POCHODNA DLA NORMALNYCH LUDZI

24
TEMAT NUMERU
Marcin Braun
POCHODNA
DLA NORMALNYCH LUDZI
Gdyby „Matematyka w Szkole” miała wersję dźwiękową, podkładem muzycznym do artykułu o nauczaniu pochodnych
mogłaby być piosenka Pojawiasz się i znikasz. Kiedyś o pochodnych uczono się dopiero na studiach, później trafiły do
szkół średnich. W ramach reformy Handkego ograniczono je
do zakresu rozszerzonego. Teraz znikły zupełnie, ale według
nowego projektu mają wrócić do rozszerzenia.
Szkoda, że w ramach tych ciągłych zmian nie pojawia się
jeszcze jedno rozwiązanie: nauczać, ale inaczej niż do tej pory. Z mojego bowiem doświadczenia wynika, że trudne dla
uczniów nie jest samo pojęcie pochodnej, ale sposób, w jaki
jest wprowadzane. Uczniowie mają je zrozumieć na podstawie skomplikowanej definicji wykorzystującej pojęcie granicy
– pojęcie trudne, a przy tym ledwo wprowadzone i nieugruntowane. Tymczasem formalną definicję zrozumieć i docenić
może ten, kto wcześniej dobrze poznał i zrozumiał definiowane pojęcie.
Czy możemy sobie wyobrazić, że dzieci w przedszkolu, poznając kształt koła, słyszą, że składa się ono z punktów, których
odległość. . . itd.? Chociaż na ogół rozumieją pojęcie odległości, po takiej definicji nikt nie umiałby sobie wyobrazić, co to
jest koło. Dopiero kiedy ktoś doskonale to wie, niejedno koło
już zobaczył i narysował, może poznać jego ścisłą definicję.
Z pochodnymi może być tak samo. Uczniowie szkoły średniej
powinni rozumieć to pojęcie intuicyjnie i posługiwać się nim
jako wygodnym narzędziem. Na formalną definicję przyjdzie
czas później – można ją spokojnie zostawić na studia.
Podobnie było zresztą w historycznym rozwoju matematyki.
Najpierw uczeni wynaleźli pochodne i zaczęli się nimi posługiwać. Zanim powstała ścisła definicja pochodnej, biegle
rozwiązywali wiele równań różniczkowych i rozwijali funkcje
w szeregi. Skąd pomysł, że dzisiejszy uczeń jest w stanie przeskoczyć prawie dwieście lat pracy uczonych w czasie jednej
lekcji?
MAGENTA BLACK
(211/08 ml31) str. 24
25
TEMAT NUMERU
Wspomnienia
Miałem to szczęście, że nie zdążyłem się
dowiedzieć, jakie trudne są pochodne, bo
już w pierwszej klasie liceum potrzebowałem ich do rozwijania moich zainteresowań
fizycznych.
Dowiedziałem się więc z jakiejś popularnej
książki, że pochodna opisuje, jak szybko
funkcja rośnie albo maleje. Prędkość to pochodna położenia po czasie, przyspieszenie
– pochodna prędkości. Pochodna opisuje
także nachylenie stycznej do wykresu. A jak
się liczy pochodne? Ano, trzeba zajrzeć do
Bronsztajna.
Po kilku latach z przyjemnością dowiedziałem się, że istnieje formalna definicja, której
piękno mogłem docenić, skoro samo pojęcie
rozumiałem już od dawna. Czy zrozumiałbym ją, gdybym wcześniej nie wiedział, o co
chodzi? Wątpię.
Kiedy więc zostałem nauczycielem, nie miałem wątpliwości, że wszyscy moi uczniowie
powinni rozumieć, o co chodzi w pojęciu pochodnej. A definicję możemy omówić
z najlepszymi. I okazało się, że nawet ci,
którzy mieli problemy z działaniami na
ułamkach, bez problemu wskazywali na wykresie, gdzie funkcja ma dodatnią, a gdzie
ujemną pochodną. Ba! Widzieli, gdzie pochodna jest większa, a gdzie – mniejsza.
Chyba więc pojęcie nie było dla nich zbyt
trudne.
Podobne doświadczenia opisywał niedawno
na tych łamach Adam Miziołek1 . Pisze on:
„wielu uczniów i tak jej [formalnej definicji
pochodnej] nie zrozumie, już bowiem zrozumienie pojęcia granicy wymaga zdolności
w abstrakcyjnym myśleniu. Ważne jest, że
prawie każdy zrozumie sens pochodnej i jej
podstawowe zastosowania”.
Fizyka czy geometria?
Nowy projekt podstawy programowej obejmuje zarówno geometryczną, jak i fizyczną
MAGENTA BLACK
interpretację pochodnej. Pewnie słusznie.
Można się jednak zastanawiać, od której zacząć. Moim zdaniem lepiej od geometrii.
Pojęcie prędkości to świetna interpretacja,
problem w tym, że czasem bywa fatalnie
wyjaśniane w szkole, a wtedy odwołanie do
niego nie będzie żadnym ułatwieniem.
Z wykresami uczniowie spotykają się dziś
w szkole znacznie częściej niż kiedyś, a co
ważniejsze – znają je także z życia codziennego, choćby z ilustracji w gazetach. Dla
większości uczniów nie stanowi problemu
odczytanie z wykresu, kiedy WIG rósł, kiedy
spadał, a kiedy osiągnął minimum. A nawet,
kiedy spadał wolniej, a kiedy – szybciej.
Jeśli się odwołamy do tych umiejętności, wprowadzenie pochodnej nie będzie
problemem.
Pięć kroków
Lekcję o pochodnych możemy przeprowadzić w kilku krokach:
1. Przypominamy pojęcie nachylenia wykresu. Uczniowie odczytują (ujemne, dodatnie
i zerowe) nachylenia różnych (narysowanych, a nie danych w postaci wzoru!) prostych. Niech jednak te proste coś przedstawiają, np. wzrost/spadek kursu akcji.
Możemy tutaj zapytać od razu, o ile akcje
drożały w ciągu dnia. Umowa, że obniżka
ceny to „ujemna podwyżka” nie będzie dla
uczniów zaskoczeniem. I możemy nawet od
razu powiedzieć, że to się nazywa pochodna.
2. Pokazujemy wykres funkcji kawałkami liniowej. Możemy odczytać pochodną na prostych kawałkach, a przy okazji widzimy, że
w punktach zgięcia pochodnej nie ma.
3. Pokazujemy krzywą. Niech to będzie na
przykład wykres przedstawiający wysokość,
na której leciał samolot, w zależności od
czasu.
Łatwo się zgodzić, kiedy pochodna powinna
być dodatnia, a kiedy ujemna, kiedy większa, a kiedy mniejsza. Ale jak wyrazić
(211/08 ml31) str. 25
26
TEMAT NUMERU
ją liczbowo? Pokazujemy, że styczna najlepiej oddaje nachylenie wykresu w danym
punkcie. Styczną rozumiemy oczywiście tylko intuicyjnie, zresztą nie da się inaczej bez
popadania w błędne koło: ścisła definicja
stycznej opiera się na pojęciu pochodnej.
4. Możemy teraz wyznaczać przybliżoną
wartość pochodnej funkcji danej w postaci
wykresu, rysując styczną na oko od przyłożonej do wykresu przezroczystej linijki.
5. Od razu, nie czekając na jakiekolwiek
rachunki, możemy odpowiedzieć na pytania o pochodną funkcji rosnącej, malejącej
i o pochodną w maksimum lub minimum.
Teraz uczniowie rozumieją już, co to jest pochodna.
wadzić formalnej indukcji, aby zobaczyć, co
wyjdzie.
Można oczywiście argumentować, że w matematyce wszystko powinno mieć swoje ścisłe uzasadnienie. Jednak w praktyce wcale
tak nie jest. Wiele faktów podaje się bez
dowodu. Skoro więc wszystkiego udowodnić w szkole nie zdołamy, a chcielibyśmy
zapoznać uczniów z matematycznym dowodzeniem, warto się zastanowić, czy akurat
wyprowadzanie wzorów na pochodne jest
najlepszą okazją do nauki rozumowania.
Moim zdaniem jest to raczej jedna z najgorszych okazji. W długich przekształceniach
algebraicznych i tak nie widać toku myślenia. Znacznie lepiej pokazywać dowody
geometryczne. Możemy udowodnić własności czworokątów, jak choćby to, że jeśli
czworokąt ma przeciwległe boki równe, to
jest równoległobokiem. Można przy tym nawet zwrócić uwagę na to, że twierdzenie
„równoległobok ma przeciwległe boki równe” to inne twierdzenie i wymaga osobnego
dowodu. A każdy z tych dowodów uczeń
może zobaczyć na rysunku i zrozumieć.
Formalizm dla każdego?
Taki schemat lekcji każdy może sobie zaadaptować do własnych warunków. Kto
jednak chciałby zobaczyć szczegółowe rozwiązanie, znajdzie je w drugiej części tego
artykułu (w następnym numerze pisma).
A jak ją liczyć?
Oczywiście intuicyjne rozumienie pochodnej nie pozwala jeszcze wykonywać obliczeń. Cóż więc zrobić, aby uczniowie mogli
rozwiązywać choćby proste zadania rachunkowe? Pewnie niektórzy uznają moją radę
za kontrowersyjną, ale wzory na pochodną sumy, różnicy i iloczynu możemy podać
bez dowodu. A z nich łatwo przejść do
pochodnych wielomianów; nie musimy pro-
MAGENTA BLACK
I jeszcze jedna uwaga. Pisałem wcześniej, że
aby zrozumieć i docenić formalną definicję,
trzeba najpierw dobrze rozumieć intuicyjnie
definiowane pojęcie. Warto dodać, że jest
to warunek konieczny, ale nie dostateczny.
Poza tym trzeba jeszcze w ogóle doceniać
piękno formalnych teorii. Czyli mieć duszę
matematyka. A czy każdy musi ją mieć?
Zatrważająco wiele dowcipów matematycznych zaczyna się od: „Matematyk i normalny
człowiek. . .”. Spróbujmy popatrzeć na pochodne z innego punktu widzenia niż punkt
widzenia zawodowego matematyka.
1
A. Miziołek, Pochodna bez granic, „Matematyka w Szkole”, nr 25, listopad/grudzień 2005,
s. 25–27.
(211/08 ml31) str. 26