83. Dziecko o masie m spoczywa na desce o długości L

Wydział PPT; kierunek: Inż. Biomedyczna. Lista nr 9 do kursu Fizyka. Rok. ak. 2013/14
Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz listy zadań do kursu są dostępne na
stronie wykładowcy www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda i stronach prowadzących zajęcia. Student jest
zobowiązany do wydrukowania ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 9 ma na celu zdobycie
przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań
dotyczących statyki, sprężystości i hydrodynamiki z wykorzystaniem dotychczas zbytych kompetencji.
Zadania nie rozwiązane na zajęciach, poprzedzone symbolem (S) lub krótko omówione mogą być
treściami sprawdzianów.
83. Dziecko o masie m spoczywa na desce o długości L podtrzymywanej przez rodziców w pozycji poziomej. Wyznacz wartości sił F1 i F2.
84. (S) Zawodnik o masie m = 65 kg wykonuje skok do wody z nieważkiej trampoliny o długości L = 5 m. Wyznacz wartości sił F1 i F2, jeśli d = 1,5m.
85. Trzej mężczyźni niosą belkę. Jeden podtrzymuje ją na końcu. Dwaj pozostali
podtrzymują poziomą poprzeczkę, na której wspiera się belka. Ciężar belki dzieli się
równo między niosących. W jakiej odległości od swobodnego końca belki znajduje
się poprzeczka?
86. (S) Kot o
masie m wędruje od lewego do
prawego końca
jednorodnej deski o masie M =
7kg i dł. L =
4m podpartej w dwóch
miejscach, jak na rys. Lewy pkt. wsparcia znajduje
się w odległości 0,44m od
lewego a drugi 1,5m od prawego brzegu deski.
Gdy kot znajdzie się na
prawym końcu deski, ona zaczyna przechylać się. Wyznacz masę m kota. Jak wartości sił F1 i F2 zależą od odległości x
kota od lewego końca deski?
87. (S) Jednorodna drabina o ciężarze W i
długości l oparta jest o idealnie gładką pionową ścianę. Pod jakim kątem  należy postawić drabinę, aby nie ślizgała się, jeśli współczynnik tarcia
między drabiną a podłogą wynosi µ = 0,4?
Pokaż, że drabina pozostanie w spoczynku, jeśli spełniona będzie nierówność tg(1/2µ).
89. (S) Jednorodna
zamocowana jest do
jest
podwieszona
rysunku po lewej
naciąg liny N i sił P
nych przez ścianę
odległości d = 2m
człowiek o ciężarze
platformy W2 =
= 8m, kąt α = 53o.
88. Rysunki po lewej stronie przedstawiają uproszczony schemat anatomicznej
budowy stopy człowieka stojącego na palcach oraz model mechaniczny tej pozycji
(Tibla - kość piszczelowaa, tendon – ścięgno). Znaleźć siłę FA naciągu ścięgna
Achillesa oraz siłę F z jaką kość piszczelowa działa na kości śródstopia u
człowieka w opisanej pozycji. Przyjąć M = 70kg, d = 4,5cm, D = 3d.
pozioma
rampa
pionowej ściany i
liną,
jak
na
stronie. Obliczyć
oraz T wywierana rampę, jeśli w
od ściany stoi
W1 = 600N, ciężar
200N, jej długość l
90. (S) Wyobraź sobie, że po drabinie z zad. 87. i kącie  = 51o zaczyna
wchodzić człowiek o masie M (patrz rys. po prawej stronie). Dla jakiej
wartości d drabina zacznie się zsuwać i dlaczego? Ws-ka: Patrz zadanie 96.
91. (S) Jednorodna belka o masie m = 1,23kg, dł. L = 1,76 m z położoną na
niej masą M = 2,13 kg spoczywa poziomo na dwóch wagach – dynamometrach. Wyznacz wskazania dynamometrów.
92. (S) Himalaista o masie 95kg odpadł od ściany, zawisł na linie o długości
15m i średnicy 9,6mm, rozciągniętej o 2,8cm. Obliczyć naprężenie liny i
moduł Younga.
93. Jaką maksymalną wysokość może mieć granitowy słup o stałym
przekroju, aby nie pękł pod własnym ciężarem? Wytrzymałość granitu na
ściskanie wynosi 17 · 107 N/m2, a jego gęstość 2,7 · 103 kg/m3.
1
94. (S) Rysunek (a) po prawej stronie przedstawia człowieka na wózku inwalidzkim, który na swej
drodze napotyka krawężnik o wysokości h = 10cm. Niechaj całkowita masa człowieka z wózkiem
wynosi M = 1500N, a promień dużych kół r = 35cm [patrz rys. (b)]. Wyznacz wartości sił F z jakimi
człowiek działa na obręcze, w chwili czasu, gdy wartość siły z jaką płaska powierzchnia działa na
wózek w punkcie B [rys. (c) i (d)] jest równa zeru; wówczas wózek zaczyna obracać się wokół
punktu A, a rys. (d) przedstawia diagram sił przyłożonych do niego. Ws-ka: Należy policzyć
moment sił działających na wózek względem punktu A.
95. (S)Wysokie i niskie obcasy. Studentka może na uczelni
chodzić w płaskim obuwiu [rys. (a) po prawej stronie], ale
wychodząc na ważne spotkanie zakłada wysokie szpilki
[rys. (b)]. Załóżmy, że studentka waży w = 500N, a podłoga,
poprzez obuwie, oddziaływuje na stopę studentki w punktach A i B. Wyznacz wartości sił FA i FB dla obu rodzajów
obuwia.
96. (S) Zbyszko z Bogdańca ważący 800 N chce uwolnić
osadzoną w zamku przez krzyżaków Danusię Jurandównę
ze Spychowa. Rysunek poniżej pokazuje jednorodną drabinę
o długości L = 5m, ciężarze 180 N ustawioną nad fosą pod
kątem 53,1o do poziomu opartą górną częścią o idealnie
gładki mur (krzyżacy posmarowali mur zwierzęcym starym
i śmierdzącym sadłem) i rycerza na drabinie. Zbyszko
znieruchomiał po przebyciu po drabinie drogi L/3, ponieważ obawia się, że wpadnie do fosy, gdy
drabina zacznie ślizgać się po murze i po poziomym gruncie. Należy obliczyć: a) wartości sił tarcia
fs i normalnej n2 działających na dolny fragment drabiny; b) minimalną wartość współczynnika
tarcia drabina-grunt, przy której drabina będzie stabilna; c) wartość wypadkowej siły działającej na
dolny fragment drabiny.
Rozwiązanie
Zajmiemy się najpierw wyznaczeniem wartości sił tarcia f s i normalnej n2 działających na dolny fragment drabiny. Ze
względu na idealną gładkość murów zamku, na górny koniec drabiny działa siła n1 normalna do muru. Rys. b)
reprezentuje diagram sił przyłożonych do drabiny. Pierwsze dwa warunki stabilności statycznej układu mają postacie:
(1)
 Fx  0  f s  (n1 )
F
 0  n2  ( 800N)  ( 180N). (2)
Trzecie równanie opisujące równowagę statyczną otrzymamy z warunku zerowania się wypadkowego momentu sił
liczonego względem punktu B  B  0  n1   4m   180N   1,5m   800N   1m   n2   0m   f s   0m  . (3)
i
y
Z równania (2) wyznaczamy n2  980N , a z równania (3) n1  268N i z (1) ostatecznie obliczamy f s  n1  268N.
Teraz możemy wyznaczyć współczynnik tarcia statycznego z warunku min  f s n2  268N 980N  0,27. Wartość siły

FB  FB  f s i  n2 j, gdzie i oraz j są wersorami i FB  FB 

 268 
2
  980 
2
 N  1020N. Wektor F
B
tworzy z osią
poziomą OX kąt, którego tg  n2 f s  980N 268 N    75o.
Jaka powinna być najmniejsza wartość współczynnika tarcia statycznego, przy której Zbyszko bezpiecznie
przemieści się po drabinie? Aby odpowiedzieć na tak postawione pytanie rozważmy położenie Zbyszka w najwyższym
punkcie drabiny. Zauważmy, że równania (1) i (2) nie ulegają zmianom, a równanie (3) przyjmuje postać
 B  0  n1c   4m   180N   1,5m   800N    4m   n2c   0m   f1c   0m  , co pozwala obliczyć wartość
n1c  867,5N

c
min
c
1
c
2
oraz
c
1
najmniejszą
dopuszczalną
c
2
wartość
współczynnika
tarcia
 f n  n n  867,5N 980N  0,8852. Widzimy, że podczas wchodzenia Zbyszka po drabinie rośnie wartość
siły normalnej n1. W tym zadaniu nie ma, przy zadanej długości drabiny, możliwości zmniejszenia współczynnika tarcia.
Być może sprzyja temu zastosowanie przez giermka Zbyszko dłuższej drabiny?
2
97. Rysunek obok przedstawia poziomą sosnową belkę o masie 25 kg i długości 3,6 m,
której prostokątny przekrój poprzeczny ma wymiary 9,5 cm i 14 cm. Dwa filary dachu
(niepokazanego na rys.) są postawione pionowo na belce. Maksymalne naprężenie
ścinające dla drzewa sosnowego wynosi max = 5·106 N/m2. Przyjmując za wartość
współczynnika bezpieczeństwa  = 5, wyznacz maksymalne wartości mas filarów i dachu, tj. siły FL z jakimi filary mogą bezpiecznie działać na sosnową belkę.
Ws-ka: Maksymalną wartość siły maxFL należy wyznaczyć ze wzoru
max
FL  (pole przekroju)· max/ i porównać ją z wartością |FL| obliczoną z warunku
równowagi momentów wszystkich sił liczonych względem np. jednego z punktów podparcia belki.
98. (S) Gęstość powietrza w warunkach normalnych wynosi 1,2 kg/m3. Oblicz ciężar tego powietrza w sali o podłodze
4 m na 5 m i wysokość 3 m. Jakie ciśnienie wywiera ciśnienie atmosferyczne na powierzchnię tego pomieszczenia?
Oszacuj wartość parcia wywieranego na Twoją dłoń przez powietrze?
99. (S) W otwartym zbiorniku wody o kwadratowym dnie o boku 2 m woda ma wysokość 12 m. Oblicz całkowite
ciśnienie wywierane na dno zbiornika. Oblicz różnicę ciśnień na dnie zbiornika wynikającą z wypełnienia go wodą.
100. (S) Paradoks hydrostatyczny – patrz fotografia po prawej stronie. W
pojemniku w kształcie stożka (rys. z prawej strony) o promieniu podstawy r i
wysokości h znajduje się ciecz o gęstości . Ciężar tej cieczy wynosi więc Q =
r2hg/3, ale parcie tej cieczy na dno naczynia jest równe F = r2hg = 3Q.
Spróbuj wyjaśnić/zinterpretować przytoczone rezultaty liczbowe. Patrz strona:
http://oceanografia.cicese.mx/oscar/cursos/Wilson1995.pdf
101. (S) W rurce w kształcie litery U znajdują się dwa rodzaje cieczy: woda o
gęstości 998 kg/m3 i oliwa o nieznanej gęstości . Znane są: l = 135 mm, d =
12,3 mm. Oblicz .
102. Co można powiedzieć o siłach oddziaływania wody
na pionowe zapory w przypadkach przedstawionych graficznie po prawej stronie?
103. Co wskaże waga, gdy do naczynia z wodą
umieszczonego na wadze zanurzysz palec dłoni?
104. W szklane wody pływa kawałek lodu. Jaka część lodu znajduje się pod
wodą? Gęstość lodu 917 kg/m3, wody 998 kg/m3. Co stanie się z poziomem
wody, gdy lód stopnieje? A co, gdy na lodzie początkowo położymy kamyk, który po
stopieniu się lodu upadnie na dno szklanki?
105. (S) Legenda głosi, że król zlecił Archimedesowi wykonanie ekspertyzy
korony wykonanej przez złotnika. Archimedes postąpił w następujący sposób: Najpierw zważył koronę
w powietrzu i zanotował 7,84 N, a następnie w wodzie i zapisał 6,84 N. Gęstość
złota wynosi 19 300 kg/m3. Jakiej odpowiedzi udzielił Archimedes królowi? Jaką
wagę zanotowałby Archimedes zanurzonej w wodzie korony, gdyby była zrobiona ze szczerego złota?
106. Równanie Siri – wyznaczanie procentowej
zawartości tłuszczu w ciele człowieka. Ciało człowieka waży w powietrzy Q = 740 N, a po zważeniu
w wodzie, waży W = 34,3 N. Pokaż, że objętość
ciała tego człowieka wyraża się wzorem V = (Q –
W)/(wody · g) = 6,99·10-2 m3, a gęstość jego ciała
liczona jest ze wzoru  = Q·wody/ (Q – W) = 1050
kg/m3. Gęstość tkanki tłuszczowej człowieka t =
3
3
900 kg/m , a mięśniowej 1100 kg/m . Załóżmy, że x określa część masy M ciała przypadająca na tkankę tłuszczową, tj.
całkowita masa tłuszczu w ciele wynosi x·M. Oznaczmy przez Vt i Vm objętości tkanki, odpowiednio, tłuszczowej oraz
mięśniowej. Objętość ciała człowieka V = mt/t +mm /m = xM/t +(1 – x)M/m. Pokaż, że gęstość ciała tego człowieka
1   
t
4950kg/m 3
  1  x  t  1  x   m   x   m t  

 4,5  0,214.
  m  t  m  t

Po zadaniu wyszukiwarce hasła Siri equation(s), więcej np. na stronach: http://nutrition.uvm.edu/bodycomp/uww/siri.html;
http://en.wikipedia.org/wiki/Body_fat_percentage, http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12603-010-0112-z#page-1.
107. (S) Idealna ciecz o gęstości 850 kg/m3 jest pompowana poprzez cylindryczną rurkę tłokiem o wydajności 9,5
litra/s. Pierwszy przekrój rurki ma średnicę 8.0 cm. Z jaką prędkością płynie ciecz w tym fragmencie rurki i jaka jest
wydajność przepływu? Inny fragment rurki ma średnicę 4.0 cm. Z jaką prędkością płynie ciecz w tym fragmencie rurki i
jaka jest wydajność przepływu?
3
108. (S) Rysunek obok ilustruje pionowy wypływ wody z kranu. Pokazane powierzchnie
przekrojów strumienia wody wynoszą A0 = 1,2 cm2 i A = 0,35 cm2. Dlaczego maleje pole
przekroju poprzecznego strumienia? Miejsca położenia przekrojów dzieli odległość
h = 0,45 cm. Pokaż, że prędkość przepływu wody w przekroju A0 wyraża się wzorem
v0 = A[2gh/(A02–A2)]1/2 i wynosi 28,6 cm/s, a wydajność wody wypływającej z tego kranu
wyraża się v0·A0 i wynosi 34 cm3/s.
109. Woda przepływa wężem strażackim o średnicy 9,6 cm z
prędkością 1,3 m/s. Na końcu węża woda wypływa przez gaśnicę
o średnicy 2,5 cm. Wyznacz wartość v2. Załóżmy, że ciśnienie
wody w wężu wynosi 350 kP. Jakie jest ciśnienie wody w
ono mniejsze od 350 kP?
wylewce i dlaczego jest
110. (S) Woda jest dostarczana do domu rurą i średnicy 2 cm z prędkością przepływu 1,5 m/s
pod całkowitym ciśnieniem 4·105 Pa. Rura o średnicy 1 cm doprowadza wodę do łazienki na
drugim piętrze położonej na wys. 5 m. Wyznacz: prędkość, ciśnienie i wydajność wody w kranie
łazienki.
Rozwiązanie
Z równania ciągłości wyznaczamy prędkość wypływu wody w łazience
v2 
 1,0 cm 
2
  0,5 cm 
2
1,5 m/s=6,0 m/s.
Z równania Bernoulliego otrzymujemy kolejno:
1
1
1
2
2
2
2
p2   gy2    v2   p1   gy1    v1   p2  p1   g  y1  y2     v1    v2   

2
2
2 
1
p2  4,0  105 Pa+ 1,0 103 kg/m 3 36m 2 /s2  2,25m2 /s 2  
2


 1,0  10 kg/m    9,81m/s    0  5,0m   3,3  10 Pa.
3
3
2
5
Teraz możemy wyznaczyć wydajność kranu w łazience, która określa objętość wody wypływającej z kranu w
czasie jednej sekundy
dVwody
2
 A2 v2    0,5  102 m   6,0m/s=4,7  10 4 m 3 /s=0,47 dm 3 /s.
dt
Zauważmy, że po zamknięciu kranu prędkości v1 i v2 są równe zeru i ciśnienie w kranie łazienkowym wynosi
3,5·105 Pa, czyli wzrasta.
111. (S) Rysunek obok przedstawia zbiornik paliwa o polu przekroju A1 wypełniony
paliwem do wysokości h. Przestrzeń nad paliwem wypełnia powietrze pod ciśnieniem p0, a
paliwo wypływa przez otwarty zawór o polu przekroju A2. Wyznaczyć prędkość wypływu
paliwa przez otwarty zawór oraz wydajność wypływu.
Rozwiązanie. Z równania Bernoulliego mamy
2
2
p0   gh    v1  / 2  patm.   g  h2  0     v2  / 2 
v22  v12  2   p0  patm.     2gh  2  p0  patm.    gh  .
dVpaliwa
 A2 v2 . Jeśli p0  patm. , to v2  2gh . Zauważmy, że
dt
milcząco przyjęliśmy założenie, że v1 = 0, co oznacza, że do zbiornika jest dostarczane paliwo, albo v1  v2, co jest dobrym
przybliżeniem o ile A1  A2.
112. (S) Rurka Venturiego służy do pomiaru prędkości przepływu cieczy. Załóżmy, że znamy A1, A2
Wydajność zaworu wynosi
2
2
oraz h. Wyznacz v1. Ws-ka: Pokaż najpierw, że p1  p2   v1   A1 A2   1 / 2, a następnie,

wykorzystując znaną wartość h, wyznacz v1 

2
2 gh  A1 A2   1 .


Wrocław, 30 listopada 2013
W. Salejda
4