materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl

materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl
Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x − 2y + 2 = 0 i przechodzącej
przez punkt P = (4, 1).
Proste równoległe i prostopadłe
Proste równoległe mają
ten sam współczynnik kierunkowy.
y
2
3x − 2y + 2 = 0
y=
x
2x
3
2x
−1
y=
3
2x
y=
2x
Prosta y =
: (−2)
+1
3
2x
Szukana prosta y = ax + b jest równoległa do y =
+ 1, więc a = 32 .
+ b przechodzi przez punkt A = (4, 1), więc
3
6 21 ·
1=
6 42 + b
1=6+b
y=
y
x
−2
−3
y=
1
−1
−2y = −3x − 2
a1 = a2
−1 1
+2
Rozwiązanie:
Znajduję postać kierunkową prostej.
1 x
2
−1
1−6=b
Proste prostopadłe mają
współczynniki kierunkowe spełniające wzór:
x
b = −5
Odp. Równanie szukanej funkcji liniowej to y =
a1 · a2 = −1
3
2x
− 5.
−3
np. −2 ·
1
2
= −1
Znajdź równanie funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do y = 3x − 2 i przechodzi
przez punkt A = (6, 3).
Rozwiązanie:
Szukana prosta y = ax + b jest prostopadła do y = 3x − 2, więc
Znajdź równanie funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do y = 2x + 4 i przechodzi
przez punkt A = (3, 7).
a · 3 = −1
a=
Rozwiązanie:
Szukana prosta y = ax + b jest równoległa do y = 2x + 6, więc a = 2.
:3
− 13
Prosta y = − 13 x + b przechodzi przez punkt A = (6, 3), więc
Prosta y = 2x + b przechodzi przez punkt A = (3, 7), więc
3 = − 6 311 · 6 62 + b
7=2·3+b
3 = −2 + b
7−6=b
b=1
3+2=b
b=5
Odp. Równanie szukanej funkcji to y = − 13 x + 5.
Odp. Równanie funkcji liniowej to y = 2x + 1
— matematyka.pisz.pl —
1
— matematyka.pisz.pl —
Odp. Współczynniki kierunkowe a1 = 2 i a2 = 2 są równe, więc proste są równoległe.
Znajdź równanie funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do x−3y +15 = 0 i przechodzi
przez punkt A = (−2, −4).
Rozwiązanie:
Które z podanych par prostych są prostopadłe?
Znajduję postać kierunkową prostej.
y = 2x + 3 i
x − 3y + 15 = 0
−3y = −x − 15
1
3
· a = −1
a = −1 ·
y = 3x + 2 i
y = −2x + 3
Rozwiązanie:
: (−3)
Proste są prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy −1.
y = 31 x + 5
Szukana prosta y = ax + b jest prostopadła do y =
y = − 12 x + 4
1
3x
+ 5, więc
1
3
:
y = 2x + 3 i
y = − 21 x + 4
a1 · a2 = 2 · (− 21 ) = −1
Odp. Proste y = 2x + 3 i = − 12 x + 4 są prostopadłe.
3
1
a = −3
y = 3x + 2 i
y = −2x + 3
a1 · a2 = 3 · (−2) = −6 6= −1
y = −3x + b
Odp. Proste y = 3x + 2 i y = −2x + 3 nie są prostopadłe.
Prosta y = −3x + b przechodzi przez punkt A = (−2, −4), więc
−4 = −3 · (−2) + b
−4 = 6 + b
Znajdź równanie funkcji liniowej, która ma miejsce zerowe równe 6, a jej wykres jest prostopadły
do y = 2x + 6.
−4 − 6 = b
Rozwiązanie:
b = −10
Szukana prosta y = ax + b jest prostopadła do y = 2x + 6, więc
Odp. Równanie szukanej funkcji to y = −3x − 10.
a · 2 = −1
:2
a = − 21
Które z podanych par prostych są równoległe?
y = 3x − 2 i
y = −2x + 5
Prosta y = − 12 x + b ma miejsce zerowe 6, więc
y = 2x − 1 i
y = 2x + 8
0 = − 12 · 6 + b
Rozwiązanie:
0 = −3 + b
Proste są równoległe, jeżeli mają ten sam współczynnik kierunkowy a.
3=b
y = 3x − 2 i
Odp. Równanie szukanej funkcji to y = − 12 x + 3.
y = −2x + 5
Odp. Współczynniki kierunkowe a1 = 3 i a2 = −2 są różne, więc proste nie są równoległe.
y = 2x − 1 i
Punkty B = (0, 10) i O = (0, 0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB , w którym
| OAB| = 90◦ . Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu y = 12 x. Oblicz
y = 2x + 8
— matematyka.pisz.pl —
2
— matematyka.pisz.pl —
współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.
(
y = −2x + 10
y = 21 x
Rozwiązanie:
x
1
2x
y=
−2
0
2
−1
0
1
−2x + 10 = 12 x
−2x − 12 x = −10
y
−2 12 x = −10
B
: − 52
x = −10 · − 25
l:
− 52 x = −10
y=
+
ax
b
y
k:
=
1 x
2
x=4
y = 21 · 4 = 2
A
A = (4, 2)
x
O
Długość przyprostokątnej OA to odległość punktów O = (0, 0) i A = (4, 2) od siebie
p
(4 − 0)2 + (2 − 0)2 = 42 + 22 =
√
√
√
= 16 + 4 = 20 = 4 · 5 =
√
=2 5
|OA| =
p
√
Odp. A = (4, 2), |OA| = 2 5
1
2x
Prosta k : y =
jest prostopadła do l : y = ax + b, a więc ich współczynniki kierunkowe
spełniają równanie:
1
2
· a = −1
a = −1 :
:
1
2
1
2
a = −1 · 2
a = −2
Do prostej l : y = −2x+b należy punkt B = (0, 10), a więc współrzędne punktu B spełniają
równanie prostej l
10 = −2 · 0 + b
10 = b
b = 10
Punkt A jest to punkt przecięcia prostych l : y = −2x + 10 i k : y =
można znaleźć rozwiązując układ równań:
— matematyka.pisz.pl —
1
2 x.
Jego współrzędne
3
— matematyka.pisz.pl —