Zestaw 1

Zestaw 1
Zbiory z działaniami
Definicje i oznaczenia
działanie:
dowolne odwzorowanie ◦ : X × X → X . Zamiast
◦(a 1 , a 2 ) piszemy a 1 ◦ a 2
łaczność:
˛
dla dowolnych a, b, c ∈ X zachodzi: (a ◦ b) ◦ c = a ◦
(b ◦ c)
przemienność:
dla dowolnych a, b ∈ X zachodzi: a ◦ b = b ◦ a
element neutralny:
dla każdego a ∈ X zachodzi: a ◦ e = e ◦ a = a
element odwrotny do a:
element b ∈ X spełniajacy
˛ a ◦ b = b◦ = e, zwykle el.
odwr. oznaczamy przez a −1
rozdzielność działania ◦ wzgl˛edem działania ∗:
dla każdych a, b, c ∈ X zachodzi: a ◦(b ∗c) = (a ◦b)∗
(a ◦ c) ∧ (a ∗ b) ◦ c = (a ◦ c) ∗ (b ◦ c)
pot˛ega (wielokrotność) elementu x:
x n = |x · .{z
. . · x}, nx = |x + .{z
. . + x}
n
n
zbiory liczbowe:
• N, N0 , Z, Q, R, C – zbiory liczb naturalnych
N = {1, 2, 3, . . .}, liczb naturalnych z zerem, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych
• Z∗ , Q∗ , R∗ , C∗ – zbiory liczb różnych od zera
• Q+ , R+ – zbiory liczb dodatnich
• nZ = {nk : k ∈ Z} – zbiór liczb całkowitych podzielnych przez n
• µn = {εn , ε2n , . . . , εn−1
n } – zbiór pierwiastków zespolonych z jedynki stopnia n, εn = cos 2π
n +
i sin 2π
n
• S 1 = C1 = {z ∈ C : |z| = 1} – liczby zespolone o
module 1
zbiory reszt:
• Zn = {0, 1, . . . , n − 1} – zbiór reszt z dzielenia
przez n
• Z∗n = {k ∈ Zn : NWD(k, n) = 1} – zbiór reszt z
dzielenia przez n wzgl˛ednie pierwszych z n
zbiory macierzy
• M (m × n, K) – zbiór macierzy o m-wierszach i
n-kolumnach o współczynnikach z K
• Gl (n, K) – zbiór macierzy odwracalnych n × n
• Sl (n, K) – zbiór macierzy odwracalnych n ×n o
wyznaczniku równym 1
zbiory odwzorowań:
• M ap(X , K) – zbiór odwzorowań zbioru X w K
• M ap(X ) – zbiór odwzorowań zbioru X w X
• S(X ) – zbiór bijekcji (permutacji) zbioru X
Zadania
Zadanie 1. Sprawdzić jakie sa˛ własności działań arytmetycznych (dodawania, mnożenia, odejmowania i
dzielenia) w zbiorach liczbowych.
Zadanie 2. Podać tabelk˛e działania gry „Papier, kamień, nożyce”. Jakie sa˛ własności tego działania?
112
Zadanie 3. Zbadać własności działań danych tabelka˛
a
b
c
a)
a
b
c
d
d)
a
b
c
b
a
c
c
c
c
c
c
c
a
b
c
d
a
a
c
c
b
b
d
d
a
a
c
c
b
b
d
d
a
b
c
b)
e)
a
b
c
d
a
b
c
b
b
a
c
b
a
a
c
b
a
b
c
c)
a
b
c
d
a
b
a
d
b
a
b
c
a
d
c
d
b
c
d
c
f)
a
b
c
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
b
a
d
c
c
d
c
d
d
c
d
c
Zadanie 4. Zbadać własności działania dodawania modulo i mnożenia modulo w zbiorach Zn i Z∗n .
Zadanie 5. Zbadać własności dodawania i mnożenia macierzy.w zbiorach M (m × n, K), M (n, K), Gl (n, K),
Sl (n, K), gdzie K jest zbiorem liczbowym.
Zadanie 6. Zbadać własności działania składania odwzorowań w zbiorze S(X ), zbiorze Map({a, b}), zbiorze
odwzorowań liniowych, zbiorze funkcji k-krotnie różniczkowalnych i zbiorze homeomorfizmów,
Zadanie 7. Niech (K, ∗) b˛edzie zbiorem z działaniem. Zbadać własności działania ( f , g ) 7→ f ~g , ( f ~g )(x) =
f (x) ∗ g (x) w zbiorze M ap(X , K) w zależności od własności działania ∗.
Zadanie 8. Czy iloczyn skalarny wektorów jest działaniem?
Zadanie 9. Sprawdzić, że iloczyn wektorowy w R3 jest działaniem. Jakie sa˛ własności tego działania?
Zadanie 10. Określić własności działań
a) w zbiorze liczb naturalnych z zerem:
a b = NWD(a, b),
c) w zbiorze liczb naturalnych:
a4b = NWW(a, b)
x4y = x y + x + y
d) w zbiorze liczb rzeczywistych i w zbiorze [4, 5]:
b) w zbiorze liczb naturalnych z zerem:
xy = x y ,
x y = x + y + 1,
x4y = x y
x ∧ y = min(x, y),
x ∨ y = max(a, b)
Zadanie 11. Niech A b˛edzie zbiorem. Określić własności nast˛epujacych
˛
działań w zbiorze X = P (A)
a) suma zbiorów ∪,
d) dopełnienie do zbioru X ,
b) iloczyn zbiorów ∩,
e) różnica symetryczna zbiorów
c) różnica zbiorów \,
A ÷ B = (A \ B ) ∪ (B \ A).
Zadanie 12. Zadać własności działania (a, b) ◦ (c, d ) = (ac, ad + b) określonego w zbiorze R∗ × R∗ .
Zadanie 13. Zbadać własności dodawania i mnożenia macierzy w zbiorach:
A=
½·
a
0
¸
¾
b
: a, b ∈ R ,
0
B=
½·
a
b
¸
¾
0
: a, b ∈ R ,
0
C=
½·
a
0
¸
¾
0
: a ∈R
0
Zadanie 14. W zbiorze X określamy działanie wzorem x ◦ y = x. Zbadać własności tego działania.
113
Zadanie 15. Załóżmy, że działanie w zbiorze X jest łaczne,
˛
przemienne i posiada element neutralny. Wybieramy dowolny element t i definiujemy nowe działanie a ◦ b = at b. Zbadać własności tego działania.
Zadanie 16. Niech X b˛edzie zbiorem. W zbiorze X × X określamy działanie wzorem (a, b) ◦ (c, d ) = (a, d ).
Zbadać własności tego działania.
Zadanie 17. Wykazać, że jeżeli działanie jest łaczne,
˛
to
a) istnieje co najwyżej jeden element neutralny,
b) dla każdego elementu istnieje co najwyżej jeden element odwrotny.
Czy twierdzenie pozostaje prawdziwe jeżeli działanie nie jest łaczne?
˛
Zadanie 18. Wykazać, że jeżeli działanie jest łaczne,
˛
to dla dowolnych liczb naturalnych n i m (lub naturalnych z zerem, jeżeli działanie posiada element neutralny):
a) x n x m = x m+n ,
c) x y = y x =⇒ (x y)n = x n y n ,
b) (x n )m = x nm ,
d) x j x i = x i x j , to (x 1 . . . x k )n = x 1n . . . x kn .
Zapisać powyższe wzory w notacji addytywnej. Dlaczego działanie musi być łaczne?
˛
Zadanie 19. W zbiorze liczb całkowitych określamy działania:
f) x ⊕6 y = x + y + x y,
a) x ⊕1 y = 2x − y,
2
g) x ⊕7 y = x + y,
b) x ⊕2 y = x + y + x y,
h) x ⊕8 y = x y − 1,
c) x ⊕3 y = x + y + x 2 y 2 + x y 3 ,
i) x ⊕9 y = x + y + x 2 y 2 ,
d) x ⊕4 y = x,
j) x ⊕10 y = x + y + x 2 y + x y 2 ,
e) x ⊕5 y = 2x y,
Określić własności tych działań.
To zadanie dostarcza komplet przykładów i kontrprzykładów.