Zestaw 5. zadań z Matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia
Zestaw 5. zadań z Matematyki1
Ekstrema, monotoniczność, wypukłość, punkty przegięcia
funkcji jednej zmiennej 2
Zadanie 1. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji3 :
x2
− 1,
x+1
x2 − 2x + 1
f (x) =
,
x+4
1
,
f (x) = −x +
1−x
3
f (x) = x4 − 2x3 − 4,
4
x3 x2
f (x) =
−
− 2x + 1,
3
2
1
f (x) = x − ,
x
x2
,
2−x
a) f (x) =
b)
f (x) =
c)
d)
f (x) = 10 ln (x + 3) +
e)
g)
i)
k)
1 4
−2x2 +3
m) f (x) = e 4 x
,
o) f (x) = x + 3 ln x,
f)
x2
− 4x,
2
15
f (x) = −8 ln (x + 3) −
+ x − 2,
x+3
h)
f (x) = −x5 + 5x4 − 5x3 + 1,
j)
f (x) = 5 + 2x2 − x4 ,
l)
f (x) =
n)
f (x) = x2 ex ,
p)
f (x) = ln(1 − x2 ).
x3
,
x−2
Zadanie 2. Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji4 :
a)
c)
e)
g)
i)
2
g(x) = x6 + x5 − 10x4 − 3x,
3
1
3
g(x) = − x6 − x5 + 10x4 − 6,
5
10
g(x) = −x4 − 2x3 + 12x2 + 5,
x 3
+ ,
3 x
g(x) = x − 4 ln x,
g(x) =
b)
d)
f)
h)
j)
3
g(x) = − x5 + x4 + 4x3 + 1,
5
5 7
g(x) = x − 7x6 + 9x5 + 2x,
7
3
g(x) = x5 − x4 + x3 + 2x − 7,
10
1
g(x) = x2 − ,
x
g(x) = ln(1 + x2 ).
UWAGA! Zrezygnowałem z wprowadzania do tego zestawu odpowiedzi oraz podpowiedzi do zadania 1. w postaci wypisanej postaci pochodnej funkcji f (choć na kartkówce taka pochodna będzie pomocniczo wypisana w treści
zadania). Zrobiłem to celowo. Rozwiązując zadanie 1. proszę wyznaczyć pochodną samodzielnie, a następnie swój
wynik sprawdzić wykorzystać polecaną stronę: http://www.wolframalpha.com/ i na tej stronie proszę wpisać wzór
funkcji. Otrzymacie Państwo wśród wielu innych informacji, gdzieś na końcu, zarówno informację o tym jak wygląda
pochodna (ang. derivative), jak i informacje o ekstremach lokalnych (ang. local maximum, local minimum), a dodatkowo wypisana będzie również dziedzina funkcji f (ang. domain). To sprawdzanie postaci pochodnej w Wolframie
będzie dla Państwa również dobrym ćwiczeniem. Proszę się jednak zawsze upewnić, że poprawnie wprowadziliście
2
wzór funkcji (widać to w polu input), np. funkcję z punktu c) z zadania pierwszego, czyli funkcję f (x) = x −2x+1
,
x+4
należy wprowadzić do Wolframa następująco: f(x)=(x^2-2*x+1)/(x+4) i ENTER . Żeby wprowadzić funkcję logarytm, np. ln(x − 5), należy wpisać w Wolframie log(x-5), choć takich zadań na ekstrema na kolejnej kartkówce
nie będzie. Dobrej zabawy i powodzenia!
c 2016 Joanna i Michał Trzęsiok
Copyright 1
Zestaw dostępny pod adresem: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/zestaw5mat.pdf
Ten zestaw jest sponsorowany przez LATEX’owy symbol [\Ankh]: ˆ
3
Ekstrema: przykłady od m) są nieco trudniejsze – dla lubiących wyzwania
4
Wypukłość: przykłady od g) są nieco trudniejsze – dla lubiących wyzwania
2