prawdziwy fałszywy dyplom

Rachunek zdań
• Zdanie w sensie logicznym
jest to
wyraŜenie jednoznacznie stwierdzające,
na gruncie reguł danego języka, iŜ tak a
tak jest albo Ŝe tak a tak nie jest.
Wartość logiczna
zdania jest czymś
obiektywnym, to znaczy nie zaleŜy od
poglądów tej czy innej osoby.
Rachunek zdań
Nikt nie moŜe zmienić wedle swojego
widzimisię
wartości
logicznej
jakiegokolwiek
zdania,
bo
wartość
logiczna zaleŜy tylko od tego, czy dane
zdanie
opisuje
świat
zgodnie
z
rzeczywistym stanem, czy teŜ z tym
stanem niezgodny.
Rachunek zdań
Weźmy pod uwagę zdanie:
Deszcz jest poŜyteczny.
Czy jest to zdanie prawdziwe, czy teŜ
fałszywe?
Rachunek zdań
Wypowiedź ta nie jest zdaniem w sensie
logicznym, lecz wypowiedzią niezupełną.
Wypowiedzią
zdaniową
niezupełną
nazywamy takie wyraŜenie, które wprawdzie
nie jest zdaniem w sensie logicznym, lecz o
tyle spełnia rolę zdania w sensie logicznym, o
ile słuchacz zdaje sobie sprawę z pewnych
domyślnych
uzupełnień
wypowiedzi,
pominiętych przez mówiącego.
Rachunek zdań
• Funkcja zdaniowa
KaŜda wypowiedź językowa będąca zdaniem
moŜe być sprowadzona do schematu będącego
jej reprezentacją. Dla przykładu zdanie „kaŜdy
student jest piłkarzem” da się przedstawić jako
„KaŜde S jest P”. Ten schemat moŜe
reprezentować wiele innych zdań takich jak
„KaŜdy
policjant
jest
funkcjonariuszem
publicznym”,
„KaŜdy
ekonomista
jest
człowiekiem wykształconym”.
Rachunek zdań
W schemacie tym wyraŜenia S i P są zmiennymi
nazwowymi, a sam schemat „KaŜde S jest P”
staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym w
zaleŜności od tego, co podstawimy w miejsce
zmiennych.
Podobnie jest z wypowiedzią tego typu: „JeŜeli
Robert ukończył studia ekonomiczne, to
dziekanat wydał mu dyplom”. Strukturę tej
wypowiedzi moŜna opisać schematem „JeŜeli p,
to q” i moŜe on słuŜyć do opisu wielu zdań.
Rachunek zdań
W schemacie tym zmienne p i q są zdaniami, a
sam schemat staje się zadaniem prawdziwym
lub fałszywym w zaleŜności od wartości
logicznych zdań p i q.
Cechą wyraŜeń typu „KaŜde S jest P” i „JeŜeli p, to
q” jest to, Ŝe będąc wyraŜeniami opisowymi
reprezentującymi strukturę wypowiedzi same
przez się nie mają wartości logicznej. Tego typu
wyraŜenia nazywamy funkcjami zdaniowymi.
zdaniowymi
Rachunek zdań
Operację
podstawienia
w
miejsce
zmiennych konkretnych nazw lub zdań
nazywamy
konkretyzacją
funkcji
zdaniowej.
zdaniowej
Natomiast
operację
objęcia
kwantyfikatorem kaŜdej ze zmiennych
występujących w schemacie nazywamy
skwantyfikowaniem tej funkcji.
funkcji.
Rachunek zdań
RozróŜniamy dwa rodzaje kwantyfikatorów:
• kwantyfikator
ogólny
–
oznaczany
symbolem ∀x lub ∧x . Oznacza wyraŜenie
„dla kaŜdego” lub „dla wszystkich”.
Przykład:
∀ Jeśli x jest Ŝółte, to jest kolorowe.
x
∀
x
Jeśli x jest kolorowe, to x jest Ŝółte.
Rachunek zdań
• Kwantyfikator szczegółowy – zapisuje się
symbolem ∃ lub ∨ . Oznacza wyraŜenie
x
x
„istnieje”.
Przykład:
∃ x jest kolorowe i x jest Ŝółte.
x
∃ x jest synem bezdzietnej matki.
x
Rachunek zdań
• Funktory
nieprawdziwościowe
i
prawdziwościowe
Przedmiotem
analizy
w
ramach
dzisiejszego wykładu będą jedynie zdania
złoŜone. Tworzy się je przez uŜycie
określonych wyraŜeń, które nazywamy w
logice funktorami. Dzielą się one na
Rachunek zdań
1. Funktory
nieprawdziwościowe,
do
których naleŜą zwroty jak „konieczne
jest, Ŝe …”, „z tego, Ŝe … naleŜy sądzić,
Ŝe …”, „moŜliwe jest, Ŝe …”,
charakteryzują się tym, Ŝe łącząc ze
sobą zdania o określonej wartości
logicznej nie wyznaczają w sposób
jednoznaczny wartości logicznej zdania
złoŜonego.
Rachunek zdań
Przykłady:
Z tego, Ŝe w zeszłym roku obrodziły jabłka wynika,
Ŝe grudzień w zeszłym roku był mroźny.
MoŜliwe, Ŝe jutro pojadę do Poznania.
Konieczne jest, Ŝe mamy dzisiaj złą pogodę.
Rachunek zdań
2. Funktory
prawdziwościowe,
które
reprezentowane są przez m. in. takie zwroty
jak „i”, „lub”, „albo … albo”, „bądź … bądź”,
„jeŜeli …, to …” charakteryzują się tym, Ŝe
wartość
logiczna
zdania
złoŜonego
stworzonego za ich pomocą, jest w sposób
jednoznaczny wyznaczona przez wartość
logiczną zdań będących ich argumentami. Z
punku widzenia logiki interesujące są właśnie
te spójniki.
Rachunek zdań
Funktory prawdziwościowe ze względu na liczbę
argumentów łączących przez te funktory dzielimy
na jednoargumentowe, dwuargumentowe lub trój-,
czwór- i więcej argumentowe.
• Funktory prawdziwościowe jednoargumentowe to:
- funktor asercji
asercji, inaczej afirmacji , jest funktorem
potwierdzającym prawdziwość. WyraŜa się słowami
„prawdą jest, Ŝe …”, „zaiste” albo „naprawdę” i
oznacza symbolem ≈
Rachunek zdań
- funktor negacji wyraŜa się słowami: „
nieprawda, Ŝe …”, „nie jest tak, Ŝe …” lub
krótko „nie”. Oznaczamy ją symbolem ~.
Przykłady:
Nieprawdą jest, Ŝe Sławek jest studentem.
Sławek nie jest studentem.
Rachunek zdań
Matryca funktorów prawdziwościowych
jednoargumentowych:
p
≈p
1
1
0
0
0
1
~p
Rachunek zdań
• Funktory prawdziwościowe dwuargumentowe:
- funktor koniunkcji wyraŜamy jako „i”, „oraz”, „a
chociaŜ”, „lecz”, „pomimo, Ŝe”, „a takŜe”, „jak równieŜ”
i oznaczamy ∧. Zdanie złoŜone zbudowane za
pomocą tego funktora nazywamy koniunkcją.
Warunkiem
koniecznym
i
wystarczającym
prawdziwości koniunkcji jest prawdziwość obu zdań
składowych. Natomiast fałszywość choćby jednego
zdania składowego jest warunkiem wystarczającym
fałszywości koniunkcji.
Rachunek zdań
- funktor alternatywy
wyraŜamy jako „lub”,
„bądź”, „albo” i oznaczamy symbolem ∨. Zdanie
złoŜone zbudowane za pomocą tego funktora
nazywamy
alternatywą.
Warunkiem
wystarczającym prawdziwości alternatywy jest
prawdziwość choćby jednego argumentu
zdaniowego.
Warunkiem
koniecznym
i
wystarczającym fałszywości alternatywy jest
fałszywość oby zdań.
Rachunek zdań
- funktor alternatywy rozłącznej wyraŜana
jest poprzez zwrot „albo … albo”, a
przyjętym
dla niej symbolem jest ⊥.
Zbudowane za pomocą tego funktora
zdanie złoŜone jest prawdziwe, gdy jeden i
tylko jeden z argumentów zdaniowych jest
prawdziwy i jeden i tylko jeden fałszywy.
Rachunek zdań
funktor dysjunkcji
oznaczany jest
symbolem / i czyta się go jako „bądź …,
bądź …”. Zbudowane za pomocą tego
funktora
zdanie
złoŜone,
zwane
dysjunkcją,
jest
prawdziwe,
jeśli
przynajmniej jedno ze zdań składowych
jest fałszywe.
Rachunek zdań
- funktor binegacji oznaczany jest ↓ i czytany
jako „ani …, ani …”. Binegacja jest prawdziwa,
jeŜeli oba zdania składowe są fałszywe.
- funktor implikacji oznaczamy znakiem ⇒ i
wyraŜamy za pomocą słów „jeŜeli …, to …”.
Implikacja jest fałszywa, jeŜeli jej pierwsze
zdanie składowe (poprzednik) jest prawdziwe, a
drugie zdanie składowe (następnik) jest
fałszywe.
Rachunek zdań
- funktor równowaŜności oznaczamy
znakiem ⇔ i czytamy jako „… wtedy i tylko
wtedy, gdy …”. Zdanie zbudowane za
pomocą
tego
spójnika,
zwane
równowaŜnością, jest prawdziwe wtedy,
gdy oba zdania składowe mają taką samą
wartość logiczną.
Rachunek zdań
Matryce logiczne funktorów
dwuargumentowych:
p
1
1
0
0
q p∧q p∨q p⊥q p/q p↓q p⇒q p⇔q
1 1
1
0
0
0
1
1
0 0
1
1
1
0
0
0
1 0
1
1
1
0
1
0
0 0
0
0
1
1
1
1
Rachunek zdań
• Funkcja logiczna w rachunku zdań to taka
funkcja zdaniowa, która zbudowana jest jedynie
ze stałych logicznych i zmiennych (zdaniowych
lub nazwowych). Za stałe logiczne uznawać
będziemy omówione funktory prawdziwościowe,
kwantyfikatory, funktor ∈ przynaleŜności do
zbioru oraz inne wyraŜenia zdefiniowane
poprzez odwołanie się do juŜ wymienionych
stałych.
Rachunek zdań
Zmienne
zdaniowe
oznaczane
symbolami p, q, r, s, … reprezentują
dowolne zdania w sensie logicznym.
Przykłady:
1. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)],
2. [(r ⇒ p) ∧ (r ⇒ q) ∧ (~p ∧ ~q)] ⇒ ~r
Rachunek zdań
Sformułowane w języku naturalnym wypowiedzi
będące zdaniami złoŜonymi mogą być przy
uŜyciu wyŜej wymienionych stałych logicznych, a
takŜe zmiennych, przekształcone do postaci
funkcji logicznych. Np. zdanie JeŜeli niezdolność
opiekuna do sprawowania opieki jest warunkiem
wystarczającym do tego, by władza opiekuńcza
zwolniła opiekuna i jeŜeli dopuszczenie się
przez niego
Rachunek zdań
czynów naruszających dobro pozostającego
pod opieką jest warunkiem wystarczającym do
tego, by władza opiekuńcza zwolniła opiekuna,
a opiekun jest niezdolny do sprawowania
opieki
lub
dopuszcza
się
czynów
naruszających dobro pozostającego pod
opieką, to władza opiekuńcza zwalnia
opiekuna moŜna przekształcić do postaci:
[(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ∧ (p ∨ q)] ⇒ r.
Rachunek zdań
W dalszym etapie takiej analizy zdania,
będziemy badać, jakie wartości logiczne
przyjmuje ta funkcja przy załoŜeniu, Ŝe
składające się na nią zmienne mają taką,
a nie inną wartość.
W
przekształcaniu
wyraŜenia
języka
naturalnego na funkcję logiczną będziemy
wykorzystywać nawiasy.
Rachunek zdań
W
takiej
notacji
jedynie
symbole
jednoargumentowe asercji i negacji poprzedza
symbol
argumentu,
natomiast
symbole
pozostałych funktorów umieszcza się pomiędzy
symbolami ich argumentów. Nawiasy jakimi
posługujemy się do grupowania wyrazów w
formule, będą róŜnić się od siebie kształtem.
Obowiązująca będzie formuła: {…[…(…)…]…}.
Rachunek zdań
Stosowanie nawiasów nie zawsze jest
konieczne. Istnieje bowiem konwencja, Ŝe znaki
~, ∧, ∨, /, ⇒, ⇔ wiąŜą kolejno coraz słabiej, z
tym, Ŝe znaki ∨, / wiąŜą równie silnie. Stąd
zamiast (p ∧ q) ∨ r wolno pisać p ∧ q ∨ r.
Zamiast (p ∧ q) ⇒ r wolno pisać
p ∧ q ⇒ r.
Idąc dalej zamiast
[p ∨ (q ∧ s)] ⇒ [(~p) ⇒ (q ∧ s)]
moŜna zapisać: p ∨ q ∧ s ⇒ (~p ⇒ q ∧ s).
Rachunek zdań
Oryginalnym
beznawiasowym
systemem
notacyjnym jest system stworzony przez J.
Łukasiewicza, zwanym inaczej „polska notacją
beznawiasową”. Niech „K” oznacza koniunkcję,
„A” – alternatywę, „D” – dysjunkcję, „C” –
implikację oraz „E” – równowaŜność. Wówczas
funkcja
[(p ⇒q) ∧ (r ⇒ s) ∧ ( p ∨ q)] ⇒ (q ∨ s) w notacji
Łukasiewicza ma postać CKKCpqCrsAprAqs.
Rachunek zdań
Funkcje logiczne ze względu na wartości, jakie
mogą przyjmować dzielimy na:
• funkcje tautologiczne, czyli takie, które dla
kaŜdego podstawienia wartości zmiennych
zawsze dają zdanie prawdziwe,
• funkcje kontrtautologiczne, zwane inaczej
fałszami logicznymi, które charakteryzują się
tym, Ŝe dla kaŜdego podstawienia wartości
zmiennych dają zdanie fałszywe,
Rachunek zdań
• funkcje spełnialne, to są takie, które przy
niektórych
wartościach
logicznych
ich
argumentów stają się zdaniami prawdziwymi,
przy innych zaś – zdaniami fałszywymi.
Przedmiotem
naszego
szczególnego
zainteresowania będą funkcje tautologiczne,
jako schematy rozumowań o niezawodnym
charakterze.