plik PDF

Marcin Braun
Odkrywamy
własności pochodnej
Lekcja w pracowni komputerowej.
Dużo mówi się ostatnio o nauczaniu
przez odkrywanie. Ale w konkretnych
wypadkach napotykamy na trudności.
Jak uczniowie mogą na przykład samodzielnie zauważyć związek między własnościami funkcji a własnościami funkcji pochodnej? Pewnie na podstawie
wykresów, bo tylko na wykresie łatwo
zauważyć miejsca zerowe, ekstrema
czy monotoniczność. Niestety, póki nie
znamy tych zależności, nie narysujemy
wykresu.
Wyrwie nas z tego błędnego koła komputer z programem pozwalającym rysować wykresy funkcji i ich pochodnych.
Jest wiele wspaniałych (i drogich) narzędzi dla matematyków, jak Mathematica
czy Derive, ale nam wystarczy mały darmowy program ściągnięty z Internetu.
Nasze narzędzie
Program ten nazywa się Graph i można
go ściągnąć z polskiego serwera: http://
www.zoom.idg.pl/ftp/pobierz/pc/1755.
html.
Całość ma niewiele ponad 1 MB,
więc transmisja nie trwa zbyt długo,
nawet przez modem. Do pracowni
możemy oczywiście ściągnąć program
raz, a potem przenieść go na inne komputery. Jeśli nie są połączone w sieć,
wystarczy dyskietka.
Gdy wreszcie zainstalujemy program,
pracownia jest gotowa do lekcji. Czas
na instalację (którą mogą też wykonać
uczniowie na początku zajęć) zaprocentuje w przyszłości: program przyda się
12
z pewnością jeszcze innym klasom na
różne okazje, bo z rysowaniem wykresów funkcji spotykamy się często.
Lekcja
Opisaną tu lekcję prowadzimy, gdy
uczniowie wiedzą już, co to jest
pochodna funkcji w punkcie i funkcja pochodna, znają interpretację geometryczną, nie wiedzą jednak jeszcze,
jaki związek ma zachowanie pochodnej
z przebiegiem funkcji.
Gdy siądą przy komputerach, polećmy
im, aby włączyli program Graph i zapoznali się z instrukcją. Tę ostatnią znajdą
Państwo w karcie pracy. Można ją skserować i rozdać uczniom na papierze.
Gdyby był z tym kłopot, wystarczy ściągnąć ją ze strony www.gwo.pl/gazeta
i umieścić na komputerach w postaci
elektronicznej. Polecenie dla uczniów
jest sformułowane bardzo ogólnikowo
(„spróbuj znaleźć zależności”) i pewnie
niewielu będzie umiało je wykonać bez
pomocy nauczyciela. Możemy wówczas
podać im wskazówkę:
Co się dzieje z funkcją, gdy pochodna
jest dodatnia? Gdy jest ujemna? Gdy ma
miejsce zerowe?
Nie podałem jednak tych wskazówek
w instrukcji, aby lepsi uczniowie, którzy mają szansę poradzić sobie bez nich,
nie szli na łatwiznę. Każdy nauczyciel
będzie wiedział, komu w jego klasie
wskazówkę trzeba koniecznie podać, kto
na pewno obejdzie się bez niej, a kto
może przynajmniej spróbować.
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
ML21 str. 12
Komputer czy kalkulator?
Opisane ćwiczenia nie muszą zajmować
całej lekcji. Przeciwnie, dobrze, jeśli
na tej samej lekcji wystarczy czasu na
wyciągnięcie wniosków i podsumowanie
tematu przez nauczyciela, a może i na
porządne sformułowanie i udowodnienie
twierdzeń.
Pewną przeszkodą w takiej kontynuacji może być trudność w skupieniu się
na „zwykłej” matematyce, gdy uczniowie znajdują się w sali komputerowej.
Pod tym względem lepiej skorzystać
z kalkulatorów graficznych: można je
w odpowiednim momencie po prostu
zebrać i schować do pudełka, a sala lekcyjna i tak jest „zwykła”. Ci z Państwa,
którzy dysponują takimi urządzeniami,
znają też potrzebne szczegóły dotyczące
ich obsługi. Strona merytoryczna pozostaje bez zmian. W artykule opisywałem
zastosowanie komputerów jako bardziej
rozpowszechnionych w szkole.
Od redakcji. Te same ćwiczenia mogą Państwo wykonać także za pomocą programu
Graphmatica, opisanego w artykule Adriana
Pająka na stronach 18–19.
WŁASNOŚCI FUNKCJI A WŁASNOŚCI POCHODNEJ
Obsługa programu Graph
1. Aby zdefiniować nową funkcję, wybierz z menu „Function”, a następnie „Insert function”. Gdy pojawi się okienko „Insert function”, wpisz wzór funkcji w rubryce „Function
equation”. Używaj symboli +, −, ∗, / (dzielenie) oraz ^ (potęgowanie), na przykład funkcję f (x) = 2x3 − x +3 2 zapisz jako f(x) = 2x^3 − 3 / (x + 2).
2. Aby otrzymać wykres pochodnej funkcji, wybierz z menu „Function”, a następnie
„Insert f’(x)”. Wzór funkcji powinien w tym czasie być podświetlony (jeśli nie jest –
kliknij na niego, zanim zaczniesz wybierać opcje z menu). Zanim uzyskasz wykres,
zmień jego kolor (klikając dwukrotnie na kolorowe pole, a następnie na próbkę koloru),
aby odróżnić potem wykres funkcji od wykresu jej pochodnej.
3. Aby skasować wszystkie funkcje i wykresy, wybierz „File” i „New”. Możesz też
kasować funkcje pojedynczo, przyciskając „Delete”, gdy podświetlony jest wzór funkcji.
Co masz do zrobienia
Narysuj wykres pierwszej z podanych niżej funkcji i wykres jej pochodnej. Przyjrzyj się
obu wykresom i spróbuj znaleźć między nimi zależności. Przedyskutuj to z koleżankami
i kolegami w grupie. Następnie zbadaj, czy podobne zależności występują także u innych
spośród podanych funkcji. Możesz także wymyślić własne funkcje.
Czy umiesz – pamiętając, co to jest pochodna, i jaką ma interpretację geometryczną –
wyjaśnić, dlaczego zachodzą obserwowane zależności?
Funkcje do rozważenia
y = x(x − 4)
y = −x(x − 4)
y = x3 − 2x − 1
y = −x5 − 2x3 + 10x
y = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
y = sin x
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
ML21 str. 13
13