Zadania z algebry 7. (R3)

Zadania z algebry 7. (R3)
1. Sześcian jest ustawiony na płaszczyźnie Oxy , środek jego podstawy pokrywa się z
początkiem układu współrzędnych, a krawędzie boczne leżą w płaszczyznach
współrzędnych. Znaleźć współrzędne wierzchołków jeśli jego krawędź ma długość a.
2. Dane są punkty A = (3, –1, 2) i B = (a, b, c) . Obliczyć współrzędne punktów
symetrycznych do tych punktów względem: płaszczyzn współrzędnych, osi
współrzędnych, początku układu.
3. Znaleźć odległości punktu A = (12, –3, 4) od: początku układu, osi współrzędnych.
4. Udowodnić, że jeśli płaszczyzna wyznacza na osiach współrzędnych odcinki a , b , c ,
to długość prostopadłej p poprowadzonej z początku układu współrzędnych do tej
1
1
1
1
+
.
+
=
płaszczyzny spełnia równanie
p2
b2
c2
a2
5. Na płaszczyźnie Oxy znaleźć punkt równo oddalony od trzech danych punktów:
A = (3, 1, 2) , B = (4, –2, –2) i C = (0, 5, 1).
6. Sprawdzić czy trzy punkty A = (1, –5, 3) , B = (5, –1, 7) i C = (6, 0, 8) leżą na
jednej prostej.
7. Dane są dwie proste: jedna przechodzi przez punkty A = (–3, 5, 15) i B = (0, 0, 7), a
druga przez punkty P = (2, –1, 4) i Q = (4, –3, 0). Zbadać, czy proste przecinają się.
Jeśli tak, to znaleźć punkt przecięcia.
8. Napisać równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny Oxz i przechodzącej
przez punkt (2, –5, 3).
9. Napisać równanie płaszczyzny na której leży oś Oz , oraz punkt (–3, 1, –2).
10. Napisać równanie płaszczyzny równoległej do osi Ox i przechodzącej przez dwa
punkty (4, 0, –2) i (5, 1, 7).
11. Wyznaczyć linie przecięcia płaszczyzn współrzędnych z płaszczyzną o równaniu
5x + 2y –3z = 10
12. Przez punkt (7, –5, 1) przeprowadzić płaszczyznę, która by odcięła na osiach
współrzędnych równe odcinki dodatnie.
13. Obliczyć odległość punktu (3, 1, –1) od płaszczyzny 22x + 4y – 20z – 45 = 0.
14. Przez [punkt (–5, 16, 12) przeprowadzono dwie płaszczyzny: na jednej z nich leży oś
Ox a na drugiej oś Oy . Obliczyć kąt pomiędzy tymi płaszczyznami.
15. Napisać równania płaszczyzn przepoławiających kąty dwuścienne zawarte między
płaszczyznami 3x – y + 7z – 4 = 0 i 5x + 3y –5z + 2 = 0 .
16. W pęku płaszczyzn wyznaczonym przez płaszczyznę 3x + y – 2z – 6 = 0 oraz
płaszczyznę x – 2y + 5z – 1 = 0 znaleźć płaszczyzny prostopadłe do płaszczyzn
układu współrzędnych.
x +1 y − 3 z
=
=
z płaszczyzną 3x – 3y + 2z = 5 .
17. Znaleźć punkt przecięcia prostej
2
4
3
x − 2 y −1 z
=
= .
18. Znaleźć odległość punktu (7, 9, 7) od prostej
4
3
2
19. Znaleźć punkt B symetryczny do punktu A = (4, 3, 10) względem prostej
y−2 z−3
=
.
4
5
20. Znaleźć odległość między dwoma nie przecinającymi się prostymi
oraz
x
y+7 z−2
=
=
.
−2
9
2
x −1
=
3
x−9 y+2
=
=z
−3
4