Wyk 5(2016)
Transkrypt
Wyk 5(2016)
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n−1 (k) X f (0) k=0 k! xk + f (n) (θx) n x . n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) = ln(1 + x) dla x > −1; n = 2. Wówczas f (0) = 0 oraz f 0 (x) = 1 1+x f 00 (x) = − 1 . (1 + x)2 Zatem f (0) = 0 i f 0 (0) = 1 i dla x > −1 istnieje θ ∈ (0, 1) taka, że ln(1 + x) = x − x2 2(1 + θx)2 Zadanie. Korzystając z powyższego dla xn = P∞ 1 n+1 − ln jest zbieżny. n=1 n n 1 n wykazać, że Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C ∞ oraz x, x0 ∈ (a, b). Wówczas ∞ X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )k k! n=0 wtedy i tylko wtedy, gdy f (n) (x0 + θn (x − x0 )) (x − x0 )n = 0 n→∞ n! lim Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina Warunek wystarczający Twierdzenie Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C ∞ oraz x, x0 ∈ (a, b). Jeśli istnieje M > 0, taka że (n) f (x) < M dla wszystkich x ∈ (a, b) i wszystkich n ∈ N, to szereg ∞ X f (n) (x0 ) n=0 n! (x − x0 )n jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale (a, b). Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora/Maclaurina Przykłady = e x na przedziale (−r , r ), x0 = 0. Wówczas dla n ∈ N f (x) (n) f (x) = e x ≤ e r . ∞ X xn x e = n! n=0 Pochodne funkcji sin są ograniczone przez 1 na całej prostej. Zatem sin x = ∞ X (−1)n 2n+1 x (2n + 1)! n=0 Podobnie cos x = ∞ X (−1)n n=0 (2n)! x 2n Uwaga Nie każda funkcja klasy C ∞ jest sumą swojego szeregu Maclaurina. Np. ( exp(−x −2 ) dla x 6= 0; f (x) = 0 dla x = 0. Definicja Jeśli istnieje δ > 0 taka, że funkcja f jest sumą swojego szeregu Taylora w zbiorze |x − x0 | < δ, to funkcję f nazywamy analityczną w punkcie x0 . Jeśli f jest analityczna w każdym punkcie zbioru otwartego A, to mówimy, że f jest analityczna na A, co zapisujemy f ∈ C ω (A). Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Niech f : (a, b) → R będzie różniczkowalna Definicja W punkcie x0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, jeśli istnieje δ > 0 taka, że f 0 (x) > 0 (odp. f 0 (x) < 0) dla x ∈ (x0 − δ, x0 ) i ; f 0 (x) < 0 (odp. f 0 (x) > 0) dla x ∈ (x0 , x0 + δ) Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Niech f : (a, b) → R będzie różniczkowalna Definicja W punkcie x0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, jeśli istnieje δ > 0 taka, że f 0 (x) > 0 (odp. f 0 (x) < 0) dla x ∈ (x0 − δ, x0 ) i ; f 0 (x) < 0 (odp. f 0 (x) > 0) dla x ∈ (x0 , x0 + δ) Twierdzenie Jeśli f : (a, b) → R jest różniczkowalna oraz w x0 następuje lokalna zmiana znaku pochodnej, to f osiąga w x0 ekstremum lokale. Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Powyższego twierdzenia nie można odwrócić! Lokalna zmiana znaku jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum, ale nie jest warunkiem koniecznym. Przykład. Funkcja x 4 (2 + sin x1 ), 0, dla x 6= 0; dla x = 0. posiada minimum w zerze, ale jej pochodna przyjmuje zarówno wartości dodatnie i ujemne w dowolnym otoczeniu (−δ, 0) i (0, δ), δ > 0 (Przeliczyć!). Ekstrema funkcji Warunki dostateczne Twierdzenie Niech n ≥ 2, x0 ∈ (a, b) i niech f : (a, b) → R będzie (n − 1)-krotnie różniczkowalna oraz istnieje f (n) (x0 ). Załóżmy, że f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 1 i f (n) (x0 ) 6= 0. Jeśli n jest liczbą parzystą, to f osiąga w x0 ekstremum lokalne. Jest to minimum, gdy f (n) (x0 ) > 0; jest to maksimum, gdy f (n) (x0 ) < 0. 2 Jeśli n jest liczbą nieparzystą to w punkcie x0 nie ma ekstremum lokalnego. Ekstrema funkcji Warunki dostateczne. Szkic dowodu Przy powyższych założeniach wzór Taylora z resztą Peano ma postać: (n) f (x0 ) r (h) f (x0 + h) − f (x0 ) = hn + n n! h (1) gdzie limh→0 r (h)/hn = 0. Niech δ > 0 będzie na tyle małą liczbą, aby dla wszystkich 0 < |h| < δ r (h) f (n) (x0 ) < hn n! . Wówczas (n) f (x0 ) r (h) f (n) (x0 ) r (h) + ≥ − >0 n! hn n! hn co oznacza, że wyrażenie w nawiasie po prawej z prawej strony równości (1) ma stały znak dla wszystkich h z δ-sąsiedztwa zera. Jeśli n jest parzyste to znak prawej strony (1) jest taki sam jak znak f (n) (x0 ). Natomiast dla n nieparzystych prawa strona zmienia znak (hn zmienia znak przy przejściu h przez zero). Ekstrema funkcji Warunki dostateczne. Przykład 3 3 Niech f (x) = e x . Wtedy f 0 (x) = 3x 2 e x = 0 ⇐⇒ x = 0. 3 f 00 (x) = (6x + 9x 4 )e x i f 00 (0) = 0; 3 f 000 (x) = (6 + 54x 3 + 27x 6 )e x i f 000 (0) 6= 0. Wniosek: f nie ma ekstremum w punkcie x = 0. Uwaga: Są funkcje, które nie reagują na powyższe kryterium. Np. f (x) = exp(−x −2 ), x 6= 0 Dla wszystkich n ∈ N mamy f (n) (0) = 0. i f (0) = 0. Funkcje wypukłe Definicja Mówimy, że funkcja f : A → R jest wypukła, jeśli dla dowolnych x1 , x2 ∈ A oraz λ ∈ (0, 1) f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ) Mówimy, że funkcja f jest wklęsła, jeżeli funkcja −f jest wypukła. Zastępując słabe nierówności przez nierówności ostre, mówimy o ścisłej wypukłości i wklęsłości. Funkcje wypukłe Definicja Mówimy, że funkcja f : A → R jest wypukła, jeśli dla dowolnych x1 , x2 ∈ A oraz λ ∈ (0, 1) f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ) Mówimy, że funkcja f jest wklęsła, jeżeli funkcja −f jest wypukła. Zastępując słabe nierówności przez nierówności ostre, mówimy o ścisłej wypukłości i wklęsłości. Twierdzenie Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną. Funkcja f jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x0 ∈ A zachodzi nierówność f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Dla ścisłej wypukłości należy dla x 6= x0 znak ≥ zamienić na >. Funkcje wypukłe Interpretacja geometryczna drugiej pochodnej Twierdzenie Niech f : (a, b) → R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną, x0 ∈ (a, b) oraz f 00 jest ciągła w punkcie x0 . Jeśli f 00 (x0 ) ≥ 0, to f jest wypukła w pewnym otoczeniu punktu x0 . Jeśli f 00 (x0 ) ≤ 0, to f jest wklęsła w pewnym otoczeniu punktu x0 . Punkty przegięcia funkcji Niech f : (a, b) → R będzie funkcją ciągłą. Definicja Punkt x0 ∈ (a, b) nazywamy punktem przegięcia funkcji f , jeśli funkcja w tym punkcie zmienia charakter wypukłości. Punkty przegięcia funkcji Niech f : (a, b) → R będzie funkcją ciągłą. Definicja Punkt x0 ∈ (a, b) nazywamy punktem przegięcia funkcji f , jeśli funkcja w tym punkcie zmienia charakter wypukłości. Twierdzenie Niech f : (a, b) → R będzie dwukrotnie różniczkowalna. Jeśli x0 jest punktem przegięcia funkcji f , to f 00 (x0 ) = 0. Punkty przegięcia funkcji Warunek dostateczny Twierdzenie Niech f : (a, b) → R będzie n-krotnie różniczkowalna, n ≥ 3, x0 ∈ (a, b). Załóżmy, że f 00 (x0 ) = f 000 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 i f (n) (x0 ) 6= 0. Jeśli n jest liczbą parzystą, to x0 nie jest punktem przegięcia f . Jeśli n jest liczbą nieparzystą to w punkcie x0 f ma punkt przegięcia.