P L A N I M E T R I A .

P L A N I M E T R I A
Lekcja 50-51
Temat: Długość okręgu i pole koła. Str. 184-186.
Teoria
1. Okręgiem nazywamy zbiór punktów równo oddalonych od wybranego punktu, który nazywamy
środkiem okręgu. Odległość środka okręgu od dowolnego punku leżącego na okręgu nazywamy
promieniem.
2. Kołem nazywamy część płaszczyzny ograniczonej okręgiem. Środek okręgu jest środkiem koła.
Promień okręgu jest promieniem koła.
3. Kąt środkowy jest to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu lub koła.
Kąt środkowy wycina z koła figurę zwaną wycinkiem koła.
4. Długość okręgu o promieniu r, obwód okręgu opisany jest wzorem O
α
5. Długość łuku obliczamy ze wzoru: L w =
⋅ 2π ⋅ r
360 o
6. Pole koła obliczamy ze wzoru P
= πr2.
7. Pole wycinka koła obliczamy ze wzoru: Pw =
α
⋅ π ⋅r2
o
360
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4, 5, 6 str. 184-186
Lekcja druga
Zad. 1, 2, 3, 4 str. 186
Zad. domowe
Powtórzenie. Zad. 1, 2 str. 186..
Strona 1 z 11
= 2πr.
Lekcja 52-53
Temat: Wzajemne położenie dwóch okręgów. Str. 187-188
Teoria
1. Mamy różne wzajemne położenia dwóch okręgów:
a) Rozłączne zewnętrznie:
Okręgi te nie mają punktów wspólnych,
a odległość ich środków jest zawsze większa od sumy ich promieni |O1O2| > r1 + r2
b) Rozłączne wewnętrznie:
Okręgi te nie mają punktów wspólnych,
a odległość ich środków jest zawsze mniejsza od sumy ich promieni |O1O2| < r1 + r2
c) Przecinają się:
Okręgi te nie mają dwa punkty wspólne,
a odległość ich środków jest zawsze mniejsza od sumy ich promieni |O1O2| < r1 + r2
i większa od bezwzględnej różnicy ich promieni |r1 - r2| < |O1O2|.
|r1 - r2| < |O1O2| < r1 + r2
Strona 2 z 11
d) Styczne zewnętrznie:
Okręgi te mają jeden punkt wspólny,
a odległość ich środków jest zawsze równa sumie ich promieni |O1O2| = r1 + r2
e) Styczne wewnętrznie:
Okręgi te mają jeden punkt wspólny,
a odległość ich środków jest zawsze równa bezwzględnej wartości
różnicy ich promieni |r1 - r2| = |O1O2|.
2. Odległość dwóch punktów A(xA; yA) i B(xB; yB) obliczamy ze wzoru:
| AB |=
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2
Strona 3 z 11
Cwiczenia 1, 2, str. 187-188
Lekcja druga
Zad. 1, 2, 3, 4, 5 b) str. 188
Zad. domowe
Zad. 1, 2, 3, 4, 5 a) str. 188
Lekcja 54-55
Kartkówka
Temat: Wzajemne położenie okręgu i prostej. Str. 189-190
Teoria
Niech d oznacza odległość środka okręgu od prostej l.
W zależności od położenia prostej względem okręgu mamy:
a) odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia.
d>r
Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest większa od długości promienia, to prosta leży
całkowicie poza okręgiem.
b) odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia.
d=r
O prostej tej mówimy, że jest styczna do okręgu i jest ona prostopadła do promienia w punkcie
styczności.
c) odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia.
d<r
Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od długości promienia to prosta ma
dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem i taką prostą nazywamy sieczną okręgu.
Strona 4 z 11
Ćwiczenia 1, 2 str. 189-190
Lekcja druga
Zad. 1, 2, 3, 4 b) str. 190
Zad. 5, 6 str. 190.
Zad. domowe
Zad. 1, 2, 3, 4 a) str. 190
Lekcja 56-57
Temat: Kąty w okręgu. 191-194
Teoria
1. Kątem wpisanym nazywamy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a jego ramiona zawierają
cięciwy tego okręgu. Kąt ten jest wypukły.
2. Kąt środkowy zawsze jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
α = 2β
3. Kąt zawarty między styczną, a cięciwą okręgu poprowadzoną z punktu styczności nazywamy
kątem dopisanym do kręgu jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku.
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4, 5 str. 191-192
Zad. domowe
Zad. 2 str. 192
Lekcja druga
Zad. 3, 4, 5, 6, 8 b)-c) str. 192-193
Zad. domowe
Zad. 4, 5, 6, 8 a) str. 193
Strona 5 z 11
Lekcja 58
Kartkówka
Temat: Okrąg wpisany w trójkąt. Str. 191-20`1
Teoria.
1. Dwusieczna kąta.
2. Okrąg wpisany w trójkąt
C
r
B
A
3. Twierdzenie.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny równa się jednej trzeciej
wysokości tego trójkąta.
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4 str. 199-200
Zad. 1, 2, 3 b) str. 200
Zad. domowe
Zad. 1, 2, 3 a) str. 200
Lekcja 59
Temat: Okrąg opisany na trójkącie. Str. 202-205
Teoria
1. Symetralna odcinka.
2. Okrąg opisany na trójkącie.
C
B
A
R
3. Twierdzenie.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym równa się dwumtrzecim
wysokości tego trójkąta.
Ćwiczenia 1, 2, 3,4 str. 202-204
Zad. 3, 4, 5 b) str. 204
Zad. domowe
Zad. 3, 4, 5 a) str. 204
Strona 6 z 11
Lekcja 60
Temat: Wielokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Str. 201; 205
Teoria
1. Wielokąt jest wpisany w okrąg, gdy wszystkie jego boki sa styczne do okręgu.
2. Wielokąt jest opisany na okręgu, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu.
Zad. 5, 6, 7 str. 201
Zad. 4, 5, 6 str. 205.
Lekcja 61-62
Kartkówka
Temat: Pole czworokąta. Str. 208-212
Teoria
Wśród czworokątów wyróżniamy:
a) Trapezy
( a + b) ⋅ h
P=
2
b) Równoległoboki
P = a⋅h
c) Prostokąty
P = a ⋅b
c) Kwadraty
P = a2
d) Romby
P = a⋅h
Obwód, to suma długości wszystkich boków.
Strona 7 z 11
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4, 5, 6 str. 208-210
Lekcja druga
Zad. 1, 2, 3, 4, 5 b) str. 210-211
Zad. domowe
Zad. 1, 2, 3, 4, 5 a) str. 210-211
Lekcja 63
Temat: Odległość między punktami w układzie współrzędnych. Str. 213-215
Teoria
Odległość dwóch punktów A(xA; yA) i B(xB; yB) obliczamy ze wzoru:
| AB |=
(x B − x A )2 + (y B − y A )2 . Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa.
Ćwiczenia 1, 2 3, 4, 5, 6 str. 213-214
Lekcja 64
Temat: Środek odcinka. Str. 216-218
Teoria
Środek odcinka o końcach A(xA; yA) i B(xB; yB) obliczamy ze wzoru:
x + xB
y + yB
xś = A
;
yś = A
2
2
Jest to średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców.
Ćwiczenia 1, 2, 3 str. 216-217
Zad. 1, 2, 3 b)-c) str. 217
Zad. domowe
Zad. 1, 2, 3 c) str. 217
Strona 8 z 11
Lekcja 65
Temat: Zadnia odległość między punktami i środek odcinka. Str. 213-218
Zad. 7, 8 str. 215
Zad. 7, 8, 9 str. 218
Lekcja 66
Kartkówka
Temat: Symetria osiowa. Str. 219-222
Teoria
1. Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym
każdemu punktowi A przyporządkowany jest punkt A', leżący na prostej prostopadłej do tej prostej k
przechodzącej przez punkt A w tej samej odległości od k, co punkt A, ale po drugiej stronie prostej k.
Prostą k nazywamy osią symetrii.
Symetrię osiową względem prostej k nazywamy również odbiciem symetrycznym względem
prostej k. Każdy punkt prostej k jest punktem stałym symetrii.
2. Oś symetrii figury
Figura f ma oś symetrii k, jeżeli punkty figury f symetryczne względem k należą też do figury f.
Prostą k nazywamy wówczas osią symetrii figury f.
Figurę, która posiada, co najmniej jedną oś symetrii nazywamy osiowosymetryczną.
Osie symetrii wśród wielokątów:
• trójkąt równoramienny - 1 oś symetrii,
• trójkąt równoboczny - 3 osie symetrii,
• kwadrat - 4 osie symetrii,
• prostokąt - 2 osie symetrii,
• romb - 2 osie symetrii,
• równoległobok - nie posiada osi symetrii,
• trapez równoramienny - 1 oś symetrii,
• deltoid - 1 oś symetrii.
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 str. 220-221
Strona 9 z 11
Lekcja 67
Temat: Symetria środkowa.. Str. 223-226
Teoria
1. Symetrią środkową względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie
płaszczyzny, w którym punkt O jest stały, a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt
A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka AA'.
Symetrię środkową o środku O nazywamy również odbiciem symetrycznym względem punktu O.
Punkt O jest punktem stałym symetrii środkowej.
2. Figura f ma środek symetrii S, jeżeli punkty figury f symetryczne względem S należą też do
figury f. Punkt S nazywamy środkiem symetrii figury f, a taką figurę nazywamy środkowo
symetryczną. Np. kwadrat, odcinek, sześciokąt foremny.
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 str. 223-225
Lekcja 68
Temat: Zadania symetria osiowa i środkowa. Str. 219-226
Zad. 1, 2, 3, 4, b)-c) str. 221-222
Zad. 1, 2, 3, 4 b)-c) str. 225-226
Zad. domowe
Zad. 1, 2, 3, 4, a) str. 221-222
Zad. 1, 2, 3, 4 a) str. 225-226
Lekcja 69-71
Temat: Powtórzenie wiadomości z planimetrii. Str. 184-233.
Zestaw I, II str. 230-231
Lekcja druga
Test str. 232
Zad. 2, 3, 4 str. 233
Zad. domowe
Zad. 1 str. 233
Strona 10 z 11
Lekcja trzecia
Zad. 5, 6, 7, 8 str. 233
Lekcja 72
Temat: Sprawdzian z planimetrii. Str. 184-233
Lekcja 73
Temat: Omówienie sprawdzianu z planimetrii. Str. 184-233
Strona 11 z 11