1 Zadania

Problemy decyzyjne w logice
Zadania na ¢wiczenia
1
1.
Zadania
Rozwa»my formuª¦
∃x∀y∃z((T yz → T xz) → (T xx → T yx)).
Poka», »e jest ona speªniona
w ka»dym modelu sko«czonym, ale istniej¡ modele niesko«czone, w których nie jest speªniona.
∀x∃y∀zϕ(x, y, z),
Wywnioskuj st¡d, »e klasa formuª postaci
gdzie
ϕ
jest bez kwantykatorów
i u»ywa tylko jednego, binarnego symbolu relacyjnego, nie ma wªano±ci modelu sko«czonego.
2.
Komentarz: Mo»na pokaza¢, »e klasa ta ma nierozstrzygalny problem speªnialno±ci.
1
Pokazali±my na wykªadzie, »e ka»da speªnialna formuªa w logice z jedn¡ zmienn¡, FO , ma
model, w którym liczba elementów jest ograniczona liniowo wzgl¦dem dªugo±ci formuªy. Poka»,
2
»e logika z dwiema zmiennymi (bez symboli funkcyjnych), FO , nie ma tej wªasno±ci: skonstruuj
rodzin¦ speªnialnych formuª
n,
3.
{ϕn }n∈N ,
z których ka»da jest dªugo±ci wielomianowej wzgl¦dem
ale ka»dy jej model ma co najmniej
2n
elementów.
Uwaga: dopuszczamy oczywi±cie dowolne
sygnatury relacyjne.
Zmodykuj konstrukcj¦ z poprzedniego zadania, tak aby ka»dy model
elementów. Wskazówka: Wolno u»ywa¢ symbolu
2
4. Poka», »e logika C , czyli rozszerzenie FO
2
ϕn
miaª dokªadnie
2n
=.
o kwantykatory zliczaj¡ce nie ma wªasno±ci modelu
sko«czonego. (Przykªadowa formuªa tej logiki to np.
∀x∃≥3 yR(x, y)).
5. Czasem bada si¦ problem speªnialno±ci w pewnych specjalnych klasach modeli (np. w sytuacji,
gdy pewnej po»¡danej wªasno±ci modelu nie da si¦ wyrazi¢ w rozwa»anej klasie formuª). Poka»,
»e logika FO
2
nie ma wªasno±ci modelu sko«czonego w klasie modeli, w których wyró»nione
symbole binarne
E1 , E2
musz¡ by¢ interpretowane jako relacje równowa»no±ci
6. J.w., ale w klasie modeli, w których wyró»niony symbol
T
musi by¢ interpretowany jako relacja
przechodnia.
7. Poka», »e problem speªnialno±ci dla wprowadzonego w notatkach fragmentu N
8.
logiki
C1
jest
NP-trudny.
Niech
L
b¦dzie klas¡ formuª logiki pierwszego rz¦du.
Poka», »e je±li
L
ma wªasno±¢ modelu
sko«czonego to ma rozstrzygalny problem speªnialno±ci. Uwaga: nie zakªadamy, »e znamy funkcj¦
ograniczaj¡c¡ wielko±¢ modelu sko«czonego w zale»no±ci od formuªy.
9. Niech
E
b¦dzie ukªadem
m
nierówno±ci liniowych o wspóªczynnikach wymiernych z
n
niewia-
domymi. Poka», »e je±li ukªad ma rozwi¡zanie zªo»one z nieujemnych liczb wymiernych, to ma
takie rozwi¡zanie, w którym najwy»ej
1
m niewiadomych przyjmuje warto±ci dodatnie, a pozostaªe
s¡ zerami.
E b¦dzie ukªadem m równa« boolowskich, tj. równa« postaci a1 x1 + . . . + aL xL = c, gdzie
ai ∈ {0, 1}, a c ∈ N. Na wykªadzie obejrzeli±my dowód twierdzenia o istnieniu rozwi¡zania, w
którym niezerowych elementów jest wielomianowo wiele wzgl¦dem L i m. Poka» teraz, »e je±li
E ma rozwi¡zanie (nad N), to ma rozwi¡zanie (nad N), w którym liczba niezerowych elementów
jest wielomianowa wzgl¦dem m (ograniczenie ma by¢ niezale»ne od L). Uwaga: dowód jest nieco
10. Niech
bardziej techniczny. Mo»na podejrze¢ go w pracy Iana Pratta-Hartmanna.
11. Rozwa»my rozszerzenie logiki
C1
#P ≥ #Q, gdzie P i Q s¡ dowolnymi symA, je±li liczba elementów speªniaj¡cych
speªniaj¡cych Q. Poka», »e problem speªnialno±ci
o formuªy postaci
bolami unarnymi. Taka formuªa jest speªniona w modelu
P
jest wi¦ksza lub równa liczbie elementów
dla takiego rozszerzenia
C1
jest wci¡» w NP.
bez równo±ci
2
12. (Utrudniona wersja zadania 5) Rozwa»my podklas¦ formuª logiki z dwiema zmiennymi FO ,
z dowoln¡ liczb¡ symboli unarnych i tylko dwoma symbolami binarnymi
E1 , E2 .
Poka», »e ta podklasa formuª nie ma wªasno±¢ modelu sko«czonego w klasie modeli, w których
E1 i E2
s¡ relacjami równowa»no±ciami.
2
13. Na wykªadzie pokazali±my redukcj¦ Scotta dla formuª FO
∀xyϕ0 (x, y) ∧
^
do postaci:
∀x∃y ϕi (x, y).
i
Poka», »e j¡ ªatwo zrobi¢ jeszcze jeden krok i uzyska¢ posta¢
∀xyϕ0 (x, y) ∧
^
∀x∃y (x 6= y ∧ ϕi (x, y)).
i
przy zaªo»eniu, »e ograniczamy si¦ do modeli o co najmniej dwóch elementach.
ϕ b¦dzie formuª¡ FO2 w postaci normalnej oraz A |= ϕ. Niech t b¦dzie 1-typem atomowym,
0
który zrealizowany jest w A co najmniej dwa razy. Poka», »e istnieje wtedy model A |= ϕ,
0
którego dziedzina skªada si¦ z dziedziny A oraz jednego nowego elementu a, obci¦cie modelu A
0
do dziedziny A jest dokªadnie modelem A, a typ a w A to t (innymi sªowy: poka», »e do modelu
14. Niech
15.
umiemy zawsze doªo»y¢ jedn¡ realizacj¦ typu niekrólewskiego).
Zaªó»my, »e w postaci normalnej Scotta dla FO
2
wyst¦puj¡ tylko unarne symbole relacyjne
(mo»e by¢ te» symbol równo±ci). Przystosuj (to znaczy maksymalnie upro±¢) zaprezentowan¡
na wykªadzie konstrukcj¦ wykªadniczego modelu do tego przypadku.
16. Jak z zadaniu poprzednim, ale dodatkowo zabraniamy u»ywania symbolu równo±ci.
17. Udowodnij nast¦puj¡ce twierdzenie: dla danej formuªy
model
0
A
wielko±ci wykªadniczej wzgl¦dem dªugo±ci
ϕ
ϕ∈
FO
2
oraz modelu
A |= ϕ istnieje
f : A0 → A
0
modelu A jest
taki, »e istnieje injekcja
1-typy elementów (czyli taka, »e dla ka»dego a ∈ A0 1-typ a w
0
taki sam jak 1-typ f (a) w modelu A). Innymi sªowy, model A mo»na zbudowa¢ na pewnym
podzbiorze elementów modelu A, nie naruszaj¡c ich 1-typów, a modykuj¡c jedynie 2-typy.
zachowuj¡ca
Uwaga: zauwa», »e konstrukcja z pracy Grädla, Kolaitisa i Vardiego nie zapewnia takiej wªasno±ci,
gdy» dla ka»dego typu niekrólwskiego wkªada ona np. do pudeªek po
m
jego realizacji, nawet gdy w
oryginalnym modelu byªo ich mniej.
18. Poka», »e problem werykacji modelu (dla zadanej sko«czonej struktury
czy
A |= ϕ)
2
dla logiki FO
A
i zdania
ϕ
sprawd¹,
jest rozstrzygalny w czasie wielomianowym.
19. Poka», »e problem werykacji modelu dla peªnej logiki pierwszego rz¦du, FO, (ale bez symboli
funkcyjnych) jest PSPACE-trudny. W tym celu przeprowad¹ odpowiedni¡ redukcj¦ z problemu
prawdziwo±ci kwantykowanych formuª boolowskich (QBF).
20. W logice z dwiema zmiennymi i kwantykatorami zliczaj¡cymi C
speªnialnych formuª
{ϕn }n∈N ,
skonstruuj rodzin¦ sko«czenie
z których ka»da ma dªugo±¢ wielomianow¡ wzgl¦dem
jej model sko«czony ma co najmniej
kwantykatorów zliczaj¡cych
2
∃=1
n
22
n,
a ka»dy
elementów. U»yj tylko zwykªych kwantykatorów oraz
(istnieje dokªadnie jeden ...). Wskazówka: drzewa.
∀x∀y∀z∃t ϕ, dla ϕ bez kwantykatorów i równo±ci,
21. Wska» przykªad speªnialnej formuªy ksztaªtu
która ma tylko modele niesko«czone.
22. Poka» nierozstrzygalno±¢ klasy prekoswej
mulowa¢ funkcj¦
f
dowodu nierozstrzygalno±ci
∀∀∀∃.
∀∃∀
23. Udowodnij, »e system kafelkowania pokrywa
Wskazówka: Redukcja z klasy
Z×Z
zówka: lemat Königa.
2
∀∃∀:
z wykªadu za pomoc¡ relacji binarnej
wtedy i tylko wtedy pokrywa
spróbuj zasy-
F.
N × N.
Wska-
24.
2
Poka», »e problemy speªnialno±ci i sko«czonej speªnialno±ci dla FO , w klasie modeli, w której symbole
E1 , E2 , E3 , E4
s¡ interpretowane jako relacje równowa»no±ci, s¡ nierozstrzygalne.
Komentarze: nierozstrzygalno±¢ mo»na pokaza¢ nawet przy trzech relacjach równowa»no±ci; dwie rów-
nowa»no±ci s¡ rozstrzygalne.
3
25. Poka» nierozstrzygalno±¢ SAT(FO ) przy zaªo»eniu, »e mamy dowolnie du»o relacyjnych symboli
unarnych, ale tylko jeden binarny.
26. Poka», »e symbol binarny w poprzednim zadaniu jest niezb¦dny. W tym celu wyka», »e SAT(FO)
i FINSAT(FO) s¡ rozstrzygalne, przy zaªo»eniu, »e dozwolone s¡ tylko relacyjne symbole unarne
(jak zwykle: nie ma funkcji).
27. O tym ju» mówili±my, ale spróbujmy to pokaza¢ porz¡dnie: Dowodz¡c NEXPTIME-trudno±ci
FO
2
budowali±my formuª¦, która koduje dodawanie jedynki (Sxy zachodzi dokªadnie wtedy,
gdy w
y
zakodowana jest liczba o jeden wi¦ksza ni» w
x).
Nie przejmowali±my si¦ tym, »e w
naszej formule pojawia si¦ kwadratowa liczba koniunktów. Gdyby±my chcieli uzyska¢ dokªadniejsze dolne granice na zªo»ono±¢ byªoby to kªopot. Poka», »e dodawanie jedynki mo»na zapisa¢
oszcz¦dniej. Skonstruuj formuª¦ dªugo±ci
grid
2n × 2n .
O(n log n)
u»ywaj¡c¡ tylko relacji unarnych, koduj¡c¡
Komentarz: formuªa b¦dzie miaªa liniow¡ liczb¦ koniunktów; czynnik
log n
bierze si¦ tylko
st¡d, »e formuª¦ trzeba jako± zakodowa¢.
28. Poka», »e zadania 24 mo»na wzmocni¢, zakªadaj¡c, »e mo»na u»ywa¢ tylko trzech relacji rów-
29.
nowa»no±ci.
W logice ze stra»nikami, GF, skonstruuj rodzin¦ sko«czenie speªnialnych formuª
których ka»da ma dªugo±¢ wielomianow¡ wzgl¦dem
n,
{ϕn }n∈N , z
n
22
a ka»dy jej model ma co najmniej
elementów.
30. Anulowane.
31. Przeczytaj i opowiedz dowód twierdzenia Herwiga w wersji dla grafów (pierwszy to twierdzenie
udowodniª Hrushovski).
Rozdziaª 4.1 pracy
Extending partial automorphism...
32. Przeczytaj i opowiedz dowód twierdzenia Herwiga w peªnej wersji dla grafów (dla dowolnych
struktur relacyjnych).
33. Rozwa»my formuª¦
ϕ
Rozdziaª 4.3 pracy
Extending partial automorphism...
b¦d¡c¡ koniunkcj¡ dwóch formuª:
• ∃x (P x ∧ ∀y (x < y → ¬P y)),
• ∀x∃y (y < x ∧ P y).
Zakªadamy, »e
<
jest (ostrym) porz¡dkiem liniowym.
(a) Jak wygl¡da najprostszy model
ϕ?
Ile ró»nych 1-typów atomowych jest w nim zrealizowa-
nych?
(b) Przeksztaª¢
ϕ
do postaci normalnej z Notatek (Rozdziaª 6.1).
(c) Jak wygl¡da najprostszy model formuªy z poprzedniego podpunktu? Ile ró»nych 1-typów
34.
atomowych jest w nim zrealizowanych?
Udowodnij rozstrzygalno±¢ i
NExpTime-zupeªno±¢ FO2
z relacjami unarnymi i jedn¡ relacj¡
<, która jest interpretowana jako dowolny, niesko«czony porz¡dek liniowy (np. formuªa
∃xP x ∧ ∀x(P x → ∃yx < y ∧ P y) ∧ ∃xQx ∧ ∀xy(P x ∧ Qy → x < y) ma model, ale nie ma modelu,
który byªby ω -sªowem).
binarn¡
35. Udowodnij wªasno±c modelu wykªadniczego i rozstrzygalno±¢ w
cjami unarnymi i jedn¡ relacj¡
∼,
NExpTime logiki FO2 z rela-
która jest interpretowana jako relacji równowa»no±ci.
W tym celu poka» najpierw, »e w dowolnym modelu mo»emy zast¡pi¢ klasy abstrakcji klasami
maªymi, a nast¦pnie wybierz z nich pewn¡ ograniczon¡ liczb¦.
3
36. Rozwi¡» poprzednie zadanie w nieco inny sposób: najpierw poka», »e w dowolnym modelu mo»na
wybra¢ ograniczon¡ liczb¦ klas abrastrakcji (nie modykuj¡c ich), a nast¦pnie przeprowad¹
2
redukcj¦ do speªnialno±ci zwykªego FO
(tzn. do wariantu, w którym nie zakªada si¦, »e
∼
jest
równowa»no±ci¡).
2
37. Poka», »e problem speªnialno±ci (a jak umiesz, to równie» sko«czonej speªnialno±ci) dla FO , w
L1 , L2 , . . . , Lk
klasie modeli, w której symbole
s¡ interpretowane jako porz¡dki liniowe, s¡ nie-
rozstrzygalne. Postaraj si¦ nie u»ywa¢ dodatkowych symboli nieunarnych. Komentarz: proponuj¦
spróbowa¢ dla
k=1
k = 8.
Da si¦ to zrobi¢ dla
problem jest rozstrzygalny. Dla
k = 3 ale chyba niezbyt ªatwo; dla k = 4 ju» ªatwiej... Dla
k = 2 pokazano rozstrzygalno±¢, ale przy zaªo»eniu, »e L1 , L2 s¡
jedynymi relacjami nieunarnymi. Wskazówka: grid mo»na zaprojektowa¢ tak, aby bliskie sobie elementy
byªy poª¡czone niezgodnie a dalekie zgodnie (lub ewentualnie odwrotnie) przez jakie± porz¡dki liniowe.
∗
38.
Udowodnij rozstrzygalno±¢ FO
<
i binarnych, a relacja
2
przy zaªo»eniu, »e wolno u»ywa¢ dowolnych symboli unarnych
jest interpretowana jako porz¡dek liniowy. (Mo»esz ograniczy¢ si¦ do
jednej z klas modeli: sko«czone, izomorczne z
N,
izomorczne z
Z,
niesko«czone.)
Zadanie nie jest bardzo trudne, ale do±¢ techniczne: trzeba poª¡czy¢ jako± konstrukcj¦ z królami dla
zwykªego
FO
2
z naszym dowodem dla
2
FO
na sªowach z wykªadu. Opisana jest one w pracy Martina
Otto Two-variable logic over ordered domains. Zadanie polecam na rozgrzewk¦ tym, którzy chcieliby
rozwi¡za¢ nast¦pne.
∗∗
39.
2
Udowodnij rozstrzygalno±¢ FO
i binarnych, relacja
<
przy zaªo»eniu, »e wolno u»ywa¢ dowolnych symboli unarnych
jest interpretowana jako porz¡dek liniowy, a relacja
succ
jako nast¦pnik
w tym porz¡dku. (Ograniczamy si¦ do modeli sko«czonych lub do modeli izomorcznych z
N.)
To nie powinno by¢ bardzo trudne, nie jest chyba nigdzie opublikowane, powinno by¢ publikowalne.
∗∗∗
40.
Dla jakiego±
k≥3
udowodnij rozstrzygalno±¢ lub nierozstrzygalno±¢ FO
relacjami unarnymi i relacjami binarnymi
succi ,
2
[succ1 , . . . , succk ]
z
które s¡ interpretowane jako relacje nast¦pnika
w porz¡dkach liniowych.
To na pewno byªoby publikowalne i mo»e by¢ trudne lub bardzo trudne (ale nie musi...)
41. Poka», »e problem speªnialno±ci dla monadycznego fragmentu logiki pierwszego rz¦du (mamy
tylko relacje unarne) jest PSPACE-zupeªny, przy zaªo»eniu, »e liczba symboli unarnych jest
ograniczona przez staª¡.
42. Poka»
43.
ExpSpace-trudno±¢ logiki FO2 [↓+ ] na drzewach.
2
Pokazuj¡c rozstrzygalno±¢ logiki GF +EG zaªo»yli±my na wykªadzie, »e posta¢ normalna nie
zawiera koniunktów postaci
relacji równowa»no±ci.
∀x(α(x) → ∃y(β(x, y) ∧ ψ(x, y))),
w których stra»nik
β
nie u»ywa
Poka», jak uogólni¢ nasz dowód tak, aby uwzgl¦dniaª takie koniunkty
(postaraj si¦ zrobi¢ to zarówno dla problemu SAT jak i dla FINSAT).
44. Uogólnij dowód rozstrzygalno±ci monadycznego fragmentu logiki piewrszego rz¦du na fragment
logiki drugiego rz¦du (wolno kwantykowa¢ tak»e po relacjach), w którym wszystkie symbole
relacyjne (zwi¡zane i niezwi¡zane) s¡ unarne (nie ma funkcji, ale jest symbol równo±ci). Przykªadowa formuªa w tym fragmencie:
∀X∃x∃Y ∀y∀z (Xx → P y ∧ Qx ∨ Y x).
Semantyka jest
naturalna.
45. W tym zadaniu zajmiemy si¦ tzw. kwantykatorem Härtiga. Rozszerzamy logik¦ o mo»liwo±¢
(Ix, y ϕ, ψ )) (dla niekoniecznie ró»nych zmiennych x, y ). Zbiór zmiennych
(f ree(ϕ)\{x})∪(f ree(ψ)\{y}), gdzie f ree(α) oznacza zbiór zmiennych
wolnych α (zatem zmienne x, y w formula Ix, y... mog¡ by¢ wolne). Logik¦ L rozszerzon¡ o
kwantykator Härtiga oznaczmy przez L[I].
budowania formuª
wolnych takiej formuªy to
Semantyka deniowana jest nast¦puj¡co: dla danej formuªy
struktury
A
oraz warto±ciowania
a, b, c
(Ix, y ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z))(x, y, z),
x, y, z :
odpowiednio zmiennych
A |= (Ix, y ϕ, ψ)[a, b, c]
4
i
#x [ϕ]A,b,c = #y [ϕ]A,a,c ,
gdzie
#x [ϕ]A,c := |{a : A |= ϕ[a, b, c]}|
(liczba
x
speªniaj¡cych
ϕ).
Przykªadowa formuªa:
∀x∀y(¬Exx ∧ (Exy → Eyx) ∧ (Ix, y Eyx, Exy)(x, y))
deniuje klas¦ grafów regularnych (wszystkie wierzchoªki maj¡ jednakowy stopie«).
Poka»emy, »e FO
(a) Niech
NE (y)
E
2
[I]
jest nierozstrzygalna.
Przez NE (x) oznaczamy #y [Exy]. Analogicznie
[I] mo»na napisa¢, »e NE (x) = NE (y). Niech C
∀x¬Exx. Napisz formuªe, która mówi dla struktur z C ,
b¦dzie symbolem binarnym.
to
#x [Eyx].
Oczywi±cie w FO
b¦dzie klas¡ struktur, w których
2
NE (y) = NE (x) + 1.
»e
(b) Wykorzystaj formuª¦ z poprzedniego punktu do zbudowania gridu
N × N.
Poka» nieroz-
strzygalno±¢ problemu speªnialno±ci.
(c) Napisz formuª¦ deniuj¡c¡ grid
s×t
i poka» nierozstrzygalno±¢ problemu sko«czonej speª-
nialno±ci.
(d) Napisz formuª¦, która mówi, »e liczba elementów speªniaj¡cych unarn¡ relacj¦
P
jest sko«-
czona.
(e) Poka» nierozstrzygalno±¢ problemu speªnialno±ci dla przypadku bez równo±ci.
(f ) Poka», »e FO
1
[I]
nie ma wªasno±ci Löwenheima-Skolema: istniej¡ formuªy speªnialne jedy-
nie w modelach nieprzeliczalnych.
2
2
46. Zredukuj problem speªnialno±ci dla GF +EG do GF +TG, tj. do wariantu, w którym mo»na
»¡da¢ przechodnio±ci relacji binarnych, które wyst¦puj¡ jedynie w stra»nikach.
Zauwa», »e naturalna formuªa wymuszaj¡ca symetryczno±¢ relacji przechodniej
jest w
u 6= w
2
GF
T : ∀xy(T xy → T yx)
D dziaªaj¡cy tak, »e dla modelu M i formuªy ϕ, M, w |= ϕ,
M, u |= ϕ. Czy taki operator da si¦ wyrazi¢ w logice modalnej?
47. Rozwa»my operator
48.
nie
+TG. Mo»na u»ywa¢ równo±ci.
, takie, »e
gdy istnieje
Jak wygl¡da najmniejsza ltracja modelu zbudowanego na strukturze liczb rzeczywistych z
naturalnym porz¡dkiem, speªniaj¡cego
p
dokªadnie w stanach wymiernych?
49. Poka», »e wykªadnicze ograniczenie na wielko±¢ modelu, jakie uzyskali±my metod¡ ltracji jest
w zasadzie optymalne: skonstruuj rodzin¦ formuª
mianowa wzgl¦dem
n,
ϕn ,
tak¡, »¦ dªugo±¢ ka»dego
ale ka»dy model speªniaj¡cy w pewnym punkcie
ϕn
ϕn
jest wielo-
ma co najmniej
2n
stanów.
50. Poka», »e problem speªnialno±ci dla logiki modalnej jest PSPACE-trudny.
51. Poka», »e problem speªnialno±ci dla logiki modalnej wzbogaconej o globalny diamencik jest
52.
EXPTIME-trudny.
Zaªó»my, »e
M
jest modelem przechodnim.
Czy zdeniowane na wykªadzie ltracje
Rs
i
Rl
musz¡ by¢ przechodnie? Poka», »e istnieje ltracja przechodnia tego modelu. Wywnioskuj st¡d,
»e logika modalna ma wªasno±¢ modelu sko«czonego w klasie modeli przechodnich (je±li formuªa
ma model przechodni, to ma sko«czony model przechodni).
53. Niech
F1 = (N, R) i F2 = (B, S)
b¦d¡ ramkami, takimi »e
• N
to zbiór liczb naturalnych,
• B
to zbiór sko«czonych ci¡gów zerojedynkowych,
• mRn ⇐⇒ n = m + 1
• sSt ⇐⇒ t = s0
lub
t = s1
5
Które z poni»szych formuª s¡ prawdziwe w ramce (czyli speªnione w ka»dym stanie ka»dego
modelu rozpi¦tego na strukturze)
F1 ,
a które w
F2 ?
(a)
(♦p ∧ ♦q) → ♦(p ∧ q)
(b)
(♦p ∧ ♦q ∧ ♦r) → (♦(p ∧ q) ∨ ♦(p ∧ r) ∨ ♦(q ∧ r))
(c)
p → ♦p
54. Poka», »e formuªa
(p → q) → (p → q)
jest prawdziwa w ka»dej ramce (jest tautologi¡).
55. Poka», »e »adna z poni»szych formuª nie jest tautologi¡ (skonstruuj odpowiednie kontrprzykªady).
(a)
⊥
(b)
♦p → p
(c)
p → ♦p
(d)
♦p → ♦p
Postaraj si¦ nast¦pnie dla ka»dej rozwa»anej formuªy znale¹¢ mo»liwie eleganck¡ klas¦ struktur
56.
(naªó» jakie± naturalne ograniczenia na relacj¦ przej±cia), w których formuªa ta jest prawdziwa.
♦1 , ♦2 , . . ., którym odpowiadaj¡
R1 , R2 , . . .. Semantyka jest naturalna, np. ♦1 (P ∧ 2 Q) oznacza, »e istnieje R1 nast¦pnik speªniaj¡cy P taki, »e ka»dy jego R2 -nast¦pnik speªnia Q. Poka», »e klasa struktur,
w których R1 jest zwrotnym i przechodnim domkni¦ciem R2 jest deniowalna konjunkcj¡ nast¦puj¡cych formuª: ♦1 p → (p ∨ ♦1 (¬p ∧ ♦2 p)) oraz ♦1 p ↔ (p ∨ ♦2 ♦1 p).
W logice multimodalnej mo»emy u»ywa¢ wielu diamencików
ró»ne relacje
57. Poka», »e formuªa Grzegorczyka:
((p → p) → p) → p deniuje klas¦ struktur takiach, »e R
R-±cie»ka zªo»ona z ró»nych stanów.
jest zwrotna i przechodnia oraz nie istnieje niesko«czona
58. Poka», »e logika bimodalna, tj. logika z dwoma diamencikami, ma wªasno±¢ modelu sko«czonego
(w klasie wszystkich modeli).
Uogólnij ten wynik na dowoln¡ liczb¦ diamencików.
Jaka jest
zªo»ono±¢ obliczeniowa problemu speªnialno±ci?
59. Poka», »e logika multimodalna, w klasie modeli, w której wszystkie relacje przej±cia s¡ by¢
równowa»no±ciami ma PSPACE-zupeªny problem speªnialno±ci (do pokazania dolnej granicy
wystarcz¡ dwie relacje przej±cia).
60. Uzasadnij poprawno±¢ nast¦puj¡cych reguª dowodzenia:
α
α∨β
α, β
α∧β
α→β
♦α → ♦β
61. Przedstaw dowody nast¦puj¡cych formuª w systemie K:
(a)
(α ∧ ♦β) → ♦(α ∧ β),
(b)
(α ∧ β) ↔ (α ∧ β).
62. Rozszerzmy system K o dotkowy akcjomat (4):
♦♦p → ♦p.
Uzyskany system nazywany jest K4.
Udowodnij zupeªno±¢ K4 w klasie modeli przechodnich.
63. Poka», »e speªnialno±¢ logiki modalnej w modelach, w których relacja przej±cia jest przechodnia
jest w PSPACE.
6
64. Udowodnij, »e klasa j¦zyków akceptowanych przez automaty Büchiego jest zamkni¦ta na przekrój.
65. Udowodnij, »e problem speªnialno±ci dla logiki LTL jest PSPACE-trudny.
66. Udowodnij, »e problem speªnialno±ci dla LTL bez operatorów
67. Udowodnij, »e po usuni¦ciu z LTL operatorów
XiU
X, F
i
G
jest PSPACE-trudny.
problem speªnialno±ci staje si¦ NP-zupeªny.
68. Udowodnij, »e problem model checking dla logiki LTL jest PSPACE-trudny.
7