Dowód Eulera na isnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych

Marcin Bedner
[email protected]
Dowód Eulera
Wprowadzenie
Pokaże tu bardzo zwięźle jeden z najciekawszych dowodów na istnienie nieskończenie wielu liczb
pierwszych–dowód Eulera. Dowód ten, jest niebezpodstawnie uważany za jedno z podstawowych zagadnienień z teorii liczb. Łączy on teorie liczb z szeregami w bardzo nieoczekiwany sposób.
1o Weźmy na początek dwie liczby pierwsze p, q ∈ P . Stworzymy teraz dwa szeregi geometryczne:
Sp = 1 +
1
1
+ 2 + ...
p p
Sq = 1 +
1
1
+ 2 + ...
q
q
Dalej:
Sp = p
1
1
+ 2 + ... = p(Sp − 1)
p p
Sp =
1
1−
1
p
Sq =
1
1−
1
q
Analogicznie:
2o Teraz rozważmy iloczyn Sp Sq (z iloczynu Cauche’go):
Sp Sq =
n
m
X
1 X 1
1 1
1
1
1
=1+ + + 2 +
+ 2 + ...
m,n→∞
pk i=0 q i
p q
p
pq
q
lim
k=0
Teraz z sumy szeregu geometrycznego:
Sp Sq =
1
1−
1
p
1
1−
1
q
Teraz zauważamy, że wszystkie liczby, których rozkład na czynniki pierwsze składa sie tylko z p, q ∈ P
znajdują sie w mianowniku jednego z wyrazów naszego iloczynu Sp Sq .
3o Teraz przejdziemy do samego serca naszego dowodu, mianowicie załóżmy, że jest skończenie wiele liczb
pierwszych p1 , p2 , ..., pn ∈ P więć z 2o i jednoznaczności rozkładu liczby na liczby pierwsze:
X
n
n ∞
Y
Y
1
1
S=
Sk =
=
1
i
1 − pk
i=1
k=1
k=1
4o Wiadomo, z sumy szeregu geometrycznego, że każde Sk jest skończoną liczbą więc, ich iloczyn jest również liczbą skończoną, co z drugiej strony jest sprzeczne z robieżnością szeregu harmonicznego, którą zaraz
udowodnimy.
1
5o Ponieważ:
n
m
X
X
1
lim
= 1 + lim
n→∞
m→∞
k
k=1
k+1
2X
k=0 i=2k +1
1
i
Teraz zauważamy, że:
k+1
2X
k+1
i=2k +1
Więc:
2X
1
1
2k
1
>
= k+1 =
k+1
i
2
2
2
k
i=2 +1
n
m
X
X
1
1
> 1 + lim
→∞
n→∞
m→∞
k
2
lim
k=1
k=0
Z czego bezpośrednio wynika rozbieżność szeregu harmonicznego, co kończy dowód.
2