badanie stateczności samolotu w ustalonym korkociągu

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 3 ­ 4 22 (1984) B A D A N I E S T A T E C Z N O Ś CI S A M O L O T U W U S T A L O N Y M K O R K O C I Ą G
U W O J C I E C H B L A J E R Wyż sza Szkoła Inż ynierska 1. Wstęp W pracy przedstawiono metodę badania statecznoś ci ruchu samolotu w ustalonym korkocią gu. Samolot traktowano jako sztywny układ mechaniczny o sześ ciu stopniach swobody. Badano stateczność położ enia równowagi samolotu w korkocią gu o osi piono­
wej wzglę dem ziemi dla ustalonej wysokoś ci i przy ustalonych parametrach sterowania. Niniejsza praca stanowi rozwinię cie pracy [3], podejmują cej zagadnienie wyznaczania warunków równowagi ustalonego korkocią gu samolotu. Stan lotu samolotu w korkocią gu ustalonym stanowi bazę wyjś ciową przedstawionej metody badania statecznoś ci położ enia równowagi. R ó w n a n i a do badania statecznoś ci ruchu samolotu w korkocią gu ustalonym otrzymano z ogólnych równań ruchu samolotu wyraż onych w quasi­współrzę dnych układu własnego [2, 3, 6], wyprowadzonych z równań Boltzmana­Hamela [5] dla układów mechanicznych o wię zach holonomicznych. Równania te uzupełniono niezbę dnymi zwią zkami kinema­
tycznymi. Matematyczną stronę zagadnienia oparto na pracy [4]. Ograniczono się do wyznaczania wartoś ci własnych macierzy Jacobiego układu równań ruchu samolotu, okreś lonej w punk­
cie równowagi korkocią gu. Z a warunek statecznoś ci przyję o t ujemne wartoś ci rzeczywiste wszystkich wartoś ci własnych macierzy Jacobiego. Oddziaływania zewnę trzne działają ce na samolot w locie rozpatrywano analogicznie jak w pracach [2, 3, 6]. Są oddziaływania aerodynamiczne, od zespołu napę dowego i od siły cię ż koś. ciOddziaływania aerodynamiczne liczono rozdzielając je na pochodzą ce od skrzydła, kadłuba i usterzeń poziomego i pionowego. Skrzydło zostało dodatkowo roz­
dzielone na N = 20 pasków. Uwzglę dnienie lokalnych warunków opływu poszczególnych pasków skrzydła i usterzeń pozwoliło na przybliż one uwzglę dnienie wpływu prę dkoś i c
ką towych samolotu na siły i momenty aerodynamiczne. Uwzglę dniono też wpływ poszcze­
gólnych czę ś i csamolotu wzajemnie na siebie. Obliczenia przykładowe przeprowadzono dla przypadku samolotu T S ­ 1 1 „ I s k r a " według własnych programów w Oś rodku Obliczeniowym Politechniki Warszawskiej. Wy­
korzystano czę ćś oprogramowania uż ytego poprzednio do obliczeń w pracach [3, 6]. 446 W . BLAJER 2. Założ enia matematyczne Rozważ my układ równań róż niczkowych о postaci normalnej. Załóż my dodatkowo, że jest to układ autonomiczny, tzn. równania nie zależą jawnie od czasu. Układ taki moż na zapisać w postaci [4]: = F(Y), ~ (1) gdzie: Y = co\\y ,y , y ], a wektor prawych stron F(Y) = ć o l [ / i O O » / a O O. • • • (Y)] ./n
ma cią głe drugie pochodne w pewnym obszarze ||Y|| < H, H—stała. Jeś il l
2
n
F(Y ) = 0, gdzie 0
IlYoll < H, (2) to wektor Y = Y wyznacza stan równowagi układu (1). W położ eniu Y = Y + Y , gdzie Y oznacza wektor małego wychylenia z położ enia równowagi, równanie (1) przekształca się do postaci: 0
0
4 ^ ­ = A X + Ó ( | | X | | ) , (3) gdzie: A = F'(Y ) — macierz Jacobiego okreś lona w położ eniu równowagi, 0(||Y||) — reszta z rozwinię cia funkcji F(Y) w szereg Taylora wokół punktu Y . Ponieważ z cią głoś i c drugich pochodnych funkcji F(Y) wynika cią głość 0(||Y||) w za­
łoż onym obszarze oraz ponieważ: 0
0
l i m ,
x
m
°(
|
|
X
|
I
)
„ ­ ~ l i x i r
П = 0
'
Ш
(
4
) równanie (3) jest równaniem quasi­liniowym i ma jedyne rozwią zanie zerowe X = 0. D l a równania quasi­liniowego (3), korespondują cego z równaniem (1) wg powyż szych zależ noś ci
, słuszne jest twierdzenie (wg twierdzenia Lapunowa) o nastę pują ce
j treś ci. Jeś il wszystkie wartoś ci własne macierzy Jacobiego F'(Y ) mają ujemne czę ś i crzeczywiste, to stan równowagi Y = Y nieliniowego układu autonomicznego (1) jest asymptotycznie stateczny w sensie Lapunowa przy t ­ » o o . 0
0
3. Równania do badania statecznoś ci położ enia równowagi samolotu w ustalonym korkocią gu Zgodnie z pracami [1, 2, 3, 6] przyję o t nastę pują e c równania ruchu samolotu: r
­ — r _ ( A + r c o s ó ­ w g s i n 0 ) s i n a + (Z,,­rsin(!) + a
e
m • K c o s p c
+ mgcos Ф c o s 0 ) c o s a] + Q ­ (7?sina + Fcos a) tg/?, (а ) r
/9 = ­^y­ [ ­ ( A + rcoS(5­wgsinO)cosasin/9 + ( y + mgsin0cosO)cos/5 + a
— (Z ­ a
a
r s i n ó + m g c o s 0 c o s O ) s i n a s i n / ) ] ­ i ? c o s a + P s i n a , (b) 447 S T A T E C Z N O Ś Ć SAMOLOTU; W K O R K O C I Ą G
U V \V = —у [(X +Tcos<)­ e
c
mg sin 6») cos a cos fi + (Y + mgs\n Ф cos 0) sin/? + a
a
+ (Z — ?"sin (> + wgcos0cos0)sin acos/9], (c) a
P = + ^ (N ­J Qo>) a
+ 0
(d) K PQ­K QR^ Ą
s
(5) 2
Q = T ­ ­ ( Л / . + ^ + У о Ra>) + j­L + (e) 2
K PR­K (P ­R ), 6
2
j{N ­J Qo>)+h PQ­K QR , R A Ф / + ( 0 s i n 0 + .Kcos0)tg0, (g) £>cos0­.tfsin</>, (h) a
a
0
n
s
(f) >
6 gdzie: [X , Y , Z , L , M , N ] — wektor sil uogólnionych od oddziaływań aerodynamicz­
nych. T— siła cią gu, ó — kąt pomię dzy linią działania siły cią gu i osią Ox układu własnego samolotu, J — moment bezwładnoś ci czę ś i c wirują cych silnika, <o — prę dkość ką towa obrotu silnika, a, fi — ką y t natarcia i ś lizgu, m — masa samolotu, V — prę dkość liniowa, P, Q, R — prę dkoś i c ką towe przechylenia, pochylenia, i odchylania, Ф — kąt przechy­
lenia, 0 — kąt pochylenia samolotu, A', A ' , , K — współczynniki o poniż szej postaci, J ,Jy,J ,J z — momenty bezwładnoś ci i dewiacyjny samolotu w układzie własnym. a
a
a
a
a
a
0
c
8
x
:
X
1
К = •/ *xt K = 2
J
X1 JJ
X
K = — r 3
A = ^ 1 ­ ­ — ­ j ­ ­ ­ , z
5
= K = 4
j Л
2 jy j. r + J / ' A = 7
b
— u
xz Jу ^x J
z XX Oznaczają c: Y = c o l [ « , / ? , V , P,Q, R, Ф
e
, в ], (6) FOO = ć ó l [ a, f), V /V , P,Q, Я ,Ф
e
c
, в ] . Układ równań róż niczkowych (5) sprowadzamy do postaci: Y = F ( Y ) . (7) Zgodnie z treś cią rozdziału 2, przy badaniu statecznoś ci samolotu w położ eniu równo­
wagi Y„, zamiast równania (7) wystarczy rozpatrywać stateczność równania zlinearyzo­
wanego : X = A ( Y ) ­ X , 0
( 8 ) W . 448 B L A J E R gdzie: X — wektor małego wychylenia z położ enia równowagi, A — macierz Jacobiego układu (7) okreś lona w punkcie równowagi X wg wzoru (9). ' ' 8'a 86 д 'в 8B ' ' д 'в 86 da. da 8a Ж A = i ł da 86 8a 86 (9) 86 " 86 Wzory na liczenie współczynników macierzy A przytoczono w pracy [2]. We wzorach tych wystę pują pochodne sił i momentów aerodynamicznych wzglę dem a, /?, V , P, Q, R, okreś lone w punkcie równowagi. Jest to macierz В o postaci: c
8X
Ba 8X
dB 8Y
i 8a 8N
da a a В a • ' 8X
8R 8Y
д в • ' 8Y
8R 8N
88 • ' 8N
8R a a a a (10) a a Wyznaczenie elementów macierzy A wymaga uprzedniego wyznaczenia elementów macierzy B . W pracy elementy macierzy В liczono przy pomocy maszyny cyfrowej, jako ilorazy róż nicowe wzglę dem kolejnych zmiennych, rozwinię et wokół punktu równowagi. Sposób ten zaprezentowany jest na rys. 1. R y s . 1. P r z y b l i ż o na m e t o d a liczenia p o c h o d n y c h funkcji wielu z m i e n n y c h S T A T E C Z N O Ś Ć SAMOLOTU W K O R K O C I Ą G
U 449 Warunek posiadania drugich pochodnych cią głych przez funkcję F ( Y ) nakłada ten sam warunek na przebiegi funkcji sił i m o m e n t ó w aerodynamicznych. Narzuca to odpo­
wiednie wymagania na przebiegi danych aerodynamicznych przyjmowanych do obliczeń. Macierz В jest innymi słowy macierzą pochodnych aerodynamicznych samolotu okre­
ś lonych w punkcie równowagi. Nadkrytyczne ką y t natarcia, niesymetryczny opływ, duże prę dkoś i cką towe obrotu samolotu wykluczają moż liwość liczenia tych pochodnych klasycz­
nymi metodami spotykanymi w mechanice lotu. 4. Obliczenia przykładowe Obliczenia przykładowe dla samolotu TS­11 „ I s k r a " wykonano według własnych pro­
gramów w ję zyku F O R T R A N w Oś rodku Obliczeniowym Politechniki Warszawskiej. D o obliczeń wykorzystane były wyniki pracy [3], podejmują cej się wyznaczania parametrów ustalonego korkocią gu samolotu. Program na potrzeby niniejszej pracy był w zasadzie rozszerzeniem programu liczą cego warunki równowagi samolotu w korkocią gu. Wartoś ci własne macierzy A , stanowią ce wyniki obliczeń, uzyskiwane były przy uż yciu standardo­
wych procedur systemu C Y B E R 73. Wybrane warianty obliczeń zaprezentowano w tablicy 1. Ograniczono się przy tym tylko do prezentacji obliczeń dla róż nych przypadków sterowania. Każ da wersja róż ni się od podstawowej (std) tylko zmianą wyszczególnioną w pierwszej kolumnie tablicy. Dane masowe, geometryczne i aerodynamiczne samolotu są we wszystkich przypadkach jednako­
we i przyję e t jak w pracach [2, 3, 6]. W wersji std dane sterowania samolotem przyję o t
nastę pują co
: о д = ­ 2 0 ° , 6 = 20°, V
Ó L 0 ° ; L
T i ш — parametry biegu jałowego. 5. Wnioski wynikają ec z pracy Uzyskane wyniki ś wiadczą, że ruch samolotu w ustalonym korkocią gu jest niestateczny we wszystkich prezentowanych przypadkach. Decydują o tym dodatnie wartoś ci czę ś i c
rzeczywistych wartoś ci własnych f ­
Uznają c, że wię ksza wartość dodatnia R e ( £ ) oznacza silniejszą niestateczność po­
łoż enia równowagi, stwierdzić moż na, że najsilniejszą niestateczność stwierdzono dla ó = —13°, najmniejszą dla 6 = —30°. Zmiany wartoś ci wychylenia steru wysokoś ci wpływają też na zmiany wartoś ci Re ( l i , ) silniej niż analogiczne zmiany wartoś ci wychy­
lenia steru kierunku. Stwierdzenie niestatecznoś ci ruchu samolotu w ustalonym korkocią gu ś wiadczy, że w rzeczywistoś ci samolot w ruchu niesterowanym nigdy nie osią gnie tego stanu lotu. W ruchu rzeczywistym samolot bę dzie oscylować wokół położ enia równowagi. Wyniki metody są trudne do oszacowania iloś ciowego. Stwierdzenie niestatecznoś ci (lub statecznoś ci) nie wnosi też wielu informacji o własnoś ciach korkocią gowych samolotu. Rozbudowany aparat matematczny, skomplikowane wzory na liczenie współczynników l i 2
1 > 2
B
H
2
9 M e c h . Teoret. i Stos. 3­4/84 W . 450 B L A J E R Tablica 1 Parametry p u n k t u r ó w n o w a g i Z m i a n y p a r a m e t r ó w sterowania a(deg), /?(deg) W a r t o ś ci Kr(m/s), 0 ( l / s ) w ł a s n e <Z>(deg), 0 ( d e g ) t
a = 38,6, std /<' = ­ 3 , 0 |
1 > 2
= 0,452 ± 3 , 6 7 3 i = ­ 0 , 1 1 6 ± 2 , 6 7 9 i 3 > 4
V = 68,8, Q = 2,54 Ł5,6 = ­ 0 , 1 8 6 ± l , 5 6 2 i Ф = 1,0, 0 = ­ 5 1 , 3 f , = ­ 0 , 8 0 3 , f = ­ 0 , 0 0 5 a = 46,6, />' = ­ 2 , 8 |
V = 62,5, Ф = 0,5, u = 2,32 h.6 = ­ 0,497 ± l , 5 5 9 i 0 = ­ 4 3 , 4 Ь = ­ 0 , 3 1 8 , SM = ­ 0 , 0 0 6 c
a
| , , = 0 , 3 4 6 ± 3 , 3 8 1 i 2
d = 30' c
v
a = 32,5, 6, = I0
= 79,5, C Ф = 5,2, = ­ 0 , 1 2 0 + 2,446i 3 > 4
|
l t
ft = ­ 2 , 2 Q = 3,04 f
S f 4
, = 0,438+ 4,055i 0 = ­ 57,2 £ , = ­ 0 , 6 6 8 , f i = ­ 0 , 0 0 6 = ­ 0 , 0 9 8 ± 3 , 1 4 3 i f ; = ­ 0 , 1 4 4 ± l , 5 4 0 i 5
e
­
= 0,217 + 3,472i a = 38,8, = ­ 2,8 fą 4 , = ­ 0 , 1 2 9 ± 2 , 6 1 5 i V = 69,5, ii = 2,27 0 = ­ 5 1 , 1 f , = ­ 0 , 3 0 9 + l,619i Ф = 1,8, a = 39,3, /» = ­ 3 , 1 f , « = ­ 0 , 1 0 6 ± 2 , 3 9 2 i V = 67,8, Ф = 0,5, L ' = 2,66 fs.e = ­ 0 , 3 1 8 ± l,547i 0 = ­ 5 0 , 6 Ł7 = ­ 0 , 7 0 2 , f , = ­ 0 , 0 0 5 ,)„ m ­ 3 0 ° c
5
6
f , = ­ 0 , 5 3 3 , | „ = ­ 0 , 0 0 5 | , = 0,491 ± 3 , 5 9 3 i i 2
b„ = ­ 1 3
c c
?
macierzy Jacobiego [2] i ostre wymagania co do cią głoś i cdrugich cią głoś i c współczynników sił i momentów aerodynamicznych samolotu przyjmowanych do obliczeń, sprawiają, że w zastosowaniach technicznych wartość uzyskiwanych wyników obliczeń może okazać się niewspółmierna do nakładów pracy. Literatura cytowana w t e k ś c ei 1. W . M . A D A M S , Analitic Prediction of Airplane Equilibrium Spin Characteristics, N A S A T N D ­ 6 9 2 6 , N o v e m b e r 1972. 2. W . B L A J E R , Badanie dynamiki samolotu w korkocią gu, praca d o k t o r s k a Politechniki W a r s z a w s k i e j , (nie p u b l i k o w a n a ) , W a r s z a w a 1982. 3. W . BLAJF.R, J . M A R Y N I A K , Ustalony korkocią g
samolotu, warunki równowagi, M e c h . Teoret. i Stos., 22, 1/2, 1 9 8 4 . 4. R . G U T O W S K I , Równania róż niczkowe zwyczajne, W N T , W a r s z a w a 1971. 5. R . G U T O W S K I , Mechanika analityczna, P W N , W a r s z a w a 1971. 6. J . M A R Y N I A K , W . BLAJER, Numeryczna symulacja korkocią gu, M e c h . Teoret. i Stos., 2 1 , 2 / 3 , 1 9 8 3 . 451 S T A T E C Z N O Ś Ć S A M O L O T U W K O R K O C I Ą G
U P e 3 ю M e И С П Ы
Т А Н И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И С А М
Ш
Т
О Л Ё Т А В
О
П
О
Р
О В Р Е М
Я У С Т А Н О В И В Ш
Е Г О С Я А П р е д с т а в л е н о м е т о д и с п ы т а н и я у с т о й ч и в о с т и д в и ж е н и я с а м о л е т а в о в р е м я у с т а н о в и в ш е г о с я ш т о п о р а . С а м о л ё т п р и н я т о к а к ж ё с т к о е т е л о с ш е с т ь ю с т е п е н я м и с в о б о д ы . В ы ч и с л е н и я с в е д е н о к о п р е д е л е н и ю с о б с т в е н н ы х з н а ч е н и й и с о б с т в е н н ы х в е к т о р о в м а т р и ц а Я к о б и с и с т е м ы у р а в н е н и й д в и ж е н и я в т о ч к е р а в н о в е с и я . П р и в е д е н ы в ы ч и с л е н и я с д е л а н о д л я с а м о л ё т а T S ­ 1 1 „ I s k r a " . S u m m a r y A S T U D Y O F A I R P L A N E M O T I O N S T A B I L I T Y I N S T E A D Y S P I N A m e t h o d investigating stability o f a n airplane m o t i o n i n steady s p i n is presented. A n airplane has been treated as a r i g i d body h a v i n g six degrees o f freedom. T h e method corresponds to e x a m i n i n g eigenvalues o f J a k o b i a n m a t r i x o f the system o f m o t i o n equations, defined at the e q u i l i b r i u m point. Test calculations have been carried out for P o l i s h training airplane TS­11 „ I s k r a " . Praca została złoż ona w Redakcji 2 lutego 1983 roku