Egzamin z Analizy funkcjonalnej i wypukłej 8.02.2013 grupa I

Wydział Zastosowań Informatyki i Matematyki
Egzamin z Analizy funkcjonalnej
i wypukłej
8.02.2013 grupa I
Imię: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr. albumu:
.................................
1. Sprawdzić, czy prosta l : (x1 , x2 , x3 ) = (1, −2, 1) + t(2, 3, −4), t ∈ R przecina płaszczyznę π o równaniu
x1 + 4x2 − 3x3 − 16 = 0. Znaleźć rzut prostokątny prostej l na płaszczyznę π i zapisać go w postaci parametrycznej.
2. Metodą najmniejszych kwadratów znaleźć prostą najlepiej aproksymującą zbiór punktów:
(−2, 4), (2, 5), (−3, 1), (1, −1), (3, 4), (3, −2).
3. W przestrzeni kartezjańskiej R4 ze standardowym iloczynem skalarnym wyznaczyć: a) bazę ortonormalną przestrzeni V rozpiętej przez wektory
v1 = (−1, 0, 2, 0),
v2 = (2, −2, 1, 4),
v3 = (−2, 0, 0, 1);
b) dopełnienie ortogonalne do przestrzeni V ; c) podać bazę ortonormalną w R4 zgodną z rozkładem R4 = V ⊕ V ⊥ ;
d) wyznaczyć rzut punktu q = (1, 0, 2, 0) na podprzestrzeń V .
4. Na płaszczyźnie R2 zadana jest funkcja x → kxk = max{|x2 |, 21 |x1 + x2 |}. a) Sprawdzić, że jest ona normą i podać
wzór na indukowaną przez nią odległość. b) Wyznaczyć i naszkicować kulę o promieniu 1 i środku w początku
układu współrzędnych i zbadać jej wypukłość. c) Obliczyć odległość od środka układu współrzędnych do prostej o
równaniu x1 + x2 = 4.
Rozwiązania
1. Prosta przecina płaszczyznę dla t = 1 w punkcie o współrzędnych (3, 1, −3). Wektor prostopadły do płaszczyzny
prostopadłej do π i zawierającej l to (7, 2, 5); równanie tej ostatniej płaszczyzny 7x1 + 2x2 + 5x3 = 8; równanie
rzutu (x1 , x2 , x3 ) = (−t, 4 + t, t).
Inne rozwiązanie: Jak poprzednio wyznaczamy punkt przecięcia prostej l i płaszczyzny π. Następnie rozkładamy
wektor kierunkowy v = (2, 3, −4) prostej l na składową równoległą do π i prostopadłą do niej:
v=v−
k·n
k·n
n+
n = (1, −1, −1) + (1, 4, −3),
|n|2
|n|2
gdzie n = (1, 4, −3)
jest wektorem normalnym (prostopadłym) do π. Szukana prosta przechodzi przez punkt przecięcia (3, 1, −3), a jej
wektorem kierunkowym jest vπ = (1, −1, −1). Przedstawienie parametryczne tej prostej (x1 , x2 , x3 ) = (3 + t, 1 −
t, −3 − t) jest równoważne otrzymanemu powyżej.
2. Oznaczam (zob. Wykład 5)
X = (−2, 2, −3, 1, 3, 3);
Y = (4, 5, 1, −1, 4, −2),
C = (1, 1, 1, 1, 1, 1).
Parametry prostej regresji y = ax + b (przybliżenia metodą najmniejszych kwadratów) wyznaczmy z równań normalnych — wzór (59) z tego Wykładu:
a(X · X) + b(C · X) =
a(X · C) + b(C · C)
=
Y ·X
Y ·C
Po obliczeniu iloczynów skalarnych układ przyjmuje jawną formę
36a + 4b =
4,
4a + 6b =
11,
skąd wyznaczamy a = −0, 1, b = 1, 9. Rozwiązaniem jest prosta o równaniu: y = −0, 1x + 1, 9.
3. Wektory v1 i v2 , a także v2 i v3 są prostopadłe, więc ortogonalizacja układu v1 , v2 , v3 sprowadza się do obliczenia
w3 = v3 −
v1 · v3
2
1
v1 = (−2, 0, 0, 1) − (−1, 0, 2, 0) = (−8, 0, −4, 5),
2
|v1 |
5
5
a następnie unormowania wektorów układu v1 , v2 , w3 . Otrzymujemy (rozwiązanie punktu a))
1
u1 = √ (−1, 0, 2, 0),
5
u2 =
1
(2, −2, 1, 4),
5
1
u3 = √
(−8, 0, −4, 5).
105
Dla wyznaczenia dopełnienia ortogonalnego przestrzeni V = lin{v1 , v2 , w3 } wystarczy rozwiązać układ równań
liniowych w · vi = 0, dla i = 1, 2, 3. Mamy
w · v1 = −w1 + 2w3 = 0,
w · v2 = 2w1 − 2w2 + w3 + 4w4 = 0,
w · v3 = −2w1 + w4 = 0,
co daje w4 = (4, 21, 2, 8), |w4 |2 = 525 i (rozwiązanie punktu b)) V ⊥ = lin{w4 }. Bazą ortonormalną zgodną z
rozkładem R4 = V ⊕ V ⊥ jest (rozwiązanie punktu c)) u1 , u2 , u3 , u4 , gdzie u4 = 5√121 w4 . Pozostaje wyznaczyć rzut
q na przestrzeń V . Obliczając rzut zgodnie z formułą PV (q) = (q · u1 )u1 + (q · u2 )u2 + (q · u3 )u3 otrzymujemy
PV (q) =
3
4
1
(−1, 0, 2, 0) + (2, −2, 1, 4) =
(−7, −8, 34, 16).
5
25
25
4. Możemy zauważyć, że kxk = kT (x)k∞ , gdzie k · k∞ jest normą jednostajną na R2 , a T : R2 → R2 jest odwzorowaniem liniowym danym wzorem T (x1 , x2 ) = (x2 , 12 (x1 + x2 )). To upraszcza sprawdzenie własności definiujących
normę i pokazuje, że kulą jednostkową jest przeciwobraz przy T kuli jednostkowej w normie k · k∞ . Mamy
1
|x1 + x2 |} ¬ 1 }
2
Kula jednostkowa w podanej normie ma postać równoległoboku zawartego między prostymi x2 = ±1 i x1 +x2 = ±2.
{ x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | kxk ¬ 1 } = { (x1 , x2 ) | max{|x2 |,
Wydział Zastosowań Informatyki i Matematyki
Egzamin z Analizy funkcjonalnej
i wypukłej
8.02.2013 grupa II
Imię . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr. albumu:
.................................
1. Sprawdzić, czy prosta l : (x1 , x2 , x3 ) = (1, 2, −3) + t(1, 4, −3), t ∈ R przecina płaszczyznę π o równaniu 7x1 +
2x2 + 5x3 + 1 = 0. Znaleźć rzut prostokątny prostej l na płaszczyznę π i zapisać go w postaci parametrycznej.
2. Metodą najmniejszych kwadratów znaleźć prostą najlepiej aproksymującą zbiór punktów:
(−2, −1), (4, 4), (0, 2), (−3, −1), (1, 4), (4, −2).
3. W przestrzeni kartezjańskiej R4 ze standardowym iloczynem skalarnym wyznaczyć: a) bazę ortonormalną przestrzeni V rozpiętej przez wektory
v1 = (1, 1, 0, 0),
v2 = (2, 0, 0, 2),
v3 = (1, 1, −1, 1);
b) dopełnienie ortogonalne do przestrzeni V ; c) podać bazę ortonormalną w R4 zgodną z rozkładem R4 = V ⊕ V ⊥ ;
d) wyznaczyć rzut punktu q = (1, 0, 2, 0) na podprzestrzeń V .
4. Na płaszczyźnie R2 zadana jest funkcja x → kxk = max{|x1 |, 12 |x1 + x2 |}. a) Sprawdzić, że jest ona normą i podać
wzór na indukowaną przez nią odległość. b) Wyznaczyś i naszkicować kulę o promieniu 1 i środku w początku
układu współrzędnych i zbadać jej wypukłość. c) Obliczyć odległość od środka układu współrzędnych do prostej o
równaniu x1 + x2 = 4.
Rozwiązania
1. Prosta jest równoległa do płaszczyzny. Można zrobić jak poprzednio; wówczas równanie płaszczyzny prostopadłej
do π i zawierającej prostą l ma postać x1 − x2 − x3 − 2 = 0, a równanie rzutu (x1 , x2 , x3 ) = (t, 1 + 4t, 1 − 3t).
Wystarczy jednak zrzutować jakiś punkt prostej l na płaszczyznę π i napisać równanie rzutu.
2. Rozwiązaniem jest prosta o równaniu: y = 0, 3x + 0, 8.
3. Postępując jak poprzednio wyznaczamy bazę ortonormalną V ,
1
u1 = √ (1, 1, 0, 0),
2
1
u2 = √ (1, −1, 0, 2),
6
1
u3 = √ (−1, 1, −3, 1).
2 3
i ortogonalne dopełnienie V , V ⊥ = lin{ 21 (−1, 1, 1, 1)}. Rzut q na V wyznaczymy odejmując od q jego rzut na V ⊥ ,
co daje
1
1
PV (q) = q − (q · u4 )u4 = (1, 0, 2, 0) − (−1, 1, 1, 1) = (5, −1, 7, −1).
4
4
4. W pełni analogicznie do poprzedniej grupy.