definicja CF

CAŁKA NIEOZNACZONA
Całkowanie funkcji jest działaniem odwrotnym do różniczkowania.
Definicja. Funkcję różniczkowalną F określona na (a, b)
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na (a, b), jeśli
F ′(x) = f (x)
dla każdego x ∈ (a, b).
Odnalezienie funkcji pierwotnej dla zadanej funkcji f
nazywa się całkowaniem.
Uwaga. Jeśli F (x) jest funkcją pierwotną dla f (x), to
F (x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, też jest funkcją
pierwotną dla f (x).
Uwaga. Funkcja pierwotna jest funkcją ciągłą.
Definicja. Całką nieoznaczoną funkcji f na (a, b) nazywamy dowolną funkcję postaci F (x) + C, czyli dowolną funkcję pierwotną funkcji f, i oznaczamy symbolem
∫
f (x)dx.
Funkcję f nazywamy funkcją podcałkową. Zatem
∫
f (x)dx = F (x) + C.
Funkcję, dla której na danym przedziale istnieje całka
nieoznaczona, nazywamy całkowalną na tym przedziale.
1
Całki funkcji elementarnych.
∫
• 0dx = C,
∫ n
xn+1
• x dx = n+1 + C, n ̸= −1,
∫ 1
• x dx = ln |x| + C, x ̸= 0,
∫ x
x
• a dx = lna a , a > 0, a ̸= 1
∫ x
• e dx = ex + C,
∫
• sin(x)dx = − cos(x) + C,
∫
• cos(x)dx = sin(x) + C,
∫ 1
• cos2(x) dx = tg(x)+C, x ̸= πk+π/2, k = 0, ±1, ±2, . . .
∫ 1
• sin2(x) dx = −ctg(x)+C, x ̸= πk, k = 0, ±1, ±2, . . .
Reguły całkowania.
Niech funkcje f i g są całkowalne. Zachodzą następujące wzory:
∫
∫
1. cf (x)dx = c f (x)dx,
∫
∫
∫
2. (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx,
∫ ′
∫
3. f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g ′(x)dx
(całkowanie przez części),
∫
∫
4. jeśli x = ϕ(t), to f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ′(t)dt
(całkowanie przez podstawienie; zamiana zmiennej).
2
Przykłady. f (x) = 3x5 +2x4 +5x2 −x+6, f (x) = x+1
x ,
f (x) = ln x, f (x) = x sin(x), f (x) = cos(x + 1),
f (x) = (ex + 5)ex
Przykład funkcji 
niecałkowalnej: funkcja
 1, x > 0
0, x = 0
f (x) = sgn(x) =

−1, x < 0
nie jest całkowalna na dowolnym przedziale (a, b), zawierającym 0 (ponieważ nie posiada funkcji pierwotnej).
Całka nieoznaczona to funkcja.
3