af dx

Całka nieoznaczona
Definicja 1 (funkcja pierwotna). Funkcję
F : R ⊂ X → R nazywamy funkcją pierwotną danej
funkcji f na zbiorze otwartym X, gdy dla każdego x ∈ X
spełniony jest warunek:
F ′ (x) = f (x).
Twierdzenie 1. Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji
f na przedziale X, to funkcja G = F + C, gdzie C
oznacza dowolną stałą rzeczywistą, jest także funkcją
pierwotną funkcji f na przedziale X. Co więcej, każdą
funkcję pierwotną G funkcji f na przedziale X można
przedstawić w postaci sumy F + C, gdzie C jest stałą
dobraną odpowiednio do G i F .
Definicja 2 (całka nieoznaczona). Rodzinę funkcji
F + C z powyższego twierdzenia nazywamy całką
nieoznaczoną z funkcji f na zbiorze X i oznaczamy
R
symbolem f (x)dx.
Funkcję f nazywamy funkcją podcałkową, x – zmienną
całkowania.
Krótko:
Z
f (x) dx = F (x) + C,
1
C ∈ R.
Bezpośrednio z definicji mamy
Z
df
(x) dx = f (x) + C, C ∈ R,
(“całka pochodnej”)
dx
Z
d
f (x) dx = f (x)
(“pochodna całki”).
dx
Przykład 1. Funkcja F (x) = ln |x| jest funkcją
pierwotną funkcji f (x) = x1 na zbiorze R\ {0}, ponieważ
′
(ln |x|) = x1 dla każdego x ∈ R\ {0}. Czyli ogólny wzór na
całkę nieoznaczoną ma postać
Z
1
dx = ln |x| + C, x 6= 0.
x
Podstawowe wzory całkowe:
xn+1
n
x dx =
+ C (n 6= −1)
n
+
1
Z
ex dx = ex + C
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
1
cos2 x dx = tg x + C
Z
1
dx = arctg x + C
x2 + 1
Z
2
1
dx = ln |x| + C
x
Z
ax
x
a dx =
+C
ln a
Z
cos x dx = sin x + C
Z
1
dx = − cot x + C
sin2 x
Z
1
√
dx = arc sin x + C
2
1−x
Z
Twierdzenie 2. Jeżeli istnieje całka nieoznaczona dla
funkcji f i g na zbiorze X, a ∈ R, to
Z
Z
af (x) dx = a f (x) dx,
Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx.
√ dx =
Przykład 2. 1̄+x
x
R 1
√ √ +
=
x dx =
x
R −1/2
R 1/2
= x
dx + x dx =
√
3
= 2 x + 23 x 2 + C.
R
fcałka z sumyg
fwzory podstawoweg
Twierdzenie 3 (istnienie całki nieoznaczonej).
Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w tym
przedziale funkcję pierwotną.
Uwaga 1. Dla wielu ciągłych funkcji nie da się podać
wzoru na funkcję pierwotną w postaci kombinacji
algebraicznej funkcji elementarnych.
2
Np. funkcje: ex , sinx x , e−x , √x13 +1 , są ciągłe w swych
dziedzinach, więc maja funkcje pierwotne. Jednak żadnej
z całek
Z x Z
Z
Z
2
e
sin x
1
√
,
,
e−x ,
,
x
x
x3 + 1
x
nie da się przedstawić elementarnym wzorem.
3
Twierdzenie 4 (całkowanie przez części). Jeżeli
funkcje f i g mają na przedziale X ciągłe pochodne f ′ i
g ′ , to na tym przedziale
Z
Z
f (x)g ′ (x) dx = f (x)g(x) − f ′ (x)g(x) dx.
Twierdzenie 5 (o całkowaniu przez podstawienie).
Jeżeli
funkcja h : R ⊃ X → T ⊂ R ma pochodną na
przedziale X i przekształca go na przedział T ,
funkcja g : T → R ma na przedziale T funkcję
pierwotną G,
f (x) = g(h(x))h′ (x) na przedzialeX,
to
Z
f (x) dx = G(h(x)) + C
na przedziale X.
Krótko:
Z
g(h(x))h′ (x) dx =
Z
g(t) dt.
Uwaga 2. Po obliczeniu całki po prawej stronie wzoru
musimy wrócić do zmiennej x tzn. podstawić t = h(x).
4
Całki z prostych funkcji
trygonometrycznych
1.
R
sinm x cos n x dx
(a) wykładnik kosinusa jest nieparzysty (n = 2k + 1)
R
sinm x cos2k+1 x dx =
R
sinm x(1 − sin2 x)k cos x dx
podstawiamy u = sin x ⇒ du = cos xdx,
R
obliczamy całkę um (1 − u2 )k du
wracamy do starej zmiennej
(b) wykładnik sinusa jest nieparzysty (m = 2k + 1),
R
sin2k+1 x cosn x dx =
R
(1 − cos2 x)k cosn x sin x dx
podstawiamy u = cos x ⇒ du = − sin x dx,
R
obliczamy całkę un (1 − u2 )k du
wracamy do starej zmiennej
(c) Jeżeli oba wykładniki są parzyste, to
wykorzystanie tożsamości
sin2 x = 12 (1 − cos 2x)
cos2 x = 12 (1 + cos 2x)
pozwala na kolejne obniżenie stopnia potęgi, aż
do stopnia pierwszego.
5
Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcje wymierne właściwe
Definicja 3. Funkcją wymierną nazywamy funkcję
postaci
f (x) =
P (x)
,
Q (x)
gdzie P i Q są wielomianami. Jeżeli stopień P jest silnie
mniejszy od stopnia Q, to f nazywamy funkcją
wymierną właściwą.
Uwaga 3. Każdą funkcję wymierną możemy przedstawić
w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej
właściwej (jeżeli st(P ) ­ st(Q), to dzielimy licznik przez
mianownik)
f (x) =
R (x)
P (x)
= S (x) +
;
Q (x)
Q (x)
S, R, Q są wielomianami, st(R) < st(Q). Stąd
Z
Z
Z
P (x)
R (x)
dx = S(x) dx +
dx.
Q (x)
Q (x)
Pierwszą całkę liczymy elementarnie, drugą zajmiemy się
w następnym punkcie.
6
Rozkład na ułamki proste
mianownik Q przedstawiamy w postaci iloczynu
funkcji liniowych ax + b i nierozkładalnych
trójmianów kwadratowych ax2 + bx + c, gdzie
b2 − 4ac < 0.
Po znalezieniu postaci iloczynowej wyrażamy funkcję
R(x)
Q(x) w postaci sumy tzw. ułamków prostych (z
nieznanymi współczynnikami), to znaczy funkcji
wymiernych postaci
A
(ax + b)
i
lub
Ax + B
(ax2 + bx + c)
j
.
W tej sumie każdemu czynnikowi w postaci iloczynowej
Q odpowiadają składniki rozkładu na ułamki proste
dobrane według następującego schematu.
r
Jeżeli w mianowniku występuje czynnik (a1 x + b1 )
to w szukanym rozkładzie odpowiadają mu składniki
postaci
B1
B2
Br
+
+
...
+
r.
2
a1 x + b 1
(a1 x + b1 )
(a1 x + b1 )
Jeżeli w mianowniku występuje czynnik
r
2
ax + bx + c , gdzie b2 − 4ac < 0, to w szukanym
rozkładzie odpowiadają mu składniki postaci
C 1 x + D1
C 2 x + D2
C r x + Dr
+
+
...
+
r.
a2 x + bx + c (a2 x + bx + c)2
(a2 x + bx + c)
7
Aby zakończyć rozkład na ułamki proste należy
wyznaczyć wartości współczynników Bi , Ci , Di (na
przykładzie).
Całkowanie ułamków prostych
ułamki proste I rodzaju
Z
Adx
= A ln |x + a| + C
x+a
Z
Adx
A
=
−
n
n−1 + C,
(x + a)
(n − 1) (x + a)
ułamki proste II rodzaju
R P x+Qdx
R (2x+p)
P
(x2 +px+q)n = 2
(x2 +px+q)n dx + Q −
dla n > 1
Pp
2
R
Pierwsza całka podstawienie t = x2 + px + q, w
drugiej mianownik sprowadzamy do postaci
kanonicznej
2
2
p
p
x+
+ q−
2
4
i podstawiamy t = x + p/2.
8
(2x+p)
(x2 +px+q)n
dx,
Proste całki z niewymiernościami
R
R
R
R
R
R
√ dx
= arc sin xa + C,
a2 −x2
√
√
√
x
a2
2
2
2
2
2
2
a + x dx = 2 a + x + 2 ln x + a + x √
√
2
x
2
2
a − x dx = 2 a2 − x2 + a2 arc sin xa + C,
√
√
√
2
x2 − a2 dx = x2 x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 √
2
2
√ dx
= ln x + x − a + C,
x2 −a2
√
dx
2
2
√
= ln x + x + a + C,
x2 +a2
|x| < a
+ C, x ∈ R
+ C, |x| > a
Uwaga 4. Jeżeli pod pierwiastkiem jest ogólny trójmian
kwadratowy, to sprowadzamy go do postaci kanonicznej,
a następnie stosujemy podstawienie liniowe.
9
|x| 6 a
|x| > a
x∈R