Szeregi - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka

Szeregi liczbowe.
Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
wykład z MATEMATYKI
Automatyka i robotyka
studia niestacjonarne
sem. II, rok ak. 2009/2010
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Szeregi liczbowe
Definicja 1.1. Niech (an ) będzie ciągiem liczbowym. SZEREGIEM liczbowym o wyrazach an nazywamy wyrażenie postaci
a1 + a2 + a3 + · · · =
∞
X
an .
n=1
Definicja 1.2. Sumy
S1 = a1
S2 = a1 + a2
..
.
Sn = a1 + a2 + · · · + an
nazywamy sumami częściowymi szeregu
∞
X
an .
n=1
Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a sumę
def
Sn = a1 + a2 + · · · + an
nazywamy n-tą sumą częściową szeregu
∞
X
an . Ciąg (Sn ) będziemy nazywać ciągiem sum częściowych
n=1
powstałych z ciągu (an ).
Przykład 1.3. Weźmy następujący szereg
∞ X
1
n=1
n
−
1
1
. Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego
n+1
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
szeregu
S1 =
1
2
S2 = 1 −
1 1 1
2
+ − =
2 2 3
3
Sn = 1 −
1 1 1
1
1
1
+ − + ... + −
=1−
.
2 2 3
n n+1
n+1
..
.
Definicja 1.4. Szereg liczbowy
∞
X
an nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych (Sn ) jest
n=1
ciągiem zbieżnym (ma granicę skończoną), tzn. lim Sn = S.
n→+∞
Liczbę S nazywamy sumą tego szeregu, tzn.
∞
X
n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · · = S .
Jeżeli ciąg sum częściowych (Sn ) jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą +∞ lub −∞ albo nie ma
granicy) to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Definicja 1.5. n-tą reszta szeregu zbieżnego
∞
X
an nazywamy liczbę
n=1
∞
X
def
Rn =
ak
k=n+1
Uwaga 1. Zmiana skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność.
Jeżeli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbieżny albo rozbieżny do +∞.
Przykład 1.6. Rozważmy szereg
∞ X
1
n=1
1
−
n n+1
(1)
Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać
Sn = 1 −
Ponieważ lim Sn = lim
n→∞
n→∞
1 1 1
1
1
1
+ − + ... + −
=1−
.
2 2 3
n n+1
n+1
1
1−
n+1
Przykład 1.7. Rozważmy szereg
= 1, więc
∞ X
1
1
−
n n+1
n=1
∞
X
1
n=1
Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać
Sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n .
Ponieważ lim Sn = lim n = +∞, więc szereg (2) jest rozbieżny.
n→∞
n→∞
2
= 1, czyli szereg (1) jest zbieżny.
(2)
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
MATEMATYKA - wykład
studia niestacjonarne
Twierdzenie 1.8 (Warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych). Jeżeli szereg liczbowy
∞
X
an jest
n=1
zbieżny, to
lim an = 0 .
n→∞
Uwaga 2. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony, tzn. lim an 6= 0 albo lim an nie istnieje, to
szereg
∞
X
n→∞
n→∞
an jest rozbieżny.
n=1
Jeżeli warunek konieczny jest spełniony, to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.
Przykład 1.9. Rozważmy szereg
∞
X
n
.
2n
+1
n=1
(3)
n
1
= , więc warunek konieczny nie jest spełniony, zatem szereg (3) jest rozbieżny.
n→∞ 2n + 1
2
Wówczas lim
Przykład 1.10. Rozważmy szereg
∞
X
1
√ .
n
n=1
(4)
1
Ponieważ lim √ = 0, więc warunek konieczny jest spełniony, ALE n-ta suma częściowa szeregu (4) ma
n→∞
n
postać
√
1
1
1
1
1
1
1
Sn = 1 + √ + √ + · · · + √ > √ + √ + · · · + √ = n · √ = n .
n
n
n
n
n
2
3
Wówczas lim Sn = +∞, więc szereg (3) jest rozbieżny.
n→∞
1.1
Szereg geometryczny
Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci
∞
X
a1 q n−1 .
(5)
n=1
Szereg geometryczny jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q.
1.1.1
Zbieżność szeregu geometrycznego
∞
X
a1 q n−1
n=1
Jeżeli a
1
= 0, to szereg
∞
X
a1 q n−1 jest zbieżny i ma sumę równą 0.
n=1
Jeżeli a
6= 0 i |q| > 1, to szereg
Jeżeli a
6= 0 i |q| < 1, to szereg
1
1
∞
X
a1 q n−1 jest rozbieżny.
n=1
∞
X
n=1
a1 q n−1 jest zbieżny i Sn = a1 +a1 q+a1 q 2 · · ·+a1 q n−1 = a1
1 − q n gdy |q|<1 a1
Wtedy lim Sn = lim a1
=====
.
n→∞
n→∞
1−q
1−q
3
1 − qn
.
1−q
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
1.2
MATEMATYKA - wykład
studia niestacjonarne
Szereg harmoniczny
Szereg harmoniczny to szereg postaci
∞
X
1
n
n=1
(6)
.
Szereg harmoniczny rzędu p (szereg Dirichleta) to szereg postaci
∞
X
1
n=1
np
(7)
.
Twierdzenie 1.11. Szereg harmoniczny rzędu p > 1 jest zbieżny.
Twierdzenie 1.12. Szereg harmoniczny rzędu p 6 1 jest rozbieżny.
1.3
Kryteria zbieżności/rozbieżności szeregów liczbowych
Twierdzenie 1.13 (Kryterium całkowe). Niech funkcja f : hn0 , +∞) → h0, +∞) będzie nierosnąca, gdzie
n0 ∈ N.
Wówczas
szereg
∞
X
n=n0
szereg
∞
X
n=n0
f (n) jest zbieżny ⇔ całka
f (n) jest rozbieżny do +∞ ⇔ całka
def
Uwaga 3. Reszta tego szeregu, to jest wyrażenie Rn =
Z∞
f (x)dx jest zbieżna.
Z∞
f (x)dx jest rozbieżna do +∞.
n0
n0
∞
X
f (i), spełnia oszacowanie:
i=n+1
Z∞
f (x)dx 6 Rn 6
Z∞
f (x)dx .
n
n+1
Twierdzenie 1.14 (Kryterium porównawcze zbieżności szeregów). Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe
∞
X
an ,
n=1
∞
X
bn i szereg
n=1
∞
X
n=1
bn jest zbieżny oraz od pewnego miejsca n0 dla każdego n ∈ N, takiego że n > n0
spełniona jest nierówność
0 6 an 6 bn ,
to szereg
∞
X
an również jest zbieżny.
n=1
Twierdzenie 1.15 (Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów). Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe
∞
X
n=1
an ,
∞
X
bn i szereg
n=1
∞
X
n=1
an jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca n0 dla każdego n ∈ N, takiego że
n > n0 spełniona jest nierówność
0 6 an 6 bn ,
to szereg
∞
X
bn również jest rozbieżny.
n=1
4
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Twierdzenie 1.16 (Kryterium d’Alemberta). Niech
jest zbieżny, jeżeli g < 1.
jest rozbieżny, jeżeli g > 1.
an+1 lim = g . Wtedy szereg
n→∞ an ∞
X
an
n=1
W przypadku, kiedy g = 1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej
informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu.
Twierdzenie 1.17 (Kryterium Cauchye’go). Niech
jest zbieżny, jeżeli g < 1.
jest rozbieżny, jeżeli g > 1.
lim
n→∞
q
n
|an | = g . Wtedy szereg liczbowy
∞
X
an
n=1
Jeżeli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności.
1.4
Szeregi naprzemienne
Szereg liczbowy postaci
∞
X
(−1)n an ,
(8)
n=1
gdzie dla każdego n ∈ N an > 0 nazywamy naprzemiennym.
∞
X
(−1)n+1
1
1
1
+ − + · · · . jest przykładem szeregu naprzen
2
3
4
n=1
miennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym.
Przykład 1.18. Szereg postaci
= 1−
Twierdzenie 1.19 (Kryterium Leibniza). Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny
∞
X
(−1)n an , taki że
n=1
spełnione są warunki:
ciąg (a ) jest nierosnący,
lim a = 0,
n
n→∞
n
to szereg jest zbieżny.
Uwaga 4. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmoniczny
∞
X
(−1)n+1
n=1
n
=1−
1 1 1
+ − + ··· .
2 3 4
1
jest zbieżny ponieważ ciąg an = jest ciągiem malejącym dążącym do zera.
n
1.5
Zbieżność bezwzględna szeregów
Definicja 1.20. Szereg liczbowy
(bezwzględnych wartości)
∞
X
n=1
∞
X
an nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg
n=1
|an | jest zbieżny.
Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym.
Twierdzenie 1.21. Jeżeli szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest on zbieżny.
5
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
2
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Szeregi potęgowe
Definicja 2.1. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R nazywamy szereg postaci:
∞
X
n=0
cn (x − x0 )n ,
gdzie x ∈ R oraz cn ∈ R dla n = 0, 1, 2, . . .
def
Przyjmujemy, że 00 = 1. Liczby cn nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego.
2.1
Promień zbieżności szeregu potęgowego
Twierdzenie 2.2. Dla każdego szeregu potęgowego
∞
X
n=0
h0, +∞) o własności:
jeżeli |x − x | < R, to szereg c
jeżeli |x − x | > R, to szereg X c
∞
X
0
n (x
− x0 )n jest zbieżny bezwzględnie,
n (x
− x0 )n jest rozbieżny.
n=0
∞
0
cn (x − x0 )n istnieje dokładnie jedna liczba R ∈
n=0
Definicja 2.3. Liczbę R, której istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie nazywamy promieniem zbieżności
∞
X
szeregu potęgowego
n=0
cn (x − x0 )n .
Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć za pomocą wzoru:
1
R = lim p
n→∞ n |cn |
cn
R = lim n→∞ c
lub
n+1
o ile granice w tych wzorach istnieją.
Gdy lim |c | = ∞, to R = 0.
q
Gdy lim |c | = 0, to R = ∞.
q
,
n
n→∞
n
n
n
n→∞
Przykład 2.4.
Szereg
3
R= .
5
Szereg
Szereg
∞ n
X
5
n=0
3
(x + 5)n jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = −5 i promieniu
∞
X
(6 − 3x)n
n=0
3n + 2n
∞
X
(−x)n
n=0
n!
jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = 2 i promieniu R = 1.
jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = 0 i promieniu R = ∞.
Twierdzenie 2.5 (Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda). Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbieżności
szeregu potęgowego
∞
X
cn (x − x0 )n . Wtedy szereg ten jest:
zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x − R, x + R),
rozbieżny w każdym punkcie zbioru (−∞, x − R) ∪ (x + R, +∞).
n=0
0
0
0
0
6
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Uwaga 5. W punktach x0 − R i x0 + R szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny.
Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie x0 .
Gdy R = ∞, to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej.
Definicja 2.6. Zbiór tych x ∈ R, dla których szereg potęgowy
∞
X
n=0
cn (x − x0 )n
jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu.
Uwaga 6. Z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda wynika, że przedział zbieżności szeregu potęgowego może
mieć jedną z postaci:
(x0 − R, x0 + R)
x0 − R
x0
hx0 − R, x0 + R)
x0 + R
x0 − R
(x0 − R, x0 + Ri
x0 − R
x0
x0
x0 + R
hx0 − R, x0 + Ri
x0 + R
x0 − R
{x0 }
x0
x0 + R
(−∞, +∞)
R = 0 x0
R=∞
x0
Przykład 2.7.
Dla szeregu
Dla szeregu
Dla szeregu
2.2
∞
X
1
n
n=1
∞
X
(x − 2)n mamy R = 1 i przedział zbieżności h1, 3) .
(−1)n
n=2
∞
X
(−1)n
n=2
xn
mamy R = 1 i przedział zbieżności h−1, 1i .
n ln2 n
x2n
mamy R = ∞ i przedział zbieżności (−∞, +∞) = R .
(2n)!
Szereg Taylora i Maclaurina
Definicja 2.8. Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
∞
X
f (n) (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n = f (x0 )+
f ′ (x0 )
f ′′ (x0 )
(x − x0 )+
(x − x0 )2 +. . .
1!
2!
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0 .
Jeżeli x0 = 0, to szereg
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
xn nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f .
7
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Uwaga 7. Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji nie wynika, że jego suma jest równa funkcji f .
Na przykład dla funkcji

1

e− x2 ,
f (x) =
x 6= 0

0,
mamy f (n) (0) = 0, dla n = 0, 1, 2, 3, . . ., i f (x) 6=
x=0
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
xn ≡ 0.
Twierdzenie 2.9 (Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora). Jeżeli
funkcja f ma na otoczeniu O punktu x pochodne dowolnego rzędu,
dla każdego x ∈ O spełniony jest warunek lim R (x) = 0, gdzie R (x) = f(n + 1)!(ξ) (x − x )
0
(n+1)
n→∞
n
n
0
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f , przy czym ξ = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1,
to
f (x) =
∞
X
f (n) (x0 )
n!
n=0
(x − x0 )n ,
dla każdego x ∈ O.
Twierdzenie 2.10 (Twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy). Jeżeli
f (x) =
∞
X
n=0
cn (x − x0 )n ,
dla każdego x z pewnego otoczenia punktu x0 , to
cn =
f (n) (x0 )
,
n!
dla n = 0, 1, 2, . . .
Przykład 2.11. Dla funkcji f (x) =
1
mamy f (1) = 1 oraz
x
1
x2
2
f ′′ (x) = 3
x
6
′′′
f (x) = − 4
x
24
f (4) (x) = 5
x
f ′ (x) = −
f (n) (x) = (−1)n
⇒ f ′ (1) = −1
⇒ f ′′ (1) = 2
⇒ f ′′′ (1) = −3!
⇒ f (4) (1) = 4!
..
.
n!
xn+1
⇒ f (n) (1) = (−1)n n!
Wówczas
∞
∞
X
X
1
=
(−1)n (x − 1)n =
(1 − x)n , dla 0 < x < 2.
x n=0
n=0
8
n+1
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
2.3
MATEMATYKA - wykład
studia niestacjonarne
Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych
∞
X
1
=
xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . , dla |x| < 1.
1 − x n=0
∞
X
xn
x
e =
n=0
sin x =
x2 x3
+
+ . . . , dla x ∈ R.
2
3!
∞
X
x3 x5 x7
(−1)n 2n+1
x
=x −
+
−
+ . . . , x ∈ R.
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
cos x =
∞
X
(−1)n
(2n)!
n=0
∞
X
(−1)n
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n
n=0
(2n + 1)
x2n = 1 −
x2 x4 x6
+
−
+ . . . , x ∈ R.
2
4!
6!
xn+1 = x −
x2 x3 x4
+
−
+ . . . , −1 < x 6 1.
2
3
4
x2n+1 = x −
x3 x5 x7
+
−
+ . . . , −1 < x 6 1.
3
5
7
(n + 1)
n=0
arc tg x =
n!
= 1+x+
∞
X
x2n+1
x3 x5 x7
=x +
+
+
+ . . . , x ∈ R.
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
sinh x =
cosh x =
∞
X
x2n
n=0
(2n)!
=1+
x2 x4 x6
+
+
+ . . . , x ∈ R.
2
4!
6!
Twierdzenie 2.12 (Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego). Niech 0 < R 6 ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
∞
X
n=0
cn (x − x0 )n . Wtedy:
n
cn (x − x0 )
!′
=
∞
X
n=1
ncn (x − x0 )n−1
dla każdego x ∈ (x0 − R, x0 + R).
Twierdzenie 2.13 (Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego). Niech 0 < R 6 ∞ będzie promieniem
zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
Zx
x0
cn (x − x0 )n . Wtedy:
∞
X
n=0
!
cn (t − x0 )n dt =
dla każdego x ∈ (x0 − R, x0 + R).
9
∞
X
cn
(x − x0 )n+1
n
+
1
n=0
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
2.3.1
Sumy ważniejszych szeregów potęgowych
∞
X
xn =
n=0
∞
X
nxn =
n=1
∞
X
1
, dla |x| < 1.
1−x
x
, dla |x| < 1.
(1 − x)2
n2 xn−1 =
n=1
∞
X
xn
n=0
2.4
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
n
1+x
, dla |x| < 1.
(1 − x)3
= − ln(1 − x) , dla −1 6 x < 1.
Aproksymacja funkcji przez wielomian
Wzór
f (x) == f (x0 )+
f ′ (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )+. . . +
(x − x0 )n + Rn (x) ,
1!
n!
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 <– n-ta reszta we wzorze Taylora dla funkcji f , przy czym ξ =
(n + 1)!
x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1, pozwala przedstawić w sposób przybliżony (aproksymować) funkcję f za
gdzie Rn (x) =
pomocą wielomianu (zwanego wielomianem Taylora)
f (x) ≈ f (x0 )+
f ′ (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )+. . . +
(x − x0 )n .
1!
n!
Przykład 2.14. Niech f (x) = ex . Wówczas
ex ≈ 1 + x +
x2 x3
xn
+
+ ... +
.
2
3!
n!
y
y
y=
ex
y
y=
y =1+x
y = ex
y =1+x+
x
(a) n = 1
ex
x2
2
y =1+x+
x
(b) n = 2
10
x
(c) n = 3
x2 x3
+
2
6
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
3
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Szeregi trygonometryczne
Wprowadzenie
Przypomnijmy, że funkcję f : R → R nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba T > 0 taka, że dla
wszystkich x ∈ R mamy x + T ∈ R oraz f (x + T ) = f (x) .
Przykład 3.1 (Przykłady funkcji okresowych).
Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus i cosinus.
y
1
−3π
2
−π
2
−π
π
2
−1
x
3π
2
π
Innym przykładem funkcji okresowej jest mantysa, czyli funkcja m(x) = x − [x].
y
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
Funkcję okresową możemy także otrzymać, biorąc na przykład następującą sumę:
f (x) = sin x +
1
1
sin(2x) + sin(3x) .
2
2
y
1
−3π
−2π
−π
π
2π
x
3π
−1
Można zatem zadać sobie pytanie:
Czy biorąc dowolną funkcję okresowa, możemy ją przedstawić w postaci takiej sumy
jak powyżej?
Okazuje się, że jest to możliwe dla dużej ilości funkcji, jeśli zamiast sum skończonych będziemy rozważać
sumy nieskończone, czyli szeregi.
11
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Definicja 3.2. Szeregiem trygonometrycznym na przedziale h−l, li nazywamy szereg postaci
∞
nπx
nπx
a0 X
+
an cos
+ bn sin
2
l
l
n=1
,
gdzie a0 ∈ R, an , bn ∈ R dla n ∈ N, l jest pewną liczbą dodatnią.
Definicja 3.3. Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale h−l, li.
Szeregiem trygonometrycznym Fouriera nazywamy szereg trygonometryczny
∞
a0 X
nπx
nπx
+
an cos
+ bn sin
2
l
l
n=1
,
gdzie
1
an =
l
Zl
f (x) cos
−l
nπx
dx ,
l
n = 0, 1, 2, . . .
oraz
1
bn =
l
Zl
f (x) sin
−l
nπx
dx ,
l
n = 1, 2, . . .
Piszemy symbolicznie
∞
a0 X
nπx
nπx
+
+ bn sin
f (x) ∼
an cos
2
l
l
n=1
.
Definicja 3.4. Funkcję f , ograniczoną w przedziale (a, b), nazywamy przedziałami monotoniczną
w tym przedziale, jeżeli przedział (a, b) można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów wewnątrz
których funkcja f jest monotoniczna.
Definicja 3.5. Mówimy, że funkcja f spełnia na przedziale ha, bi warunki Dirichleta, jeżeli
① f jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a, b),
② f jest ciągła w przedziale (a, b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości x0 ,
takich że
1
f (x0 ) =
2
!
lim f (x) + lim+ f (x)
x→x−
0
x→x0
③ w końcach przedziału (a, b) spełnione są równości
f (a) = f (b) =
1
2
lim f (x) + lim f (x)
x→b−
x→a+
Powyższe warunki nazywamy odpowiednio: pierwszym, drugim i trzecim warunkiem Dirichleta.
Twierdzenie 3.6 (Dirichleta). Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale h−l, li warunki Dirichleta, to jest
rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera
f (x) =
∞
a0 X
nπx
nπx
+
an cos
+ bn sin
2
l
l
n=1
dla każdego x ∈ h−l, li.
,
(9)
Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2l, to równość (9) jest prawdziwa dla każdego x z
dziedziny tej funkcji.
12
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
MATEMATYKA - wykład
studia niestacjonarne
Twierdzenie 3.7. Jeżeli funkcja f jest parzysta, to
bn = 0 , n = 1, 2, . . .
oraz
2
a0 =
l
Zl
f (x)dx
i
0
2
an =
l
Zl
f (x) cos
0
nπx
dx , n = 1, 2, . . .
l
Wówczas rozwinięcie (9) dla funkcji parzystej przyjmuje postać
∞
a0 X
nπx
f (x) =
+
an cos
.
2
l
n=1
(10)
Twierdzenie 3.8. Jeżeli funkcja f jest nieparzysta, to
an = 0 , n = 0, 1, 2, . . .
oraz
2
bn =
l
Zl
f (x) sin
0
nπx
dx , n = 1, 2, . . .
l
Wówczas rozwinięcie (9) dla funkcji nieparzystej przyjmuje postać
f (x) =
∞
X
bn sin
n=1
3.1
nπx
.
l
(11)
Zagadnienie rozwijania funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera sinusów lub
kosinusów
Rozważmy funkcję f , która jest określona i spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w przedziale
otwartym (0, l). Funkcję tę można przedstawić w przedziale (0, l) w postaci szeregu trygonometrycznego
Fouriera składającego się z samych sinusów – (11), albo samych kosinusów – (10).
Rozpatrzmy funkcję pomocniczą f ∗ , określoną na przedziale h−l, li nazywaną przedłużeniem funkcji f .
Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg sinusów (11) należy przedłużyć funkcję f w sposób nieparzysty.
f ∗ (x) =



0,








−f (−x),



0,






f (x),






0,
dla x = −l
dla −l < x < 0
dla x = 0
dla 0 < x < l
dla x = l
13
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg kosinusów (11) należy przedłużyć funkcję f w sposób parzysty.
f ∗ (x) =




lim f (x),


x→l−






f (−x),



0,






f (x),







 lim f (x),
x→l−
Przykład 3.9. Niech f (x) =




−1,



0,






1,
dla x = −l
dla −l < x < 0
dla x = 0
dla 0 < x < l
dla x = l
dla −π < x < 0
dla x ∈ {−π, 0, π} . Wówczas
dla 0 < x < π
f (x) =
∞
X
2(1 − (−1)n )
πn
n=1
y
sin nx .
y
x
x
(d) n = 1
(e) n = 3
y
y
x
x
(f) n = 5
(g) n = 7
14
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Przykład 3.10. Niech f (x) = |x|, dla x ∈ h−π, πi. Wówczas
f (x) =
∞
π X
(−1)n − 1
+
2
cos nx .
2 n=1
πn2
y
y
y = |x|
y = |x|
x
x
(h) n = 1
(i) n = 3
y
y
y = |x|
y = |x|
x
x
(j) n = 5
(k) n = 7
15
Automatyka i robotyka, sem. II
rok akademicki 2009/2010
Przykład 3.11. Niech f (x) =
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład




π,



π
2,






dla −π < x 6 0
. Wówczas
dla x = ±π
π − x, dla 0 < x < π
f (x) =
∞
X
3
1 − (−1)n
(−1)n
π+
sin nx
cos nx +
2
4
πn
n
n=1
.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
x
x
(l) n = 1
(m) n = 2
y
y
y = f (x)
y = f (x)
x
x
(n) n = 3
(o) n = 4
y
y = f (x)
x
(p) n = 5
16