Nowe struktury uk∏adów mechanicznych jako efekt syntezy

Nowe struktury uk∏adów mechanicznych
jako efekt syntezy wybranej klasy
charakterystyk dynamicznych*)
ANDRZEJ BUCHACZ
W pracach [1 – 5] pokazano rozk∏ad na u∏amek ∏aƒcuchowy i u∏amki proste wybranych charakterystyk,
które zastosowano do syntezy uk∏adów ciàg∏ych,
w przypadku gdy stopieƒ ich licznika by∏ wi´kszy
od stopnia mianownika, natomiast w odniesieniu
do pozosta∏ych przypadków jedynie zarysowano
problem. W niniejszej pracy przedstawiono realizacj´
charakterystyki, proponowanymi metodami syntezy,
gdy stopieƒ jej mianownika jest wi´kszy od stopnia jej
licznika.
Idea syntezy charakterystyk
metodà ich rozk∏adu na u∏amek ∏aƒcuchowy
Stosujàc system oznaczeƒ, zaproponowany i stosowany w [1 – 10] oraz model uk∏adu pr´towego
drgajàcego wzd∏u˝nie w postaci grafu X = (1X, 2X)
(1X – skoƒczony zbiór wierzcho∏ków, 2X – rodzina
kraw´dzi, którymi sà dwuelementowe podzbiory
*) Prac´ wykonano w ramach projektu badawczego nr 5 TO7C
029 23 finansowanego przez Komitet Badaƒ Naukowych w
latach 2002–2005
Prof. zw. dr hab. in˝. Andrzej Buchacz jest pracownikiem Katedry Automatyzacji Procesów Technologicznych
i Zintegrowanych Systemów Wytwarzania, Wydzia∏u Mechanicznego Technologicznego Politechniki Âlàskiej.
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005
wierzcho∏ków por. [11]), przedstawiono ide´ syntezy
ruchliwoÊci V(r) lub powolnoÊci
. Charakterystyka ta w najogólniejszym przypadku jest funkcjà
zmiennej zespolonej r w postaci:
(1)
gdzie: r = jω, j = –1, ck, ck – 1, ..., c0, dl, dl – 1, ..., d0 –
liczby rzeczywiste, i, j, k, l – liczby naturalne, ω –
cz´stoÊç.
W [1 – 3] przedstawiono metod´ syntezy powolnoÊci U(r) na u∏amek ∏aƒcuchowy, gdy liczba elementów poszukiwanego uk∏adu jest parzysta oraz k
jest liczbà parzystà i gdy stopieƒ licznika jest wi´kszy
od stopnia mianownika.
Jest to jeden z czterech przypadków (pozosta∏e
przypadki omówiono szczegó∏owo w [1]). W niniejszej
pracy rozpatrzono przypadek syntezy powolnoÊci,
gdy liczba elementów poszukiwanej struktury uk∏adu jest parzysta, wtedy k te˝ jest liczbà parzystà,
natomiast stopieƒ licznika U(r) jest mniejszy od
stopnia jej mianownika. W ten sposób rozpatruje si´
realizacj´ charakterystyki V(r) jako odwrotnoÊci U(r)
w postaci:
(2)
45
gdzie k – liczba naturalna parzysta.
Rozk∏adu tego typu funkcji dokonuje si´ wed∏ug
najni˝szych pot´g zmiennej r, stàd te˝ licznik i mianownik podzielono przez r w najwy˝szej pot´dze,
czyli:
(3)
Dzielàc w wyra˝eniu (3) licznik przez mianownik,
otrzymuje si´:
Rys. 3. Model cz´Êci uk∏adu b´dàcy realizacjà równania (6)
Jak pokazano na rys. 3, model tego uk∏adu jest
po∏àczeniem modelu przedstawionego na rys. 1 oraz
modelu przedstawionego na rys. 2. Nast´pnie realizuje si´ ruchliwoÊç V3(r) w zale˝noÊci (6) jako
(4)
(7)
Model mechanicznego elementu dyskretnego po
wykonaniu dzia∏aƒ (4) pokazano na rys. 1.
Po wykonaniu dzia∏aƒ okreÊlonych wzorem (7)
otrzymuje si´ ruchliwoÊç w nast´pujàcej formie:
(8)
Rys. 1. Model elementu
uk∏adu, jako realizacja równania (4)
Nast´pnym etapem jest realizacja wyra˝enia U2(r)
w (4). Po wykonaniu odpowiednich dzia∏aƒ otrzymuje
si´:
Realizacj´ równania (8) przedstawiono na rys. 4.
(5)
Rys. 4. Model fragmentu uk∏adu b´dàcy realizacjà równania
(8)
Model elementu uk∏adu, b´dàcego realizacjà tylko
przekszta∏cenia (5), przedstawiono na rys. 2.
Proces ten opisany zale˝noÊciami (3) – (8) kontynuuje si´ a˝ do momentu, gdy wyra˝enie Uk(r)
przyjmie postaç:
(9)
Ostatecznie ruchliwoÊç (2) przedstawia si´ w postaci u∏amka ∏aƒcuchowego jako:
Rys. 2. Model uk∏adu b´dàcy realizacjà równania (5)
Syntezowana ruchliwoÊç V(r) (2) przyjmie nast´pujàcà postaç:
(6)
(10)
którà po roz∏o˝eniu na u∏amek ∏aƒcuchowy mo˝na
wyznaczyç w odniesieniu do modelu uk∏adu dyskretnego, przedstawionego na rys. 3.
gdzie: cr(i) – wartoÊç zsyntezowanego elementu i o
charakterze spr´˝ystym, mzi + 1 – wartoÊç zsyntezowanego elementu (i + 1) o
TABELA I. Zbiór charakterystyk i ich realizacje
charakterze inercyjnym.
Realizacj´ fizycznà rówDrgajàce dyskretne uk∏ady mechaniczne jako realizacje
Charakterystyki
nania (10) przedstawiono
zsyntezowanych charakterystyk
na rys. 5.
Zale˝noÊç (10) jest ruchliwoÊcià, która odpowiada
funkcji (2), wyznaczonej w
odniesieniu do grafu biegunowego, który pokazano
na rys. 6, i gdy syntezowanà funkcjà jest ruchliwoÊç V(r) w postaci (2).
Pozosta∏e przypadki realizacji charakterystyk, gdy
46
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005
stopieƒ ich licznika jest wi´kszy od stopnia mianownika, przedstawiono w tab. I.
W dalszym ciàgu przedstawiono przypadek syntezy
charakterystyk, w których stopieƒ mianownika jest
wi´kszy od stopnia licznika. Dotyczy to zarówno
syntezy ruchliwoÊci V(r), jak i powolnoÊci U(r) [1, 3].
Jest to przypadek odwrotnoÊci ruchliwoÊci (2), czyli
powolnoÊci, w postaci:
Rys. 7. Model uk∏adu b´dàcy realizacjà wyra˝enia (17)
(11)
gdzie k – liczba naturalna parzysta.
(16)
Rys. 5. Model uk∏adu b´dàcy realizacjà równania (10)
Dokonujàc retransformacji argumentu, czyli
otrzymuje si´ ostatecznie
,
Rys. 6. Graf biegunowy jako model realizacji ruchliwoÊci V(r)
lub powolnoÊci U(r)
Rozk∏adu tego typu funkcji dokonuje si´ wed∏ug
najni˝szych pot´g zmiennej r, dlatego w tym celu
licznik i mianownik podzielono przez r w najwy˝szej
pot´dze, czyli:
(17)
(12)
Przekszta∏cajàc dalej wzór (12) i wprowadzajàc
nowà zmiennà
, otrzymuje si´:
(13)
Realizacj´ fizycznà wyra˝enia (18) przedstawiono na
rys. 7.
Graf biegunowy uk∏adu z rys. 7 jest taki sam jak
na rys. 6, przy czym poszczególnym kraw´dziom
nale˝y przyporzàdkowaç sztywnoÊci dynamiczne,
zgodnie z kolejnoÊcià wynikajàcà z realizacji charakterystyki syntezowanej metodà rozk∏adu na u∏amek ∏aƒcuchowy, powolnoÊci U(r’) i tym samym
ruchliwoÊci V(r’). Pozosta∏e przypadki syntezy funkcji
argumentu r i r’ przedstawiono w tab. II.
i ostatecznie
Uwaga koƒcowa
(14)
Ze wzgl´du na to, ˝e w (14) stopieƒ licznika jest
mniejszy od stopnia mianownika, a zatem nale˝y w
dalszym ciàgu syntezowaç nie odwrotnoÊç tej funkcji,
lecz argumentu r’, czyli:
Zaprezentowane uj´cie umo˝liwia rozszerzenie
syntezy charakterystyk uk∏adów dyskretnych, w
których stopieƒ licznika jest mniejszy od stopnia
mianownika, o nowe struktury drgajàcych dyskretnych uk∏adów mechanicznych.
LITERATURA
(15)
Syntezujàc funkcj´ (15) metodà jej rozk∏adu na
u∏amek ∏aƒcuchowy, prezentowanà w niniejszej pracy,
otrzymuje si´ tym razem:
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005
1. Buchacz A.: The Synthesis of vibrating Bar-Systems Represented by Graph and Structural Numbers. ZN Politechniki
Âlàskiej, Mechanika, z. 104/1991) (in Polish).
2. Buchacz A.: Modelling, Synthesis and Analysis of Bar Systems Characterized by a Cascade Structure Represented
by Graphs. Mech. Mach. Theory, Vol. 30, No 7/1995, pp.
969 – 986.
47
3. Buchacz A. i in.: Computer TABELA II. Zbiór charakterystyk oraz ich realizacje
Aided Synthesis and Analysis of mechanical systems
Drgajàce dyskretne uk∏ady mechaniczne jako
Charakterystyki
represented by graphs and
realizacje zsyntezowanych charakterystyk
structural numbers. Silesian
Technical University Press,
Gliwice, 1997 (in Polish).
4. Buchacz A.: Modification of
a Synthesized Vibration
Subsystems as an Introduction to Automation of Technological Processes. Buletinul Institutului Politehnic
Din Ias˛i, Publicat de Universitatea Tehnicǎ „Gh. Asachi”,
Ias˛i, Tomul XLVIII LII, Supliment II, 2002, Sect˛ia V,
Construct˛ii De Mas˛ini, p.
244÷247.
5. Buchacz A.: Modelling, Synthesis and Computer Aideded Design of Vibration
Subsystems with Assumed
Frequency Spectrum Represented by Graphs and Structural Numbers.[w]: Sko∏ud
B., Krenczyk D.: Computer
Integrated Manufacturing-Advanced Design and Manageof Hypergraphs and Structural Numbers. Journal of the
ment, WNT, Warszawa 2003, pp. 82 – 89.
Franklin Institute, Pergamon Press, Vol. 332B, No. 4/1995,
6. Buchacz A.: Computer Aided Synthesis and Analysis of Bar
pp. 443 – 476.
Systems Characterized by a Branched Structure Repre9. Wojnarowski J.: Application of Graphs in Analysis of Vibrasented by Graphs. Journal Technical of Physics, 40, 3/1999),
tion Mechanical Systems. PWN, Warszawa-Wroc∏aw, 1981,
pp. 315 – 328.
(in Polish).
7. Buchacz A.: Modelling of Continuous Mechanical Systems
10.
Wojnarowski J., Buchacz A., Nowak A., Âwider J.: Modeling
by Means The Graphs Method as Introduction to Synthesis
of Vibrations of mechanical Systems by Means the Graph
and Analysis of Bar Systems. Donetsk State Technical Uniand Structural Numbers Methods. Silesian Technical University, Inernational Journal of Proceedings – Machine-Builversity Press, Gliwice, No 1266/1986 (in Polish).
dings and Systems, Donetsk, Vol. 15/2001, pp. 277 – 283.
11. Berge C.: Graphs and hypergraphs. Elsevier Publishing
8. Buchacz A., Wojnarowski J.: Modelling Vibrating Links SysAmsterdam, North Holland/New York, 1973.
tems of Nonlinear Changeable Section of Robots by the Use
48
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005