostej oznaczmy a2
a1 ∙ a2 = -1
podstawiamy:
/
to a2 = -2
odp. D
Zadanie 9.
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = -3x + 5 jest równy
odp. B.
Zadanie 10.
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x - 6y + 15 = 0
Zadanie 11.
Wyznacz wszystkie m dla których prosta o równaniu y = (m - 1)x + 5 jest
a. rosnąca
m – 1 > 0 czyli m >1
b. równoległa do prostej y = -6x + 3
m=-6
Zadanie 12.
Wyznacz wszystkie m dla których prosta o równaniu y = (3 - 2m)x + 5 jest
a. malejąca
3 – 2m < 0 czyli …..
b. prostopadła do prostej y = 2x-3 (3 – 2m) ∙ 2 = - 1
to 6 – 4m = -1
Zadanie 13.
Proste o równaniach y = 2x - 5 i y = (3 - m)x + 4 są równoległe. Wynika stąd, że
to
Zadanie 14.
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = 2x - 7.
Zadanie 15.
Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = 4x + 5
Zadanie 17.
Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu
Zadanie 18.
Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej równoległej do l.
Zadanie 19.
Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l.
Zadanie 20.
Prosta l ma równanie 2y - x = 4. Wskaż równanie prostej równoległej do l.
Zadanie 21.
Prostą równoległą do prostej o równaniu
jest prosta opisana równaniem
Zadanie 22.
Proste o równaniach -3y - mx + 12 = 0 oraz y = 6x - 12 są prostopadłe dla m równego:
Zadanie 23.
Dane są równania czterech prostych:
Prostopadłe są proste:
A. l i n
B. l i m
C. k i n
D. k i m