Zadania do samodzielnego rozwiązania – zestaw 4

Zadania do samodzielnego rozwiązania – zestaw 4
1. Sformułować definicję wielomianu i definicję stopnia wielomianu.
2. Sformułować definicje podzielności wielomianów i nierozkładalnosci wielomianów.
3. Sformułować definicje pierwiastka wielomianu i pierwiastka k-krotnego wielomianu oraz
definicję równości wielomianów.
4. Sformułować twierdzenie o reszcie (przedstawić szkic dowodu).
5. Sformułować twierdzenie Bezoute’a wraz z dowodem.
6. Sformułować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych oraz twierdzenia o pierwiastkach całkowitych takiego wielomianu.
7. Sformułować twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu o współczynnikach z R.
8. a) Sformułować definicję funkcji homograficznej i omówić jej własności (dziedzina, przeciwdziedzina, monotoniczność, istnienie funkcji odwrotnej i jej wzór, wykres funkcji i jego
asymptoty).
b) Sformułować definicję funkcji wymiernej, omówić jej własności.
9. Dany jest wielomian W (x) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3.
a) Znaleźć resztę z dzielenia tego wielomianu przez: x + 2, x + 1, x + 3.
√
b) Zbadać (nie wykonujac dzielenia), przez które z dwumianów: x−2, x− 23 , x−1, x+ 2,
x + 3, podzielny jest wielomian W (x).
10. Dany jest wielomian W (x) = 9x4 − 12x3 − 12x − 20.
a) Znaleźć resztę z dzielenia tego wielomianu przez: x − 2, x + 1, x + 3.
b) Zbadać (nie wykonujac dzielenia), przez które z dwumianów: x + 2, x − 34 , x + 1, x − 12 ,
podzielny jest wielomian W (x).
11. Dla jakiej wartości parametru a wielomian W (x) = 2ax3 − 4ax2 + ax − 2a jest podzielny
przez x − 2?
b) Dla jakiej wartości parametru a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x − 2 jest
równa −8?
12. Dla jakich wartości parametrów a, b i c wielomian W (x) podzielny jest przez każdy z
dwumianów: x − 1, x + 2, x − 3, gdy
a) W (x) = x4 − x3 + ax2 + bx + c
b) W (x) = x4 + ax2 + bx + c.
13. Wykonać działania:
a) (x3 + x − 2) : (x − 1),
b) (x3 + 2x2 − 3x − 10) : (x − 2),
c) (2x7 + 3x6 + 14x5 + 10x4 − 7x3 − 32x2 + 15x − 5) : (x4 + 7x2 − 3x + 1),
d) (12x6 − 7x4 + 32x3 − 13x2 − 24x) : (8x3 + 4x2 − 12x),
e) [4ax3 + 2a(3 − a)x2 − (3a + 8)x + 4a] : (2x − a),
d) [3x4 + 2x3 + (a − 4)x2 + (a + 1)x + 3a] : (x2 + x − 1).
14. Liczby 1 oraz -2 sa, pierwiastkami równania x4 + ax3 + bx2 + 4 = 0. Wyznaczyć a, b oraz
pozostale pierwiastki równania.
15. Wyznaczyć wartości parametrów a, b oraz c, przy których wielomian x4 − 5x3 + ax2 + bx − c
jest podzielny przez (x − 1)3 .
16. Rozłożyć na czynniki wielomiany: a) x4 +1, b) x4 −1, c) y 3 +1, d) t6 +1, e) 4x4 −3x2 +1.
17.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
Znaleźć pierwiastki wielomianów:
A(x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2,
B(x) = 27x3 − 9x2 − 3x + 1,
C(x) = 5x3 − 19x2 − 38x + 40,
D(x) = 3x4 − 10x3 + 10x − 3,
E(x) = 6x4 + 7x3 − 12x2 − 3x + 2,
F (x) = x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2,
G(x) = x4 − 3x3 − 8x2 + 12x + 16,
H(x) = 3x2 − 12x − (x2 − 4x)2 + 10,
I(x) = (x2 − 3x + 4)(x2 − 3x − 1) + 6,
J(x) = (3x2 + x − 2)2 − 30x2 − 10x + 36,
K(x) = x5 − 2x4 − 13x3 + 26x2 + 36x − 72,
L(x) = 12x5 − 8x4 − 45x3 + 45x2 + 8x − 12,
M (x) = x5 − x4 − 3x3 + 5x2 − 2x,
¡
¢4
¡
¢2
N (x) = x2 − x + 1 − 10x2 x2 − x + 1 + 9x4 ,
¡
¢2
¡
¢
O(x) = x4 − 5x2 + 2 − 14 x4 − 5x2 + 2 − 32,
P (x) = x4 − 6x3 + 9x2 − 4,
Q(x) = (x4 + x2 )4 − 1,
R(x) = 2x4 + 17x3 + 28x2 − 17x − 30,
S(x) = 2x3 + 11x2 + 12x − 9,
T (x) = x4 + 3 − |3x3 + x|,
U (x) = 4x4 + x2 − 3x + 1,
V (x) = 3x4 + 14x3 + 26x2 + 21x + 6.
18. Wykazać, że liczby 2 i −5 są pierwiastkami podwójnymi wielomianu
W (x) = x4 + 6x3 − 11x2 − 60x + 100
19. Wykazać, że liczba −1 jest pierwiastkiem potrójnym wielomianu
U (x) = x5 + 3x4 + 5x3 + 7x2 + 6x + 2
20.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Rozwiązać nierówności:
x3 + x − 2 > 0,
x3 + x − 2 < 0,
3
2
x
− 12 < 0,
¡ −2 5x + 10x¢¡
¢
3x − 13x + 4 4x2 + 12x + 9 ≤ 0,
¡
¢
(2x − 5) x5 − 4x3 + 8x2 − 32 ≤ 0,
¡ 2
¢¡
¢
2
(x
x + 1 x2 − 9 (x + 2)3 x ≥ 0,
¯ 3− 3)¯ x +
¯x − 1¯ ≤ x2 + x + 1,
¡
¢¡
¢¡
¢
4 − x2 x2 − 6x + 8 x3 − 27 ≥ 0,
|x| > x1 ,
x3 + 2x2 + 18 ≥ 9x,
2x4 + 3x3 + 3x ≤ 2,
(4 − x2 )(x2 − 6x + 8)(x3 − 27) ≥ 0,
|x3 − 1| < x2 + x + 1,
|x3 − 1| < −2x2 + x + 1.
21. Dla jakiej wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x3 + 2x2 − kx + 3
przez wielomian F (x) = x − 1 be,dzie równa 3 ?
22. Dla jakiej wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x15 + 5x + |k| przez
wielomian F (x) = x + 1 be,dzie równa 2 ?
23. Dany jest wielomian stopnia pia,tego W (x). Reszta z dzielenia tego wielomianu przez x − 1
wynosi 2, przez x − 3 wynosi 5. Podać wielomian, który jest reszta, z dzielenia W (x) przez
(x − 1)(x − 3).
24. Wykazać, że jeśli W (x) = x2 + x + 1, to W [W (x)] > W (x) dla wszystkich x ∈ R.
25. Dane sa, wielomiany: W (x) = −x2 +2x−3 i P (x) = x+2. Znaleźć wielomiany: W (x)+P (x),
W (x) · P (x) oraz 2W (x) − [P (x)]2 .
26. Reszta z dzielenia nieznanego wielomianu W (x) przez wielomian G(x) = x4 + x3 − x − 1
wynosi RG (x) = x3 + x2 + x + 2. Wyznaczyć reszte, RH (x) z dzielenia wielomianu W (x)
przez wielomian H(x) = x2 − 1.
27. Liczby x1 = 1, x2 = −1 i x3 = 2 sa, pierwiastkami wielomianu W (x) = x3 + ax2 − x + b.
Znaleźć liczby a i b oraz rozwia,zać nierówność W (x) < 0.
28. Wykazać, że wielomian x12 − x9 + x4 − x + 1 nie ma miejsc zerowych.
29. Dane są funkcje wymierne F (x) i G(x). Dla jakich x ∈ R zachodzi równość F (x) = G(x),
gdy:
x2 − 2x
x−2
a) F (x) = 2
, G(x) =
,
x −x
x−1
3(1 − x)
(3x − 12)(−x2 )
b) F (x) =
, G(x) =
,
2x + 2
(2x − 8)(x + 1)2
x3
4(3x + 1)
7x2
x
−
−
,
G(x)
=
2
·
,
c) F (x) =
x−1 x+1
x2 − 1
x2 − x3
3(x − 2)
7x + 6 2(x2 − 9) 2x3 − 8x2 + 8x
d) F (x) =
, G(x) =
− 2
−
.
x
x+2
x − 3x
x3 − 4x
3x − 4
6 − 2x
30. Obie strony równania
−x =
pomnożyć przez (x − 2). Czy tak otrzymane
x−2
x−2
równania są równoważne? Określić dziedziny obu równań.
31. a) Sprawdzić czy nierówności 2x + 1 > −3
oraz
2x + 1 +
równoważne?
(i) Określić dziedziny obu nierówności.
(ii) Rozwiązać obie nierówności.
1
1
> −3 +
x−1
x−3
b) Sprawdzić czy liczby 8 i 15 spełniają nierówności 3x − 5 > 2x + 1 i
W jakim zbiorze nierówności te są równoważne?
32. Rozwiązać nierówności:
2x − 5
2(x − 3)
a)
> 1,
b)
< 0,
3 − 4x
5x + 4
e)
4x4 − 17x2 + 4
> 0,
3x − 5
h)
x3 − x2 + 9x − 6
< −1,
x2 − 5x + 6
f)
c)
x4
1
− ≤ 0,
10 + x8
5
x2 − 8
< 0,
9x4 − 52x2 + 64
i)
4
g)
d)
są
3x − 5
> 2x + 1x − 11.
x − 11
1
> x2 − |x| + 1,
|x|
(x2 − 2x)(x2 + 2x + 5)
< 0,
x2 − 1
(x + 1)2 (x2 + 2x − 15)
< 0.
(x − 7)4 (x2 − 3)3 (3x + 5)
33. Wykazać, że jeśli równanie x + ax + b = 0 ma pierwiastek podwójny, to
³ a ´4
4
µ ¶3
b
=
.
3