pobierz - pzme.zarz.agh.edu.pl

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
(zestaw 1)
Zadania teoretyczne:
1. Na odcinku [0,1] należy wylosować dwie liczby: x i y. Niech zdarzenie A oznacza, że
wylosowane liczby spełniają warunek
, a zdarzenie B oznacza, że
.
Czy te zdarzenia są niezależne?
2. Rzucono 20 symetrycznymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a. dokładnie 5 razy wyrzucono liczbę większą od 4;
b. więcej niż 13 razy wypadła nieparzysta liczba oczek;
c. ani razu nie wypadła „6”.
3. Sześcian, którego wszystkie ściany wymalowano kolorem czerwonym, pocięto na
1000 równych sześcianików.
a. zbudować rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę pomalowanych
ścian wylosowanego sześcianika;
b. wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję liczby pomalowanych ścian;
c. obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosujemy sześcianik z przynajmniej
jedną pomalowaną ścianą.
4. Na podstawie danych historycznych bank uważa, że prawdopodobieństwo
bankructwa jego klientów w ciągu miesiąca dobrze opisuje rozkład Poissona
z parametrem λ = 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w następnym miesiącu
a. nie zbankrutuje żaden z jego klientów?
b. zbankrutuje nie mniej niż 4 i nie więcej niż 8 jego klientów?
c. zbankrutuje przynajmniej 10 jego klientów?
5. Pewien inwestor stoi przed wyborem, czy zaangażować się w pewną inwestycję,
o której wiadomo, że rozkład potencjalnych strat wynosi:
a. Ile wynosi oczekiwany zysk z inwestycji?
b. Załóżmy, że inwestor chce ocenić swoje ryzyko za pomocą 5% kwantyla tego
rozkładu. Z jakimi stratami musi się liczyć w tym przypadku?
(tj.: w języku zarządzania ryzykiem to oznacza, że należy obliczyć 95% VaR)
c. Załóżmy, że sprawy pójdą nie pomyśli inwestora i zrealizuje się jeden z 5%
najgorszych scenariuszy. Jaka będzie wartość oczekiwana strat tego
inwestora?
(tj.: w języku zarządzania ryzykiem to oznacza, że należy obliczyć 95% ES)
6. Co będzie w sytuacji, gdy inwestor może zaangażować się w dwie niezależne
inwestycje opisane takim samym rozkładem strat, jak w zadaniu 3?
Instrukcja do zadania złożonego 1:
Istnieje gra, w której są trzy możliwości: na 96% stracimy 10 zł, na 3% zyskamy 100 zł i na 1%
zyskamy 600 zł. Załóżmy, że w tę grę zagrać 100 razy. Wyznaczyć:

rozkład opisanej powyżej zmiennej losowej;

95% VaR, 99% VaR i 99.9% VaR;

95% ES, 99% ES i 99.9% ES.
Instrukcja do zadania złożonego 2:
1. Ze strony stooq.pl zebrać dane dotyczące miesięcznych wartości indeksów
giełdowych WIG20, S&P500, CAC40 i DAX z okresu od stycznia 2001 do listopada
2016. Zapisać je w jednym pliku EXCEL.
2. Korzystając ze wzoru na ciągłą stopę zwrotu tj.
wyznaczyć miesięczne stopy zwrotu dla każdego z pobranych indeksów.
3. Dla każdego indeksu zbudować zmienną losową X, która będzie zadana wzorem
4. Dla zmiennej losowej X1 i X2 wyznaczyć:
a. wartość oczekiwaną (EX),
b. wariancję (D2X).
5. Znaleźć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X3,X4) oraz
a. wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych X3 i X4, a także wyznaczyć dla nich
wartość oczekiwaną i wariancję;
b. znaleźć rozkład zmiennej X4 przy założeniu, że wartość indeksu CAC40
(odpowiada mu zmienna losowa X3) spadała, a następnie wyznaczyć dla
niego EX oraz D2X;
c. sprawdzić, czy X3 i X4 są niezależne;
d. obliczyć współczynnik kowariancji i współczynnik korelacji między X3 i X4.