Algebry Boole`a

Algebry Boole'a
Przykªad 1 Niech S b¦dzie dowolnym zbiorem i niech P (S) b¦dzie rodzin¡
wszystkich podzbiorów zbioru S . Wprowadzamy dziaªania: ∪, ∩, i Ac .
Przykªad 2 Niech B = {0, 1}. W zbiorze B mamy zwykªe dziaªania logiczne
∨, ∧. Dziaªanie 0 zdeniowane jest nast¦puj¡co: 00 = 1 i 10 = 0.
Przykªad 3 Liczby 0 i 1 mo»na interpretowa¢ jako prawd¦ i faªsz. Dziaªanie 0
oznacza negacj¦. Dziaªania ∨ and ∧ okre±lone s¡ nast¦puj¡co:
a ∨ b = max{a, b},
a ∧ b = min{a, b}.
Denicja 1 Algebr¡ Boole'a deniujemy jako niepusty zbiór z dwoma dziaªaniami dwuargumentowymi ∨, ∧ i dziaªaniem jednoargumentowym 0 oraz ró»nymi
elementami 0 i 1 speªniaj¡cymi nast¦puj¡ce prawa
(a) x ∨ y = y ∨ x;
(b) x ∧ y = y ∧ x;
(c) (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z);
(d) (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z);
(e) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z);
(f) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z);
(g) x ∨ 0 = x;
(h) x ∧ 1 = x;
(i) x ∨ x0 = 1;
(j) x ∧ x0 = 0.
Dziaªanie ∨ nazywamy sum¡, ∧ - iloczynem, a dziaªania jednoargumentowe
nazywamy dopeªnieniem.
0
Twierdzenie 1 Wªasno±ci w ka»dej algebrze Boole'a zachodz¡ nast¦puj¡ce prawa:
(a) x ∨ x = x;
(b) x ∧ x = x;
(c) x ∨ 1 = 1;
(d) x ∧ 0 = 0;
(e) (x ∧ y) ∨ x = x;
(f) (x ∨ y) ∧ x = x;
1
(g) (x ∨ y)0 = x0 ∧ y 0 ;
(h) (x ∧ y)0 = x0 ∨ y 0 .
Denicja 2 Deniujemy relacj¦ ≤ w algebrze Boole'a nast¦puj¡cym wzorem
x ≤ y ⇔ x ∨ y = y.
Twierdzenie 2 W alebrze Boole'a mamy:
(a) je±li x ≤ y i y ≤ z , to x ≤ z ;
(b) je±li x ≤ y i y ≤ x, to x = y ;
(c) je±li x < y i y < z , to x < z .
2