Matematyka 1

Transkrypt

Matematyka 1

Matematyka 1
dr inż. Rajmund Stasiewicz
2015/2016, semestr I (zimowy)
ELEKTROTECHNIKA
R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16)
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
1 / 24
Kontakt i wyniki
Wyniki i materiały:
katmat.pb.bialystok.pl/∼raj/mat
Login: imie.nazwisko
Hasło: dowolne (podawane przy rejestracji)
E-mail:
[email protected]
Gabinet:
WI, pok. 019 (niski parter)
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
2 / 24
Kontakt i wyniki
E-mail:
[email protected]
Gabinet:
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
2 / 24
Kontakt i wyniki
E-mail:
[email protected]
Gabinet:
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
2 / 24
Matematyka 1
Liczby zespolone
dr inż. Rajmund Stasiewicz
2015/2016, semestr I (zimowy)
ELEKTROTECHNIKA
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
3 / 24
Literatura
M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Definicje, twierdzenia i
wzory; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006
M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Przykłady i zadania;
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006
T.Trajdos; Matematyka cz III; WNT, Warszawa, 1981
W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów
esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981
P.Kajetanowicz, J.Wierzejewski; Algebra z geometrią analityczną;
PWN, Warszawa, 2008
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
4 / 24
Literatura
PWN, Warszawa, 2008
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
4 / 24
Literatura
PWN, Warszawa, 2008
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
4 / 24
Wprowadzenie
Przykład 1:
Rozwiąż równanie:
x 2 − 2x + 5 = 0
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
5 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
Rozwiąż równania:
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
– w zbiorze liczb naturalnych
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
3x = 1
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
3x = 1
– w zbiorze liczb całkowitych
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
3x = 1
x2 = 5
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
3x = 1
x2 = 5
– w zbiorze liczb wymiernych
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
3x = 1
x2 = 5
x 2 − 2x + 5 = 0
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Wprowadzenie
Przykład 2:
x +8=3
3x = 1
x2 = 5
x 2 − 2x + 5 = 0
– w zbiorze liczb rzeczywistych
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
6 / 24
Definicja liczby zespolonej
Definicja 1:
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych
z=(x,y).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
7 / 24
UWAGI:
Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C zatem
C = {z = (x, y ); x, y ∈ R.}
Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z, w itp.
W elektrotechnice czesto elementy, których wartości są liczbami
zespolonymi oznaczamy używając podkreślenia.
Każdą liczbę zespoloną (x, y ) możemy utożsamiać z punktem układu
współrzędnych XOY .
Płaszczyznę w układzie współrzędnych XOY przy takim utożsamieniu
nazywamy płaszczyzną zespoloną.
Liczbę zepoloną (x, y ) można traktować jako wektor, którego
początek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a koniec
znajduje się w punkcie (x, y ).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
8 / 24
UWAGI:
C = {z = (x, y ); x, y ∈ R.}
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
8 / 24
UWAGI:
C = {z = (x, y ); x, y ∈ R.}
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
8 / 24
UWAGI:
C = {z = (x, y ); x, y ∈ R.}
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
8 / 24
UWAGI:
C = {z = (x, y ); x, y ∈ R.}
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
8 / 24
Postać algebraiczna liczby zespolonej
Definicja 2:
Liczbą zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy
symbolem j lub i.
j = (0, 1)
Każdą liczbę zepoloną można jednoznacznie zapisać w postaci
algebraicznej: z = x + jy gdzie x, y ∈ R.
Liczbę x oznaczamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z co
zapisujemy Re z = x.
Liczbę y oznaczamy częścią urojoną liczby zespolonej z co zapisujemy
Im z = y .
Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osią
urojoną.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
9 / 24
Definicja 2:
symbolem j lub i.
j = (0, 1)
Im z = y .
urojoną.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
9 / 24
Definicja 2:
symbolem j lub i.
j = (0, 1)
Im z = y .
urojoną.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
9 / 24
Definicja 2:
symbolem j lub i.
j = (0, 1)
Im z = y .
urojoną.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
9 / 24
Definicja 2:
symbolem j lub i.
j = (0, 1)
Im z = y .
urojoną.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
9 / 24
Działania na liczbach zespolonych
Równość liczb zespolonych
Dwie liczby zespolone z1 = x1 + jy1 i z2 = x2 + jy2 są równe jeśli
odpowiednio ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe tj.
x1 = x2 oraz y1 = y2 .
Przykład 3:
Czy równe są liczby (2; −3) i (−3; 2)?
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
10 / 24
Równość liczb zespolonych
Dwie liczby zespolone z1 = x1 + jy1 i z2 = x2 + jy2 są równe jeśli
odpowiednio ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe tj.
x1 = x2 oraz y1 = y2 .
Przykład 3:
Czy równe są liczby (2; −3) i (−3; 2)?
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
10 / 24
Definicja 3:
Liczbami zepolonymi sprzężonymi nazywamy dwie liczby zespolone
z = x + jy oraz z̄ = x − jy
gdzie x, y ∈ R.
Przykład 4:
Podaj liczbę sprzężoną do z = 2 − 3j
Interpretacja geometryczna.
Suma i iloczyn liczb zespolonych sprzężonych są liczbami
rzeczywistymi. Mianowicie dla z = x + jy otrzymujemy:
z + z̄ = 2x
z · z̄ = x 2 + y 2 .
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
11 / 24
Definicja 3:
gdzie x, y ∈ R.
Przykład 4:
z + z̄ = 2x
z · z̄ = x 2 + y 2 .
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
11 / 24
Definicja 3:
gdzie x, y ∈ R.
Przykład 4:
z + z̄ = 2x
z · z̄ = x 2 + y 2 .
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
11 / 24
Definicja 3:
gdzie x, y ∈ R.
Przykład 4:
z + z̄ = 2x
z · z̄ = x 2 + y 2 .
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
11 / 24
Dodawanie liczb zespolonych
Sumę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy dodając do siebie osobno części
rzeczywiste i urojone.
Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 )
Przykład 5:
Oblicz
(2 − 3j) + (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
12 / 24
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 )
Przykład 5:
Oblicz
(2 − 3j) + (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
12 / 24
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 )
Przykład 5:
Oblicz
(2 − 3j) + (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
12 / 24
Odejmowanie liczb zespolonych
Różnicę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy odejmując od siebie osobno
części rzeczywiste i urojone.
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + j(y1 − y2 )
Przykład 6:
Oblicz
(2 − 3j) − (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
13 / 24
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + j(y1 − y2 )
Przykład 6:
Oblicz
(2 − 3j) − (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
13 / 24
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + j(y1 − y2 )
Przykład 6:
Oblicz
(2 − 3j) − (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
13 / 24
Mnożenie liczb zespolonych
Iloczyn liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy mnożąc przez wszystkie wyrazy,
a następnie zastępując j 2 przez −1.
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + x2 y1 )
Dodawanie, odejmowanie i mnmożenie liczb zespolonych w postaci
algebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie i
mnożenie wielomianów zmiennej j przy warunku j 2 = −1.
Przykład 7:
Oblicz
(2 − 3j) · (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
14 / 24
Mnożenie liczb zespolonych
Iloczyn liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy mnożąc przez wszystkie wyrazy,
a następnie zastępując j 2 przez −1.
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + x2 y1 )
Dodawanie, odejmowanie i mnmożenie liczb zespolonych w postaci
algebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie i
mnożenie wielomianów zmiennej j przy warunku j 2 = −1.
Przykład 7:
Oblicz
(2 − 3j) · (4 + j).
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
14 / 24
Dzielenie liczb zespolonych
Iloraz liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy obliczamy mnożąc licznik i
mianownik tego ułamka przez liczbę zespoloną sprzężoną z mianownikiem,
a następnie rozdzielając część rzeczywistą i urojoną.
(x1 x2 + y1 y2 ) (x2 y1 − x1 y2 )
z1
+
=
z2
x22 + y22
x22 + y22
Przykład 8:
Oblicz
2 − 3j
.
4+j
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
15 / 24
Dzielenie liczb zespolonych
Iloraz liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy obliczamy mnożąc licznik i
mianownik tego ułamka przez liczbę zespoloną sprzężoną z mianownikiem,
a następnie rozdzielając część rzeczywistą i urojoną.
(x1 x2 + y1 y2 ) (x2 y1 − x1 y2 )
z1
+
=
z2
x22 + y22
x22 + y22
Przykład 8:
Oblicz
2 − 3j
.
4+j
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
15 / 24
Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych
(są podzbiorem zbioru liczb zespolonych)
R⊂C
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0)
(x1 , 0) − (x2 , 0) = (x1 − x2 , 0)
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0)
(x1 , 0)/(x2 , 0) = (x1 /x2 , 0)
W zbiorze liczb zespolonych obowiązują wszystkie reguły czterech
podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie
i dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności prawdziwe są
wzory skróconego mnożenia itp.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
16 / 24
R⊂C
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0)
(x1 , 0) − (x2 , 0) = (x1 − x2 , 0)
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0)
(x1 , 0)/(x2 , 0) = (x1 /x2 , 0)
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
16 / 24
R⊂C
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0)
(x1 , 0) − (x2 , 0) = (x1 − x2 , 0)
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0)
(x1 , 0)/(x2 , 0) = (x1 /x2 , 0)
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
16 / 24
R⊂C
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0)
(x1 , 0) − (x2 , 0) = (x1 − x2 , 0)
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0)
(x1 , 0)/(x2 , 0) = (x1 /x2 , 0)
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
16 / 24
R⊂C
(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0)
(x1 , 0) − (x2 , 0) = (x1 − x2 , 0)
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0)
(x1 , 0)/(x2 , 0) = (x1 /x2 , 0)
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
16 / 24
Wprowadzenie
Przykład 9:
x 2 − 2x + 5 = 0
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
17 / 24
Wprowadzenie
Przykład 10:
x 2 − 2x + 5 = 0
w zbiorze liczb zespolonych.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
18 / 24
Moduł i argument liczby zespolonej
Definicja 4:
Modułem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x, y ∈ R, nazywamy
liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem
|z| =
q
x 2 + y 2.
Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej.
Interpretacja geometryczna modułu różnicy liczb zespolonych.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
19 / 24
Definicja 4:
|z| =
q
x 2 + y 2.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
19 / 24
Definicja 4:
|z| =
q
x 2 + y 2.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
19 / 24
Definicja 5:
Argumenetem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x, y ∈ R,
nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:
(
x
cos ϕ = |z|
.
y
sin ϕ = |z|
Argumentem liczby zespolonej z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.
Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy argument
ϕ tej liczby spełniający nierówność 0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π.
Argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.
Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z. Każdy
argument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = arg z + 2kπ, gdzie
k ∈ Z.
Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
20 / 24
Definicja 5:
(
x
cos ϕ = |z|
.
y
sin ϕ = |z|
k ∈ Z.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
20 / 24
Definicja 5:
(
x
cos ϕ = |z|
.
y
sin ϕ = |z|
k ∈ Z.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
20 / 24
Definicja 5:
(
x
cos ϕ = |z|
.
y
sin ϕ = |z|
k ∈ Z.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
20 / 24
Definicja 5:
(
x
cos ϕ = |z|
.
y
sin ϕ = |z|
k ∈ Z.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
20 / 24
Definicja 5:
(
x
cos ϕ = |z|
.
y
sin ϕ = |z|
k ∈ Z.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
20 / 24
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Niech ϕ ∈ R będzie argumentem liczby zespolonej z a r = |z| 0 jej
modułem. Wtedy
Fakt:
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci
trygonometrycznej
z = r (cos ϕ + j sin ϕ).
Interpretacja geometryczna postaci trygonometrycznej liczby
zespolonej.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
21 / 24
Niech ϕ ∈ R będzie argumentem liczby zespolonej z a r = |z| 0 jej
modułem. Wtedy
Fakt:
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci
trygonometrycznej
z = r (cos ϕ + j sin ϕ).
Interpretacja geometryczna postaci trygonometrycznej liczby
zespolonej.
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
21 / 24
Niech dane będą dwie liczby zespolone z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) i
z1 = r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 ). Wtedy
Liczby zespolone z1 i z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy r1 = r2 = 0
albo r1 = r2 > 0 oraz ϕ1 = ϕ2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z.
Iloczyn liczb zespolonych:
z1 · z2 = r1 · r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 )]
Potęgowanie (wzór de Moivre’a):
z n = r n (cos nϕ + j sin nϕ)
Iloraz liczb zespolonych:
r1
z1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
22 / 24
r1
z1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
22 / 24
r1
z1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
22 / 24
r1
z1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
22 / 24
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Definicja 6:
Dla ϕ ∈ R liczbę zespoloną cos ϕ + j sin ϕ oznaczamy krótko przez e jϕ .
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
Fakt:
Niech ϕ ∈ R. Wówczas zachodzą wzory Eulera:
cos ϕ =
e jϕ + e −jϕ
;
2
sin ϕ =
Matematyka 1
e jϕ − e −jϕ
2j
ELEKTROTECHNIKA
23 / 24
Definicja 6:
Dla ϕ ∈ R liczbę zespoloną cos ϕ + j sin ϕ oznaczamy krótko przez e jϕ .
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
Fakt:
Niech ϕ ∈ R. Wówczas zachodzą wzory Eulera:
cos ϕ =
e jϕ + e −jϕ
;
2
sin ϕ =
Matematyka 1
e jϕ − e −jϕ
2j
ELEKTROTECHNIKA
23 / 24
Fakt:
Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej
z = re jϕ ,
gdzie r 0 oraz ϕ ∈ R.
Niech dane będą liczby zespolone z1 = r1 e jϕ1 i z1 = r2 e jϕ2 oraz z = re jϕ .
Wtedy
Fakt:
z1 · z2 = r1 r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
z n = r n e jnϕ
r1
z1
= e j(ϕ1 −ϕ2 )
z2
r2
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
24 / 24
Fakt:
z = re jϕ ,
Wtedy
Fakt:
z1 · z2 = r1 r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
z n = r n e jnϕ
r1
z1
= e j(ϕ1 −ϕ2 )
z2
r2
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
24 / 24
Fakt:
z = re jϕ ,
Wtedy
Fakt:
z1 · z2 = r1 r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
z n = r n e jnϕ
r1
z1
= e j(ϕ1 −ϕ2 )
z2
r2
Matematyka 1
ELEKTROTECHNIKA
24 / 24

Matematyka 1

Transkrypt

Podobne dokumenty

Algebra liniowa I. Liczby zespolone Na płaszczyźnie wprowadźmy

Zadania z Algebry z Geometrią Zestaw uzupełniający 1. 1. Dla

Analiza zespolona Lista 1 Wprowadźmy na zbiorze R2

Algebra liniowa 2014

LICZBY ZESPOLONE - zadania dla chętnych

Liczby zespolone

Ćwiczenia: liczby zespolone - Matematyka dla ciekawych świata

Zestaw 1. 1. Sprawdzić, że mnożenie Hamiltona

alternatywa