Zad.1 Obliczyć całki oznaczone: a) ∫ (x3 − x + 1) dx, b) ∫ sin2 x dx

Zad.1 Obliczyć całki oznaczone:
a)
R1
−1
1
2
R
f)
o)
(x3 − x + 1) dx,
(arc sin x)2
√
1−x2
0
k)
R π2
0
Re
1
b)
R
π
4
0
R
π
2
R2
c) 0
R −1
sin2 x dx,
3x−1
3x+1
dx,
dx h)
dx,
g) 0
Rπ
Rπ
l) 0 ex cos 2x dx, m) 0 x cos x dx,
R 1 ex
R1
p) 0 1+e
r) 02 x2x−1 dx.
2x dx,
dx
ln x dx,
dx
1+sin x+cos x ,
√
5
Z
1
−2 x2 −5x+4
1
2+cos x
i)
√
5
Zad.3 Zbadaj zbieżność całek:
Z 1
Z 1
1
√
dx,
b)
ln x dx,
a)
Z0 1
Z0 4 1 − x
x
1
√
dx, g)
f)
dx,
2
2
16 − x
0 x −1
0
Z
1
4x + 1 dx
x10
x4
dx,
+ 6x5 + 10
√
√
3
x√
√6 x+
√
3
x(2 x+ x−2 4 x)
Z
i)
0
d)
π
Z −1
2
i)
0
dx,
e)
Z−∞
+∞
(arc tg x)2
dx,
1 + x2
1
dx,
x
cos x
√
dx.
3
1 − 2 sin x
+∞
Z
x · ex dx,
Z −∞
+∞
1
Re √ x
e) 1 ln
x dx,
Rπ 2
j) 0 x sin x dx,
R1
m) 0 x arc tg x dx,
0
d)
Z
1
√
c)
dx,
2
Z−13 1 − x
1
√ dx,
h)
x
0
−3
1
Zad.2 Zbadać zbieżność całek:
Z 1
Z +∞
Z +∞ 2
1
1
ln x
a)
dx,
b)
dx,
c)
dx,
2
1+x
x+1
x
0
2
Z
Z−∞
Z
+∞
+∞
+∞
x
1
1
dx, h)
dx,
f)
dx, g)
2
2
x
+
2x
+
2
(x
+
1)
1
+
x4
0
0
Z
Z
Z −∞
0
∞
∞
x
ex
dx,
l)
dx,
m)
k)
x cos x2 dx
4
√
1 + e2x
−∞ x + 1
0
π
√
3
0
−2
R 212
n)
7
4
R
d)
j)
1
Z
e)
0
1
1
dx,
1 + x2
1
√ dx
(3 + x) x
1
√
dx
3
x
Zad.4 Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego liniami:
a) y = x2 − 2x, y = 3x,
b) y =
2
d) y = 4x, y = 4 − 2x
√
x, y = 0, y = 2 − x,
c) y =
e) y = ln x, y = −x + 1, x = e,
2
g) y = x + 1, y = −x + 3, y = 1,
h) y = sin x, y = cos x, 0 ¬ x ¬
1
x2 ,
y = x, y = 4, (dla x > 0),
f ) y = ln x, y = −x + 1, y = e,
π
2.
Zad.5 Obliczyć pole obszaru płaskiego zawartego pomiędzy wykresami:
a) y = e−2x , y = 0,
b) y =
1
x2 +1 ,
y = 0,
c) y =
5
x2 +4 ,
y=
2
x2 +4 .
Zad.6 Zinterpretować geometrycznie i obliczyć całki:
a)
R0 √
−3
9 − x2 dx,
b)
R4√
0
4x − x2 dx,
Zad.7 Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu dookoła osi Ox podanych krzywych:

 arc cos x, 0 ¬ x ¬ 1,
1
a) y = cos x, − π2 ¬ x ¬ π2 , b) y = √x2 +2x+2
, x ­ 0, c) y =
,
 x − 1,
1 < x ¬ 2,
√
e) y =
ln x
x ,
d) y =
√
x3
x4 +1 ,
x ­ 1,
Zad.8 Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wokół osi 0x tarczy elipsy o równaniu
b2 x2 + a2 y 2 − a2 b2 = 0.
Zad.9 Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej:
a) y =
√
2x, x ∈ h0, 12i,
b) y = x3 , x ∈ h−1, 1i,
Zad.10 Wyprowadzić wzór na pole powierzchni sfery o promieniu R.
Zad.11 Obliczyć długość łuku krzywej:
√
2
3
1 − x2 , x ∈ h0, 12 i,
b) y = (4 − x 3 ) 2 , x ∈ h1, 8i,
√
c) y = x − x2 + arc sin x,
d) y = ln sin1 x , x ∈ h π3 , π2 i,
Z
0
√
π
e) y = 23 x3 , x ∈ ha, bi, a = lim x( − arc tg x), b =
2 · ex dx.
x→+∞
2
−∞
a) y =
√
Literatura: K.T. Jankowscy ” Zbiór zadań z matematyki”
E.Mieloszyk ”Matematyka”
1
x ­ 0,