teoria obwodów i sygnałów laboratorium

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW
LABORATORIUM
AKADEMIA MORSKA
Katedra Telekomunikacji Morskiej
Ćwiczenie nr 3: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
ĆWICZENIE 3
BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH
LINIOWYCH UKŁADÓW RLC
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia są pomiary i analiza teoretyczna czasowych funkcji układowych
(charakterystyk czasowych) prostych układów RLC a także ugruntowanie wiadomości na temat
zastosowanie całki splotu do wyznaczania odpowiedzi na dowolne pobudzenie układu
liniowego.
2. Wprowadzenie
Czasowe funkcje układowe są to funkcje określające w dziedzinie czasu powiązania
występujące pomiędzy odpowiedzią y(t) liniowego obwodu elektrycznego i wymuszeniem x(t),
które tę odpowiedź wywołało. Określone są one jako odpowiedź obwodu liniowego na
konkretne wymuszenia.
Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie o postaci impulsu delty Diraca δ(t)
nazywa się charakterystyką impulsową k(t) lub odpowiedzią impulsową:
k (t ) = y (t ) x ( t )=δ (t )
Odpowiedź impulsową układu liniowego można wyznaczyć jako odwrotną transformatę
Laplace’a z transmitancji operatorowej K(s) układu liniowego:
k (t ) = L−1[ K ( s )]
gdzie: L-1 odwrotna transformata Laplace’a
K(s) – transmitancja operatorowa
Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie o postaci skoku jednostkowego nosi
nazwę odpowiedzi jednostkowej:
h(t ) = y (t ) x (t )=1(t )
W takim przypadku odpowiedź układu liniowego można wyznaczyć jako odwrotną
transformatę Laplace’a z transmitancji operatorowej K(s) podzielonej przez zmienną
zespoloną s:
1

h(t ) = L−1  K ( s )

s
2
Ćwiczenie nr 3: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
Impuls Diraca jest pewną abstrakcją matematyczną spełniającą następujące warunki:
δ (t ) = ∞ dla t = 0

δ (t ) = 0 dla t ≠ 0
+∞
oraz
∫ δ (t )dt = 1
−∞
W fizycznych układach nie ma możliwości zrealizowania idealnego impulsu Diraca,
ponieważ rzeczywiste impulsy mają skończony czas trwania i skończoną amplitudę.
Rzeczywisty przebieg f(t) możemy traktować jako przybliżenie impulsu Diraca, jeżeli czas jego
trwania jest znacznie mniejszy od stałych czasowych badanego układu. W takim przypadku
odpowiedź impulsową wyznaczamy z zależności:
k (t ) =
1
λ
y (t )
gdzie: y(t) – odpowiedź układu na pobudzenie rzeczywistym impulsem f(t)
λ=
+∞
∫ f (t )dt - oznacza pole powierzchni impulsu dla delty Diraca λ = 1.
−∞
Jeżeli znamy odpowiedź impulsową k(t) układu korzystając z całki splotu możemy
wyznaczyć odpowiedź układu liniowego y(t) na dowolne pobudzenie x(t).
t
y (t ) = ∫ k (τ ) x(t − τ )dτ
−∞
Powyższe równanie można zapisać symbolicznie w postaci.
y (t ) = k (t ) ∗ x(t )
3. Przykładowe obliczenia
Wyznaczmy odpowiedź impulsową i jednostkową układu całkującego przedstawionego na
rysunku 1.
R
C
Rysunek 1. Układ całkujący RC.
Transmitancję operatorową K(s) przedstawionego układu można napisać w postaci:
K ( s) =
1
sC
R+
1
sC
=
1
1
1
=
sRC + 1 RC s + 1
RC
Korzystając ze wzorów zamieszczonych we wprowadzeniu można obliczyć odpowiedź
impulsową k(t) analizowanego układu:
3
Ćwiczenie nr 3: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium




1
1
1
 t 
k (t ) = L−1[ K ( s )] = L−1 
exp −
=
 1(t)

 RC 
 RC s + 1  RC
RC 

Podobnie wyznaczamy odpowiedź jednostkową:







 
1
1
1
1
1


 t 
= L−1  −
h(t ) = L−1  K ( s ) = L−1 
= 1 − exp −
 1(t )


s

 RC 
 sRC s + 1 
s s + 1  
RC 
RC 


Na rysunku 2 zamieszczono wykresy czasowe odpowiedzi impulsowej i jednostkowej
analizowanego układu całkującego (R = 1, C = 1).
b)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
h(t)
k(t)
a)
0
2
4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
6
0
t [s]
2
4
6
t [s]
Rysunek 2 Charakterystyki czasowe układu całkującego
a) odpowiedź impulsowa
b) odpowiedź jednostkowa
4. Program ćwiczenia
a) Wyznaczyć charakterystykę impulsową układu pierwszego rzędu (może być
opisany za pomocą równania różniczkowego pierwszego rzędu).
W tym celu należy:
• Połączyć układ pomiarowy.
• Zrealizować za pomocą przełączników na płytce układu podany przez
prowadzącego ćwiczenia.
• Na wejście badanego układu podać ciąg krótkich impulsów
prostokątnych (pseudoimpulsów Diraca) o odpowiednio długim okresie
powtarzania.
• Dokonać pomiarów parametrów (wysokość i czas trwania)
pseudoimpulsu Diraca w celu określenia współczynnika λ.
• Przerysować z oscyloskopu pobudzenie i odpowiedź badanego układu
pamiętając o kalibracji oscyloskopu i zapisaniu współczynników
odchylania i podstawy czasu.
b) Wyznaczyć charakterystykę jednostkową układu pierwszego rzędu
Postępujemy analogicznie jak w przypadku punktu 4a tylko na wejście układu
podajemy ciąg impulsów prostokątnych o czasie trwania znacznie dłuższym niż
4
Ćwiczenie nr 3: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
stała czasowa badanego układu.
c) Wyznaczyć charakterystykę impulsową układu drugiego rzędu (może być
opisany za pomocą równania różniczkowego drugiego rzędu).
Postępujemy analogicznie jak w przypadku punktu 4a
d) Wyznaczyć charakterystykę jednostkową układu pierwszego rzędu
Postępujemy analogicznie jak w przypadku punktu 4b.
Uwaga
W ćwiczeniu można skorzystać z przystawki oscyloskopowej. W tym przypadku
istnieje wtedy możliwość nagrania na dyskietkę oscylogramów badanych sygnałów a
następnie ich wydrukowaniu w sprawozdaniu.
5. Schemat ideowy badanego układu
R1
L1
C1
R2
L2
C2
uo(t)
ui(t)
Rysunek 3. Schemat ideowy badanego układu
Wartości elementów:
Układ nr1:
Układ nr2:
R1=986 ohm,
C1=30,3 nF,
L1=39,6 mH(107,5 ohm)
R2=1000 ohm, C2=36,3 nF,
L2=40,8 mH(97,7 ohm)
R1=594 ohm,
C1=20,0 nF,
L1=44,6 mH(106,5 ohm)
R2=633 ohm,
C2=23,1 nF,
L2=40,8 mH(98,3 ohm)
6. Opracowanie wyników
a) Wyznaczyć teoretycznie na podstawie topologii układu i wartości elementów
odpowiedź impulsową układu pierwszego rzędu. Należy skorzystać z odwrotnej
transformaty Laplace’a L-1[K(s)].
b) Wyznaczyć teoretycznie na podstawie topologii układu i wartości elementów
odpowiedź jednostkową układu pierwszego rzędu. Należy skorzystać z całki
splotu h(t) = k(t) * 1(t).
c) Wyznaczyć teoretycznie na podstawie topologii układu i wartości elementów
odpowiedź impulsową układu drugiego rzędu. Należy skorzystać z odwrotnej
transformaty Laplace’a L–1[K(s)].
d) Wyznaczyć teoretycznie na podstawie topologii układu i wartości elementów
5
Ćwiczenie nr 3: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
odpowiedź jednostkową układu drugiego rzędu. Należy skorzystać z odwrotnej
transformaty Laplace’a L–1[K(s)/s].
e) Wykreślić otrzymane na drodze teoretycznej charakterystyki czasowe badanych
układów liniowych.
f) Porównać i skomentować wyniki otrzymane na drodze teoretycznej i
doświadczalnej. Wyciągnąć wnioski na temat ewentualnych różnic.
7. Pytania kontrolne
a) Podać definicję odpowiedzi impulsowej
b) Podać definicję odpowiedzi jednostkowej
c) Omówić metodę wyznaczania odpowiedzi impulsowej na podstawie znajomości
transmitancji operatorowej
d) Omówić metodę wyznaczania odpowiedzi jednostkowej na podstawie
znajomości transmitancji operatorowej
e) Omówić całkę splotu i jej zastosowanie do wyznaczania odpowiedzi układu
liniowego na dowolne pobudzenie
f) Wyznaczyć odpowiedź układu całkującego na pobudzenie impulsowe
g) Wyznaczyć odpowiedź układu różniczkującego na pobudzenie impulsowe
h) Wyznaczyć odpowiedź układu całkującego na pobudzenie jednostkowe
i) Wyznaczyć odpowiedź układu różniczkującego na pobudzenie jednostkowe
6