Modelowanie Matematyczne CzŚą˘ druga Równanie Van der Pola

Modelowanie Matematyczne
Cz¦±¢ druga
Równanie Van der Pola
Eppur si muove
Galileo Galilei
Celem projektu jest zbadanie dynamiki zadanej przez nast¦puj¡ce autonomiczne
równanie ró»niczkowe (równanie oscylatora Van der Pola):
ẍ − µ(1 − x2 )ẋ + ax = 0,
(1)
gdzie a > 0, µ ∈ R s¡ parametrami tego równania.
Satysfakcjonowa¢ b¦dzie nas odpowied¹ na pytanie o zachowanie trajektorii w
przestrzeni fazowej dla równowa»nego ukªadu równa« ró»niczkowych zwyczajnych:
(
ẋ = µ x −
x3
3
+ y,
ẏ = −ax.
(2)
Naszym celem b¦dzie wi¦c zlokalizowanie punktów równowagi zadanego ukªadu,
okre±lenie ich stabilno±ci, stwierdzenie wyst¦powania ewentualnych cykli granicznych
i ich stabilno±ci.
Sugerujemy przed zaj¦ciami powtórzy¢/zapozna¢ nast¦puj¡ce zagadnienia:
• Podstawowe wiadomo±ci z teorii równa« ró»niczkowych zwyczajnych:
istnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡za«, linearyzacja, stabilno±¢, cykl graniczny
i jego stabilno±¢.
• Twierdzenie Grobmana-Hartmana w wersji dla potoków.
Poni»sze zadania przedstawiaj¡ przykªadowy schemat my±lowy zastosowany
do badania dynamiki równania Van der Pola. Zadania 1-3 reprezentuja podej±cie analityczne natomiast zadania 4-7 numeryczne.
1
Zadanie 1.
Poka», »e bez utraty ogólno±ci mo»na przyj¡¢ w dalszych badaniach
a = 1. Co oznacza, »e aby pozna¢ zachowanie trajektorii potrzeba bada¢ tylko
warto±¢ wspóªczynnika µ.
Wskazówka: Poka», »e rozwi¡zania równania
µ
ẍ − √ (1 − x2 )ẋ + x = 0
a
(3)
(4)
s¡ izomorczne z dokªadno±ci¡ do przeskalowania czasu. Dzi¦ki temu uzyskamy
informacje, i» ich portrety fazowe równie» s¡ jedynie przeskalowane.
ẍ − µ(1 − x2 )ẋ + ax = 0
Zadanie 2.
Analogicznie do poprzedniego zadania zauwa», »e aby móc wyci¡ga¢ wnioski
dotycz¡ce dynamiki trajektorii badanego ukªadu dla dowolnych warto±ci parametru
µ wystarczy, »e b¦dziemy znali ich zachowanie dla µ ≥ 0.
Zadanie 3.
Dokonaj linearyzacji ukªadu (2) i zbadaj stabilno±¢ punktu równowagi ukªadu
zlinearyzowanego w zale»no±ci od warto±ci µ ≥ 0. Nast¦pnie opieraj¡c si¦ na
twierdzeniu Grobmana-Hartmana przeanalizuj stabilno±¢ punktu równowagi
ukªadu (2).
Uwaga: Przypadek w którym nie mo»na zastosowa¢ twierdzenia G-H nale»y
rozpatrze¢ oddzielnie.
Zadanie 4.
U»ywaj¡c na przykªad funkcji Manipulate[] zbadaj trajektorie ukªadu (2)
dla ró»nych warunków pocz¡tkowych i ró»nych warto±ci µ > 0.
Zadanie 5.
Je»eli, przy wybranym zestawie niezerowych danych pocz¡tkowych z poprzedniego zadania, podejrzewasz pojawianie si¦ stabilnego cyklu granicznego to
przedstaw jego ksztaªt na wykresie.
Zadanie 6.
Narysuj szeregi czasowe ukªadu (2) dla ró»nych warunków pocz¡tkowych i
ró»nych warto±ci µ > 0.
2
Zadanie 7.
Zestaw wyniki trzech poprzednich zada« w jednej funkcji (bloku Manipulate[],
albo funkcji zale»nej od µ, x(0), y(0)). Nast¦pnie na podstawie powy»szych
zada« postaw hipotez¦ charakteryzuj¡c¡ krótko zachowanie trajektorii ukªadu
(2) w zale»no±ci od warto±ci parametrów µ, a.
W sprawozdaniu z tego zadania nale»y zawrze¢:
• Zbadaj numerycznie jak wygl¡da cykl graniczny powstaj¡cy przy parametrze
a = 1 gdy µ → 0+ .
• Napisz funkcj¦ pierwszego powrotu do osi Y przy parametrach µ = a = 1
W naszym przypadku b¦dzie to funkcja P (y0 ) która dla zadanego y0 > 0
b¦dzie zwracaªa warto±¢ pierwszego punktu (ró»nego od y0 ) który jest
maksimum lokalnym funkcji y(t) wyliczonej z ukªadu (2) przy ustalonych
µ = a = 1, x(0) = 0 i y(0) = y0 .
Dla uproszczenia mo»esz przyj¡¢, »e maksimum to pojawia si¦ w czasie
pomi¦dzy t = π a t = 3π i w czasie tym nie wyst¦puj¡ »adne inne
maksima.
Nast¦pnie wykorzystuj¡c funkcj¦ Interpolation naszkicuj funkcj¦ P (y)
i skomentuj czy otrzymany wynik zgadza si¦ z hipotez¡ postawion¦ przez
Ciebie w zadaniu 7.
References
[1] G. ‘wi¡tek Dynamika
modeli matematycznych
.
[2] G. ‘wi¡tek Równania
ró»niczkowe zwyczajne. Skrypt z wykªadu
[3] R. L. Devaney, An Introduction
edition, Westview Press, (2003).
.
, second
to Chaotic Dynamical Systems
[4] A. Palczewski, Równania ró»niczkowe zwyczajne, Wydawnictwo NaukowoTechniczne, Warszawa, (2004).
3