ANALIZA WARUNKÓW WZBUDZENIA AUTONOMICZNEGO

Nr 64
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Nr 64
Studia i Materiały
Nr 30
2010
generator indukcyjny, samowzbudzenie
Błażej JAKUBOWSKI*, Krzysztof PIEŃKOWSKI*
ANALIZA WARUNKÓW WZBUDZENIA
AUTONOMICZNEGO GENERATORA INDUKCYJNEGO
W artykule przedstawiono analizę warunków niezbędnych dla uzyskania samowzbudzenia autonomicznego generatora indukcyjnego. Przedstawiono modele autonomicznego generatora indukcyjnego do
analizy stanów statycznych i stanów nieustalonych. Na podstawie tych modeli przeprowadzono analizę
statyczną i dynamiczną procesu samowzbudzenia generatora indukcyjnego. W analizie statycznej warunki samowzbudzenia zostały określone na podstawie charakterystyk statycznych generatora i kondensatorów wzbudzenia. W analizie dynamicznej warunki samowzbudzenia zostały określone na podstawie
operatorowych równań stanu i pierwiastków równania charakterystycznego macierzy stanu. Wykazano,
że metoda analizy dynamicznej pozwala na dokładniejsze określenie warunków koniecznych do samowzbudzenia generatora indukcyjnego i zasad doboru parametrów obwodów dołączanych do generatora.
1. WSTĘP
Obecnie coraz częściej jako źródła energii elektrycznej stosowane są autonomiczne
generatory indukcyjne. Jest to spowodowane prostotą konstrukcji maszyny indukcyjnej z
wirnikiem klatkowym, niezawodnością działania, brakiem elementów stykowych, małymi nakładami na remonty i przeglądy. Generatory autonomiczne są stosowane najczęściej jako lokalne alternatywne źródła energii elektrycznej o małej i średniej mocy
w miejscach w których występuje brak dostępu do sieci prądu zmiennego oraz jako
układy rezerwowego zasilania przy częstych przerwach w dostawie energii z sieci zasilającej. Jednym z najważniejszych warunków pracy autonomicznego generatora indukcyjnego jako źródła energii elektrycznej jest wymuszenie stanu samowzbudzenia generatora zakończonego przejściem do stanu pracy ustalonej.
Analiza pracy maszyny indukcyjnej jako autonomicznego generatora indukcyjnego
była przedmiotem wielu analiz i badań [2, 4–6]. Przeważająca większość tych prac dotyczy jednak analiz mających na celu racjonalny dobór parametrów układu i charaktery__________
* Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-372 Wrocław,
ul. Smoluchowskiego 19, [email protected], [email protected]
333
styk generatora oraz sterowania wielkości elektrycznych generatora: napięcia, częstotliwości i mocy wyjściowej generatora. Natomiast w znacznie mniejszym stopniu opisano
przebieg procesu samowzbudzenia autonomicznego generatora indukcyjnego. Mimo, że
proces samowzbudzenia jest elektromagnetycznym stanem nieustalonym to często jest
rozpatrywany na podstawie analizy statycznej i charakterystyk statycznych generatora
indukcyjnego [2, 4–6].
Stan samowzbudzenia autonomicznego generatora indukcyjnego jest dość złożonym
procesem elektromagnetycznym. W tej pracy przedstawiono metodę analizy procesu
samowzbudzenia generatora indukcyjnego na podstawie równań modelu matematycznego maszyny indukcyjnej dla stanu samowzbudnej pracy generatorowej. Celem analizy
jest analityczne poznanie zjawisk występujących podczas stanu samowzbudzenia oraz
sformułowanie warunków samowzbudzenia pozwalających na racjonalny dobór parametrów układu generatora indukcyjnego.
2. ANALIZA STATYCZNA PROCESU SAMOWZBUDZENIA
GENERATORA INDUKCYJNEGO
Schemat obwodów autonomicznego generatora indukcyjnego przedstawiono na rys. 1.
Trójfazowy generator indukcyjny G o wirniku klatkowym jest napędzany mechanicznie
przez maszynę pierwotną MP, którą może być silnik spalinowy, turbina wiatrowa lub
wodna oraz inne źródło energii mechanicznej. Do zacisków stojana generatora przyłączona jest bateria kondensatorów Co pracująca jako źródło mocy biernej niezbędnej do wytwarzania pola wirującego podczas autonomicznej pracy generatora. Dla uproszczenia
dalszych rozważań przyjęto, że generator jest obciążony tylko odbiornikiem o charakterze
czynnym, czyli trójfazowym rezystorem obciążenia Ro.
MP
G
3~
Co
W
Ro
Rys. 1. Schemat autonomicznego generatora indukcyjnego i jego obwodów
Fig. 1. Scheme of autonomous induction generator and its circuits
W analizie statycznej autonomicznego generatora indukcyjnego ze wzbudzeniem
pojemnościowym wykorzystuje się opis matematyczny generatora sformułowany na
podstawie nieliniowych równań algebraicznych [4, 6]. Interpretacja obwodowa tych
równań może być przedstawiona w postaci schematu zastępczego autonomicznego generatora indukcyjnego dla stanów statycznych – rys. 2. W schemacie tym wprowadzono
334
współczynnik częstotliwości względnej γ = f/fN pozwalający na uwzględnienie zmienności parametrów generatora w funkcji częstotliwości wielkości elektromagnetycznych
w obwodach stojana generatora przy zachowaniu wartości parametrów określonych
przy częstotliwości znamionowej. Przyjęto, że reaktancja magnesowania generatora
Xm jest nieliniowo zmienna w funkcji modułu wektora prądu magnesowania Im, natomiast pozostałe parametry obwodów generatora są stałe. Nieliniowość reaktancji
magnesowania Xm jest określona przez charakterystykę magnesowania obwodu
głównego maszyny wyrażoną w postaci charakterystyki biegu jałowego maszyny
indukcyjnej Em. = f(Im) lub charakterystyki zmienności indukcyjności magnesowania
od prądu magnesowania Lm = f(Im).
Io
Ro/γ
Us
I s Rs/γ jXsσ
iC
-jXC/γ2
Em
jXrσ I r
Im
jXm
Rr /(γ-v)
Rys. 2. Schemat zastępczy autonomicznego generatora indukcyjnego i jego obwodów
Fig. 2. Equivalent scheme of autonomous induction generator with load
Do analizy stanów statycznych autonomicznego generatora indukcyjnego stosowane
są dwie podstawowe metody analizy [5]: analiza oczkowa i analiza węzłowa. W analizie
metodą oczkową wielooczkowy schemat zastępczy obwodów generatora indukcyjnego
jest przekształcany do równoważnego obwodu jednooczkowego stojana o wypadkowej
impedancji zastępczej. Analiza metodą węzłową jest oparta na wyznaczeniu wypadkowej admitancji obwodów generatora indukcyjnego między zaciskami stojana.
Podstawowym warunkiem statycznym wystąpienia stanu ustalonego pracy generatorowej maszyny indukcyjnej jest odpowiednio równość zeru wypadkowej impedancji lub wypadkowej admitancji układu. Na podstawie tego warunku dla przyjętych
wartości parametrów elektromagnetycznych maszyny indukcyjnej, obwodów obciążenia generatora oraz prędkości kątowej wirnika wyznaczana jest częstotliwość wielkości elektromagnetycznych wzbudzanych w obwodzie stojana i wartość skuteczna napięcia generowanego na zaciskach stojana. Ze względu na konieczność uwzględnienia
nieliniowej charakterystyki magnesowania głównego obwodu magnetycznego maszyny indukcyjnej wyznaczenie tych wielkości wymaga zastosowania odpowiednich
metod numerycznych.
Wynikające z tej analizy warunki statyczne konieczne dla zapewnienia pracy ustalonej autonomicznego generatora indukcyjnego i pozwalające na dobór parametrów układu zostały przedstawione poglądowo na rys. 3.
335
Rys. 3. Ilustracja statycznych warunków pracy ustalonej autonomicznego generatora indukcyjnego:
a) wpływ wartości pojemności kondensatorów obwodu wzbudzenia Co;
b) wpływ wartości prędkości kątowej wirnika Ωe
Fig. 3. Illustration of static conditions of stable work of autonomous induction generator:
a) influence of capacitance Co of exciting capacitors;
b) influence of electrical angular speed Ωe of the rotor
Z charakterystyk przedstawionych na rysunku 3 wynikają następujące statyczne warunki dla autonomicznego generatora indukcyjnego:
1) Punkt pracy ustalonej autonomicznego generatora indukcyjnego jest wyznaczony
przez punkt przecięcia charakterystyki magnesowania maszyny indukcyjnej i charakterystyki napięciowej kondensatorów wzbudzenia. Dla uzyskania przecięcia
tych charakterystyk konieczne jest występowanie stanu nasycenia obwodu magnetycznego generatora indukcyjnego.
2) Wartość skuteczna napięcia stojana generowanego przy danej prędkości kątowej
wirnika jest zależna od wartości pojemności kondensatorów wzbudzenia Co. Przy
zbyt małej pojemności kondensatorów stan pracy ustalonej nie wystąpi, przy zbyt
dużej wartości pojemności kondensatorów napięcie generatora może przekroczyć
dopuszczalną wartość (rys. 3a).
3) Przy danej wartości pojemności kondensatorów wzbudzenia stan pracy ustalonej
generatora może wystąpić dopiero powyżej pewnej minimalnej wartości elektrycznej prędkości kątowej wirnika Ωe (rys. 3b).
Wadą statycznych metod analizy jest brak możliwości poznania stanów elektromagnetycznych związanych z procesem samowzbudzenia, określenia szybkości przebiegu
tego procesu oraz warunków początkowych niezbędnych do wystąpienia procesu samowzbudzenia. Wyznaczenie tych wielkości wymaga przeprowadzenia analizy dynamicznej procesu samowzbudzenia na podstawie równań modeli matematycznego generatora
indukcyjnego.
336
3. ANALIZA DYNAMICZNA PROCESU SAMOWZBUDZENIA
GENERATORA INDUKCYJNEGO
3.1. MODEL MATEMATYCZNY MASZYNY INDUKCYJNEJ
Analiza stanów nieustalonych i ustalonych generatora indukcyjnego wymaga zastosowania odpowiedniego modelu matematycznego maszyny indukcyjnej. W zależności od przyjętych założeń upraszczających odnośnie obwodu magnetycznego
stosowane są następujące podstawowe modele obwodowe generatora indukcyjnego
[1, 3, 5]:
• Model maszyny indukcyjnej o liniowym obwodzie magnetycznym, nazywany
modelem liniowym.
• Model maszyny indukcyjnej o nieliniowym obwodzie magnetycznym, nazywany modelem nieliniowym.
Model nieliniowy jest modelem ogólnym, lecz znacznie bardziej złożonym od modelu liniowego. Podstawową wadą modelu nieliniowego jest możliwość analizy stanów maszyny tylko na podstawie obliczeń numerycznych. Uniemożliwia to sformułowanie ogólnych zależności analitycznych pozwalających na badanie wpływu
poszczególnych wielkości i parametrów elektromagnetycznych na przebieg zjawisk
elektromagnetycznych.
Podstawowym zagadnieniem rozpatrywanym w tej pracy jest analiza stanów elektromagnetycznych związanych z procesem rozpoczęcia stanu samowzbudzenia autonomicznego generatora indukcyjnego. Celem analizy jest określenie warunków początkowych jakie muszą być spełnione dla rozpoczęcia stanu samowzbudzenia generatora.
Z analizy statycznej wynika, że nasycenie obwodu magnetycznego maszyny indukcyjnej
ma duże znaczenie dopiero w końcowej części procesu samowzbudzenia i podczas pracy
ustalonej. Stąd można przyjąć, że proces początkowy samowzbudzenia przebiega przy
nienasyconym obwodzie magnetycznym i do jego analizy można stosować liniowy model matematyczny maszyny indukcyjnej.
3.2. MODEL MATEMATYCZNY AUTONOMICZNEGO GENERATORA INDUKCYJNEGO
Równania modelu matematycznego autonomicznego generatora indukcyjny obejmują opis matematyczny symetrycznej maszyny indukcyjnej o liniowym obwodzie
magnetycznym oraz obwodów elektrycznych przyłączonych do stojana generatora:
baterii kondensatorów wzbudzenia i obwodów obciążenia generatora. Do analizy
przyjęto równania dla zmiennych stanu rozpatrywanych w postaci wektorowej i wyrażonych we wspólnym dla obwodów stojana i wirnika nieruchomym względem stojana
prostokątnym układzie współrzędnych.
337
Równania modelu matematycznego autonomicznego generatora indukcyjnego ma
ją następującą postać:
⎡
⎡0 ⎤ ⎢ R s
⎢0 ⎥ = ⎢ 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣0⎥⎦ ⎢ 1
⎢⎣ C o
0
Rr
0
⎤
− 1 ⎥ ⎡ i s ⎤ ⎡ L s L m 0⎤
0
0⎤ ⎡ψ s ⎤
⎡ i s ⎤ ⎡0
d ⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥
0 ⎥ ⋅ ⎢ i r ⎥ + ⎢ L m L r 0⎥ ⋅ ⎢ i r ⎥ + ⎢0 − j Ω e 0⎥⎥ ⋅ ⎢ψ r ⎥ (1)
dt
1 ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ 0
⎢⎣u s ⎥⎦ ⎢⎣0
0 1⎥⎦
0
0⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎣ s⎦ ⎣
C o R o ⎥⎦
⎡ψ s ⎤ ⎡ L s L m ⎤ ⎡i s ⎤
⎢ψ ⎥ = ⎢
⎥⎢ ⎥
⎣ r ⎦ ⎣ L m L r ⎦ ⎣i r ⎦
(2)
gdzie: is, ir, us – wektor prądu stojana, prądu wirnika i napięcia stojana generatora; ψs, ψr
– wektor strumienia sprzężonego stojana i wirnika; Rs, Rr, Ro – rezystancja fazowa stojana, wirnika i obciążenia generatora; Ls, Lr, Lm – całkowita indukcyjność stojana, wirnika
i magnesowania generatora; Co – pojemność kondensatorów wzbudzenia; Ωe – elektryczna prędkość kątowa wirnika.
3.3. AMALIZA WARUNKÓW POCZĄTKOWYCH DLA STANU SAMOWZBUDZENIA
AUTONOMICZNEGO GENERATORA INDUKCYJNEGO
Stan początkowy samowzbudzenia autonomicznego generatora indukcyjnego będzie rozpatrywany jako proces występujący przy stałej prędkości kątowej wirnika.
Założenie to pozwala na przekształcenie równań modelu matematycznego generatora
(1)–(2) do postaci operatorowej z uwzględnieniem warunków początkowych dla stanu
samowzbudzenia. Równania operatorowe generatora mają następującą postać:
⎡
⎡ 0 ⎤ ⎢ Rs + Ls ⋅ p
Lm ⋅ p
⎥
⎢
⎢
⎢ jω eψ r 0 ⎥ = ⎢− j Ω e L m + L m ⋅ p R r − j Ω e L r + L r ⋅ p
1
⎢⎣ u C 0 ⎥⎦ ⎢
0
⎢⎣
Co
⎤
⎥ ⎡ I s ( p) ⎤
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⋅ ⎢ I r ( p) ⎥
1
+ p ⎥ ⎢⎣U s ( p )⎥⎦
⎥⎦
C o Ro
−1
0
(3)
Przy formułowaniu równań operatorowych uwzględniono tylko uzasadnione technicznie możliwości inicjacji procesu samowzbudzenia generatora przez następujące
niezerowe wartości początkowe wielkości elektromagnetycznych:
• Przyłączenie do stojana baterii naładowanych kondensatorów, których napięcia
fazowe w momencie przyłączania są wyrażone przez wektor napięcia początkowego kondensatorów uC0:
338
u s (0) = u C (0) = u C 0
(4)
• Obecność w maszynie indukcyjnej strumienia remanentu magnetycznego wirnika, którego wartość początkową można przedstawić w postaci wektorowej
ψr0:
ψ r (0) = ψ r 0
(5)
W analizie pominięto rozpatrywanie innych możliwych warunków początkowych,
które mogą być uzasadnione matematycznie, ale nie są realizowane technicznie: niezerowych wartości początkowych wektora prądu stojana, wektora prądu wirnika lub
wektora strumienia remanentu magnetycznego stojana.
Stany elektromagnetyczne podczas procesu samowzbudzenia autonomicznego generatora indukcyjnego mogą być wyznaczone na podstawie rozwiązań układu równań (3).
Przebieg chwilowy każdej elektromagnetycznej zmiennej stanu można przedstawić
w następującej ogólnej postaci:
w (t ) = A ⋅ e p1t + A ⋅ e p 2 t + A ⋅ e p3t
1
2
3
w = us , is , ir
(6)
W równaniu (6) A1, A2, A3 są stałymi zależnymi od wartości początkowych zmiennych stanu oraz od parametrów układu. Wykładniki p1, p2, p3 są pierwiastkami równania
charakterystycznego macierzy stanu układu równań (3), które ma postać:
3
2
a 3 p + a 2 p + a1 p + a 0 = 0
(7)
Współczynniki równania charakterystycznego są funkcją parametrów generatora,
układu obciążenia generatora i elektrycznej prędkości kątowej wirnika:
a 3 = σLs Lr
a1 =
a2 =
σLs Lr
C0 R0
+ Ls Rr + Lr Rs − jΩ eσLs Lr
⎛ σL L
⎞
Lr Ls Rr + Lr Rs
+
+ Rr Rs − jΩ e ⎜⎜ s r + Lr Rs ⎟⎟
C0
C0 R0
⎝ C0 R0
⎠
a0 =
⎛L
LR ⎞
Rr Rr Rs
+
− jΩ e ⎜⎜ r + r s ⎟⎟
C0 C0 R0
⎝ C0 Co R0 ⎠
(8)
339
4. BADANIA PROCESÓW SAMOWZBUDZENIA
AUTONOMICZNEGO GENERATORA INDUKCYJNEGO
4.1. AMALIZA PIERWIASTKÓW RÓWNANIA CHARAKTERYSTYCZNEGO
Z rozwiązania równania charakterystycznego 3. stopnia (7) otrzymuje się trzy
pierwiastki o wartościach zespolonych. Części rzeczywiste dwóch pierwiastków mają
zawsze wartości ujemne. Natomiast część rzeczywista trzeciego pierwiastka może
przyjmować odpowiednio wartości ujemne, dodatnie lub równe zeru w zależności od
wartości współczynników równania charakterystycznego. Wartości tego pierwiastka
decydują w istotny sposób o przebiegu procesu samowzbudzenia.
Przy ujemnej wartości części rzeczywistej pierwiastka α < 0 amplitudy wielkości
elektromagnetycznych generatora będą malały wykładniczo w funkcji czasu, czyli
pożądany przebieg procesu samowzbudzenia generatora nie wystąpi mimo spełnienia zadanych warunków początkowych samowzbudzenia. Przy dodatniej wartości
części rzeczywistej pierwiastka α > 0 i zadanych warunkach początkowych amplitudy wielkości elektromagnetycznych generatora będą narastać wykładniczo
w funkcji czasu, czyli wystąpi pożądany przebieg procesu samowzbudzenia generatora. Wielkości elektromagnetyczne o rosnących amplitudach będą powodować
wzrost nasycenia głównego obwodu magnetycznego generatora, a przez to zmianę
wartości indukcyjności magnesowania maszyny. Powoduje to zmianę wartości
współczynników równania charakterystycznego i wartości pierwiastków równania
charakterystycznego. Zakończenie procesu samowzbudzenia nastąpi wtedy, gdy
wartość części rzeczywistej pierwiastka zmaleje z wartości dodatniej do wartości
równej zero. Przy wartości α = 0 amplitudy wielkości elektromagnetycznych mają
stałą wartość czyli stan pracy generatora indukcyjnego jest stanem ustalonym.
W stanie ustalonym pulsacja wielkości elektromagnetycznych w obwodach stojana
generatora indukcyjnego jest równa wartości części urojonej tego pierwiastka, którego część rzeczywista jest równa zeru.
Przebieg zmienności wartości części rzeczywistej α i części urojonej ω pierwiastka
równania charakterystycznego dla różnych wartości pojemności kondensatorów
wzbudzenia Co i elektrycznej prędkości kątowej wirnika Ωe dla nieobciążonego generatora indukcyjnego (Ro = ∞) przedstawiono na rys. 4.
Z charakterystyk przedstawionych na rys. 4 wynika, że przy zadanych warunkach
początkowych uzyskanie pożądanego przebiegu procesu samowzbudzenia generatora
wymaga utrzymywania podczas procesu samowzbudzenia warunków przy których
wartość części rzeczywistej pierwiastka równania charakterystycznego będzie dodatnia – α > 0. Przy zadanej wartości elektrycznej prędkości kątowej wirnika Ωe wymaga
to zastosowania pojemności kondensatorów wzbudzenia o wartości większej od odpowiedniej wartości minimalnej Co ≥ Cmin.
340
350
300
Co=20μF
=50
Ω e=300rad/s
=100
ω [rad/s]
250
=20
=50
=100
200
Ω e=200rad/s
150
=900
=900
=20 =50
100
Ω e=100rad/s
=100
=900
50
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
α [1/s]
Rys. 4.Wartości części rzeczywistej α i części urojonej ω pierwiastka
równania charakterystycznego dla nieobciążonego generatora indukcyjnego
Fig. 4.Values of real part α and imaginary part ω of the root
of characteristic equation for unloaded induction generator
Z kolei przy zadanej wartości pojemności kondensatorów wzbudzenia Co stan samowzbudzenia nastąpi dopiero wtedy gdy elektryczna prędkość kątowa wirnika Ωe
będzie większa od odpowiedniej wartości minimalnej Ωe ≥ Ωemin. Wartości minimalne
pojemności kondensatorów wzbudzenia Cmin oraz wartości minimalnej prędkości kątowej wirnika Ωemin mogą być określone na podstawie analizy wartości współczynników równania charakterystycznego dla których część rzeczywista pierwiastka równania α = 0. Z charakterystyk na rys. 4 wynika, że przy zastosowaniu bardzo dużych,
niecelowych technicznie i ekonomicznie pojemności kondensatorów wzbudzenia
wartości współczynnika α < 0 i stan samowzbudzenia nie wystąpi. Jest to sprzeczne
z wynikami analizy statycznej samowzbudzenia, z których wynika, że przy dużych
wartościach kondensatorów zawsze wystąpi stan pracy ustalonej autonomicznego
generatora.
Na rysunku 5 przedstawiono charakterystyki zależności pojemności kondensatorów wzbudzenia Co od elektrycznej prędkości kątowej wirnika Ωe dla zadanej stałej
wartości części rzeczywistej pierwiastka α. Na podstawie tych charakterystyk dla
przyjętej dowolnie wartości elektrycznej prędkości kątowej wirnika Ωe wyznaczono
wartości pojemności Co odpowiadające założonym wartościom α. Dla wartości tych
pojemności przeprowadzono następnie na podstawie równań liniowego modelu matematycznego generatora (3) badania symulacyjne stanów elektromagnetycznych podczas samowzbudzenia. W badaniach stan samowzbudzenia był inicjowany przez
przyłączenie baterii naładowanych kondensatorów do stojana generatora. Przebiegi
341
chwilowe napięcia stojana generatora podczas samowzbudzenia wyznaczone dla wybranych wartości α przedstawiono po prawej stronie rys. 5.
500
usα [V]
0.2
-500
α=10
usα [V]
0.1
α=0
0.05
0
100
0
250
300
Ωe [rad/s]
350
400
0.2
0.3
0.4
C o=70 μF
uCo(0)=100 V
0
100
200
0.1
0
-100
α=-2
150
uCo(0)=10 V
100
usα [V]
Co [mF]
0.15
C o=130 μF
0
0.1
0.2
0.3
0.4
C o=55 μF
0
-100
uCo(0)=100 V
0
0.2
t [s]
0.4
Rys. 5. Zależność pojemności kondensatorów wzbudzenia od prędkości kątowej wirnika
Co = f(Ωe) przy α = const oraz wpływ wartości α na przebiegi chwilowe napięcia stojana generatora
podczas samowzbudzenia
Fig. 5. Variation of the capacity of excitation capacitors with the rotor angular speed Co = f(Ωe)
at α = const and the influence of α values on the courses of the instantaneous stator voltage
of generator during self-excitation.
Otrzymane przebiegi potwierdzają obliczeniowo przeprowadzone powyżej rozważania. Przy wartości α = 10, czyli α > 0 następuje samowzbudzenie generatora nawet
przy zastosowaniu bardzo małej wartości napięcia początkowego kondensatorów.
Przy wartości α = –2, czyli α < 0 samowzbudzenie nie następuje nawet przy zastosowaniu dużej wartości napięcia początkowego kondensatorów. Występują tu tylko
składowe tłumione i wartość chwilowa napięcia stojana zanika szybko do zera. Przy
wartości α = 0 następuje samowzbudzenie połączone praktycznie z natychmiastowym
przejściem do stanu ustalonego. Na początku przebiegu występują procesy przejściowe wywołane działaniem składowych tłumionych związanych z pozostałymi pierwiastkami równania charakterystycznego.
Charakterystyki przedstawione na rys. 6 ilustrują wpływ indukcyjności magnesowania Lm oraz rezystancji obciążenia generatora Ro na wartość współczynnika tłumienia α w funkcji pojemności kondensatorów wzbudzenia Co.
Z charakterystyk tych wynika, że jeśli proces samowzbudzenia występuje przy
wartości α > 0 to wykładniczy wzrost amplitud wielkości elektromagnetycznych powoduje wzrost nasycenia obwodu magnetycznego, czyli zmniejszanie się wartości
indukcyjności magnesowania Lm. Następuje wtedy zmniejszanie się wartości dodatniej
części rzeczywistej pierwiastka α, aż do wartości równej zeru, której odpowiada zakończenie procesu samowzbudzenia i przejście do stanu pracy ustalonej.
342
40
Lm2
Lm3
α [1/s]
20
0
Lm4
-20
-40
0
0.2
Lm1, Ro1
Lm1>Lm2>Lm3>Lm4
Ro1>Ro2>Ro3>Ro4
Ro3
Ro2
Ro4
0.4
0.6
0.8
1
Co [mF]
Rys. 6. Wpływ indukcyjności magnesowania Lm oraz rezystancji obciążenia Ro na wartość
współczynnika α w funkcji pojemności kondensatorów wzbudzenia Co (Ωe = 300 rad/s; linia ciągła
– Lm1 = 316, Lm2 = 200, Lm3 = 100, Lm4 = 50 mH: linia przerywana – Ro1 = ∞, Ro2 = 100, Ro3 = 50, Ro4 = 20 Ω)
Fig. 6. Influence of magnetising inductance Lm and load resistance Ro on value α with capacitance Co
of exciting capacitors (Ωe = 300 rad/s; solid line – Lm1 = 316, Lm2 = 200, Lm3 = 100, Lm4 = 50 mH:
dashed line – Ro1 = ∞, Ro2 = 100, Ro3 = 50, Ro4 = 20 Ω)
Na rysunku 6 zilustrowano również wpływ rezystancji obciążenia generatora na
przebieg samowzbudzenia. Najkorzystniejsze przebiegi uzyskuje się gdy proces samowzbudzenia odbywa się na biegu jałowym (Ro = ∞) lub przy małych obciążeniach.
Przy odpowiednio dużych obciążeniach (małych wartościach Ro) uzyskuje się warunki
przy których niezależnie od zastosowanych wartości pojemności kondensatorów
wzbudzenia część rzeczywista pierwiastka równania charakterystycznego nie przyjmuje wartości dodatniej i samowzbudzenie generatora nie zakończy się przejściem do
stanu pracy ustalonej.
5. PODSUMOWANIE
Samowzbudzenie autonomicznego generatora indukcyjnego jest dość złożonym
procesem elektromagnetycznym. Analiza procesu samowzbudzenia generatora indukcyjnego może być wykonana na podstawie analizy statycznej lub analizy dynamicznej
z uwzględnieniem stanów elektromagnetycznych. W analizie dynamicznej warunki
samowzbudzenia są określane na podstawie operatorowych równań stanu i pierwiastków równania charakterystycznego macierzy stanu. Metoda analizy dynamicznej pozwala na dokładniejszą interpretację fizykalną zjawisk występujących podczas stanu
samowzbudzenia generatora indukcyjnego, dokładniejsze określenie warunków koniecznych do uzyskania samowzbudzenia oraz umożliwia racjonalny dobór parametrów elementów dołączanych do obwodów generatora.
343
LITERATURA
[1] BROWN J.E., KOVACS K.P., VAS P., A method of including the effects of main flux path saturation
In the generalized equations of A.C. machines, IEEE Trans. on Power, Apparatus and Systems,
V. PAS-102, No. 1, 1983, 96–103.
[2] ELDER J.M., BOYS J.T., WOODWARD J.L., The process of self excitation in induction generators,
IEE PROC., V. 130, Pt. B, No. 2, 1983, 103–108.
[3] IDJARENE K., REKIOUA D., REKIOUA T., TOUNZI A., Vector control of autonomous induction
generator taking saturation effect into account, Energy Conversion and Management, 49, 2008,
2609–2617.
[4] MURTHY S.S., MALIK O.P., TANDON A.K., Analysis of self-excited induction generators, IEE
Proc., Vol. 129, Pt. C, No. 6, 1982, 260–265.
[5] SHADHU KHAN P.K., CHATTERJEE J.K., Three-Phase Induction Generators: A Discussion on
Performance, Electric Power Components and Systems, Vol. 27, No. 8, 1999, 813–832.
[6] TANDON A.K., MURTHY S.S., BERG G. J., Steady-state analysis of capacitor self-excited induction generators, IEEE Trans. on Power, Apparatus and Systems, V. PAS-103, No. 3, 1984, 612–618.
ANALYSIS OF SELF-EXCITATION CONDITIONS
FOR AUTONOMOUS INDUCTION GENERATOR
The paper presents an analysis of the necessary conditions to achieve self-excitation of autonomous induction generator. The models of the autonomous induction generator for the analysis of static and transients
states are presented. Based on these models the analysis of steady-state and transient process of selfexcitation of induction generator was performed. In steady-state analysis the self-excitation conditions were
determined on the basis of static characteristics of the generator and excitation capacitors. In dynamic analysis the self-excitation conditions were determined on the basis of operator form of state equations and roots
of characteristic equation of state matrix. It was shown that the method of dynamic analysis allows to more
accurate define the necessary conditions for self-excitation of induction generator and the rules for design of
parameters of circuits connected to the stator of generator.