zadania do samodzielnego rozwiązania

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
1. Zmienne losowe - zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 1.1 Doświadczenie może zakończyć się dwoma wynikami, które nazwiemy odpowiednio sukcesem i porażką, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu równe jest p, a porażki 1 − p
(p ∈ (0, 1)). Niech X = 1, jeśli uzyskano sukces, i X = 0 dla porażki. Oblicz EX i V arX.
Zad. 1.2 Wyznacz i narysuj dystrybuantę zmiennej losowej, dla której
P (X = k) = 1/2k ,
k = 1, 2, 3, . . .
Zad. 1.3 Wiedząc, że X ma rozkład Poissona z parametrem λ oblicz EeX i E cos(πX).
Zad. 1.4 Dana jest funkcja

√ c
dla |x| < 1,
0
dla |x| ­ 1,
f (x) = 
1−x2
gdzie c jest nieznaną stałą. Wiedząc, że f jest gęstością rozkładu pewnej zmiennej losowej
X:
1. wyznacz wartość c,
2. podaj wzór na dystrybuantę zmiennej X,
3. oblicz EX.
Zad. 1.5 Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych
1. S = 2X + 1,
2. T = X 2 ,
3. U = −X 2 + 2,
jeżeli EX = 2, V ar X = 1, EX 4 = 34.
Zad. 1.6 Wiedząc, że X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 i P (X < 2) = 43 , wyznacz λ.
Zad. 1.7 Wykaż, że rozkład wykładniczy ma własność braku pamięci (zwaną także własnością
Markowa), tzn. jeśli X jest zmienną losową o danym rozkładzie, to
P (X > t + s|X > t) = P (X > s),
gdzie t, s ∈ R+ .
Zad. 1.8 Oblicz:
1. P (|X| > 3), jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie N (1, 4),
2. P (0 < X < 6), jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie N (4, 4).
W jednym układzie współrzędnych sporządź wykresy gęstości zmiennych losowych o rozkładach N (0, 1), N (0, 4) i N (0, 9).
Zad. 1.9 Wytrzymałość lin stalowych pochodzących z masowej produkcji jest zmienną losową X
o rozkładzie normalnym N (1000 kG/cm2 , 2500 kG2 /cm4 ). Oblicz, ile przeciętnie lin spośród
1000 ma wytrzymałość mniejszą niż 900 kG/cm2 .