1220500

MATERIAŁY DO ĆWICZEŃ Z MATEMATYKI
MACIERZE I WYZNACZNIKI
1.Dane są macierze:
⎡1 − 2 ⎤
A=⎢
⎥
⎣2 2 ⎦
⎡0 1⎤
B=⎢
⎥
⎣1 1⎦
⎡ 1 1 1⎤
D = ⎢⎢− 1 2 0⎥⎥
⎣⎢ 0 1 1⎥⎦
⎡1 2 3⎤
C=⎢
⎥
⎣2 3 1⎦
⎡ 2 − 1 3⎤
E = ⎢⎢3 0 2⎥⎥
⎣⎢5 1 1 ⎥⎦
Sprawdzić czy wykonalne są działania?
a) 3 A + B
T
b) EC
c) ( A + D ) B
e) C ( A + B)
2
f) A C
2
g) AB
T
d) ( A − B)C
h) A + C
T
i) (D − E )C
j) CDE
3
k) B A
T
2
2.Wykonać mnożenie macierzy:
⎡ 2⎤
⎢1⎥[1 2 3]
⎢ ⎥
⎢ 3⎥
b) ⎣ ⎦
⎡1 ⎤
⎡3 2 1 ⎤ ⎢ ⎥
⎢0 1 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎦ ⎢ 3⎥
⎣
⎣ ⎦
a)
2
⎡ 1 2 3⎤
⎢ 4 3 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 2 0 2⎥⎦
⎡ − 1 − 2⎤
⎡1 2 0 ⎤ ⎢
1 ⎥⎥
⎢0 1 − 1⎥ ⎢ 1
⎣
⎦⎢ 1
0 ⎥⎦
⎣
d)
⎡3
⎢2
⎢
⎢1
⎢
e) ⎣0
⎡4 3⎤ ⎡1 2⎤
⎢
⎥⎢
⎥
f) ⎣2 1⎦ ⎣3 4⎦
c)
0⎤
1⎥⎥ ⎡0 1 2 3⎤
2⎥ ⎢⎣3 2 1 0⎥⎦
⎥
3⎦
⎡ 1 − 2⎤
⎡1 − 2 3 ⎤ ⎢
1 ⎥⎥
⎢0 2 − 1⎥ ⎢ 2
⎣
⎦ ⎢− 1 3 ⎥
⎣
⎦
g)
⎡ 1 − 2⎤
⎡1 − 2 3 ⎤
⎢2
2 ⎥⎥ ⎢
⎢
0 2 − 1⎥⎦
⎢⎣− 1 3 ⎥⎦ ⎣
h)
⎡ 1 2⎤
⎢
⎥
i) ⎣− 1 0⎦
3
2
⎡1 − 2⎤ ⎡ 1 2 3⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
j) ⎣0 − 1⎦ ⎣− 1 0 1⎦
3.Obliczyć wyrażenie:
⎡ ⎡2 1
2
⎢⎢
⎢ ⎢1 − 1 2
⎢ ⎢0 0 1
⎢⎢
⎢⎣ ⎣4 2 − 1
2
3
0
0⎤ ⎤
1 ⎤ ⎡− 1 1
⎥
0 ⎥⎥ ⎥
0⎥⎥ ⎢⎢ 0 − 1 1
−
0 − 1 − 1⎥ ⎥
2⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
⎥ ⎥
0 − 1⎦ ⎥
1 ⎦ ⎣− 1 0
⎦
T
4.Dane są macierze:
⎡2 − 1⎤
⎢3 0 ⎥
⎥
A=⎢
⎢2 1 ⎥
⎢
⎥
⎣2 4 ⎦
⎡ 1 1⎤
B = ⎢⎢ 2 2⎥⎥
⎢⎣− 3 5⎥⎦
⎡ 1 1 1 1⎤
C=⎢
⎥
⎣ − 5 2 1 0⎦
Czy określone są następujące iloczyny:
a) CAB
T
T T
c) BA C
b) ABC
Przykład 1.
Dane są macierze:
⎡ 1 2⎤
A=⎢
⎥
⎣− 1 1⎦
⎡1 − 1⎤
C = ⎢⎢1 2 ⎥⎥
⎢⎣0 1 ⎥⎦
⎡1 0 − 1⎤
B=⎢
⎥
⎣3 2 1 ⎦
Oblicz wartość wyrażenia: [2 A ]
2 T
⎡ 1 2⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡ − 1 4 ⎤
A2 = ⎢
⎥⎢
⎥=⎢
⎥
⎣− 1 1⎦ ⎣− 1 1⎦ ⎣− 2 − 1⎦
− 3BC
⎡ − 1 4 ⎤ ⎡− 2 8 ⎤
2 A2 = 2 ⎢
⎥=⎢
⎥
⎣− 2 − 1⎦ ⎣− 4 − 2⎦
[2 A ]
2 T
⎡ − 2 − 4⎤
=⎢
⎥
⎣ 8 − 2⎦
⎡1 − 1⎤
⎡1 0 − 1⎤ ⎢
⎥ = ⎡1 − 2⎤
BC = ⎢
1
2
⎥
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎣3 2 1 ⎦ ⎢0 1 ⎥ ⎣5 2 ⎦
⎣
⎦
⎡1 − 2⎤ ⎡ 3 − 6⎤
3BC = 3⎢
⎥=⎢
⎥
⎣5 2 ⎦ ⎣15 3 ⎦
[2 A ]
2 T
⎡ − 2 − 4 ⎤ ⎡ 3 − 6⎤ ⎡ − 5 2 ⎤
− 3BC = ⎢
⎥−⎢
⎥=⎢
⎥
⎣ 8 − 2⎦ ⎣15 3 ⎦ ⎣− 7 − 5⎦
5.Niech dane są macierze:
⎡1 2⎤
A=⎢
⎥
⎣3 5⎦
⎡− 2 1⎤
B=⎢
⎥
⎣ 1 0⎦
Obliczyć wartość wyrażenia:
2 A2 − 3 AB + 4 B 3
6.Znaleźć f(A), jeżeli:
2
a) f ( X ) = X + 2 X + I
2
b) f ( X ) = 2 X − 5 X + 5I
Przykład 2.
⎡ 2 1 1⎤
A = ⎢⎢ 3 − 1 0⎥⎥
⎢⎣− 1 2 1⎥⎦
⎡0 3 1 ⎤
A = ⎢⎢2 1 2 ⎥⎥
⎢⎣1 1 − 1⎥⎦
Obliczyć wartości wyznaczników:
−1 2
−3 1
− 3 −1
a) 2 2
b)
3
0
2 −1
2
−1
−2
2
c) 3
0
3
0
2
1
0
1
1
0
1
1
0
− 3 −1
ad a) 2 2 = -6+2= -4
ad b)
−1 2 3
−3 1 0
2 2 −1
−1
2
3
−3
1
0
−1
−2
2
ad c) 3
0
3
0
2
(-1)
3 0 1
0 1 1
2 1 0
3 0 1
0 1 1
1
0
1
1
+
= 1-18+0-6-0-6= -29
0
3 0 1
−2 3 1
1
0 1 1
2 0 1
1
0 = (-1) D11 +(1) D13 =(-1)(-1)² 2 1 0 +(1)(-1) 4 3 2 0 =
−2 3 1
2 0 1
3 2 0
−2 3 1
2 0 1
= -(0+0+0-2-3-0)+(0+4+9-0+4-0)= 5+17=22
Przykład 3.
Korzystając z własności wyznaczników obliczyć:
2 −1
−1 2
det A =
4 0
2 2
a)
1
3
0
5
1
2 −1 1
2
1
det A = 1 − 4 1 − 3 0
2
2
1
−1 1
2 − 5 −1 − 5 −1
b)
0 3
1 1
2 −1
1 1
ad a)
2 −1
−1 2
det A =
4 0
2 2
0 3
1 1
2 −1
1 1
Dodając do wiersza trzeciego wiersz drugi pomnożony przez (-2), a do czwartego
wiersz drugi pomnożony przez (-1)
2 −1 0 3
−1 2 1 1
det A =
6 −4 0 −3
3
0 0 0
Z rozwinięcia Laplace`a dla kolumny trzeciej
2 −1 3
det A = 1 ⋅ D23 = 1 ⋅ (−1) 6 − 4 − 3
5
3
0
0
Pisząc rozwinięcie wyznacznika dla wiersza trzeciego
det A = −3 ⋅ D31 = (−3)(−1) 4
ad b)
−1 3
= −3(3 + 12) = −45
−4 −3
1
3
0
5
1
2 −1 1
2
1
det A = 1 − 4 1 − 3 0
2
2
1
−1 1
2 − 5 −1 − 5 −1
Dodając wiersz pierwszy pomnożony przez (-1) kolejno do wiersza drugiego i
czwartego, a następnie dodając wiersz pierwszy do piątego
1
1
det A = 1
−2
3
3
0
5 1
−4 1 −3 0
−4 1 −3 0
−2 2 −3 0
− 2 −1 0 0
Wiersze – drugi i trzeci są jednakowe, zatem:
det A = 0
7.Oblicz wartości wyznaczników:
a)
d)
2 −3
b) 1 − 5
−2
1 3 4
3 2 1
1 −4 5
1
3
5
g) 2
3
0
1
0
4
0
2
0
e)
5
2
7
3
0 −1
c) 5 0
2 1 −1
5 −1 2
1 2 1
0
2
0
h) 3
1
0
1
2
2
2
0
1
3
5
1
2
0
8
7
f) 0
5
2
−3
i) 4
5
3
2
4
0
4
1
0
2
5
4
1
3 −1
0 4
6 2
0 −5
2
3
0
2
1
2
3
j) 4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
5
1
0
0
ł) 0
6
5
1
0
0
0
6
5
1
0
0
0
6
5
1
2 3
4 −1
3 −1 1
2
1 1 −5 1
k) 2 − 3 − 4 − 3
1
3
1
l) 1
2
0
1
0
1 3
1 −2
2 1
4 1
0
0
0
6
5
8.Korzystając z własności wyznaczników oraz z rozwinięcia Laplace`a obliczyć
wartości wyznaczników:
1 3
0 1
0 −4 −2 5
2 0 − 1 17
a) 6 0 8 3
−3 4 5
−1 2 1
− 7 10 11
1
1 −1
−4 6 6
2
−1
3
2
c) 1
3
1
0
0
e) 0
4
3
1
0
0
0
4
3
1
0
0
0
4
3
1
0
0
0
4
3
1
1
3
3
2
1
1
1
1
b) 1
1
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
5
7
9
7
5
0
d) 0
6
7
4
3
0
0
5
8
9
6
5
6
4
9
7
1
6
8
4
3
0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
9.Wykorzystując własności wyznaczników obliczyć:
201 50
a) 281 70
c)
7777 574
b) 1110 81
81
27 − 63
80
25 − 60
− 79 − 24 59
sin x + sin y cos y + cos x
d) cos y − cos x sin x − sin y
1
1− x
1 + x2
1 + x2
e) 2 x
2
2x
1 + x2
1 + x2
1 − x2
a
b
c
b
c
a+b
1
2
f)
c
a
b+c
2
a
b
c+a
2
sin 2 x
cos 2 x 1
1
1
a b+c d
b c+a d
sin 2 y cos 2 y 1
g) c a + b d
h)
sin 2 z
cos 2 z 1
10.Rozwiązać równania:
a)
0 1 1
1
1 0 x =0
x 1
1 x 1
(1 + x )
c)
1
1
1
1
(1 − x )
1
1
b)
1
1
(1 + x )
1
1
1
=0
1
(1 − x )
x
x
x
x =0
x 1
1
(x + 1)
1
d) 1
2
2
(3 + x )
−3
3
(x + 3)
(4 + x )
−4
4
4
=0
(5 + x )
−5
11.Rozwiązać nierówności
a)
3x − 5 x − 2
x−3
2 x+2
−1
2x + 1
x −1
x+2 >0
1
1
−2 > 0
3x + 1
x − 1 2x + 2
5
−3
b)
x
12.Nie obliczając występujących w nich wyznaczników wykazać równości:
a)
0
−a
−a
0
b
−c
b
1 a a2
0 a b
1 b b 2 = b ca 1
−c = a 0 c
0
b c 0
a bc 1
b)
1 c
c2
c
ab 1
Przykład 4.
Wykorzystując poznane metody wyznaczyć macierze odwrotne do poniższych:
⎡1 2 − 3 ⎤
A = ⎢⎢2 1 − 2⎥⎥
⎢⎣2 − 1 0 ⎥⎦
a)
1
2
2
1
−3
−2
ad a) 2 − 1 0 =0+6-8+6-2-0=2
1 2 −3
2 1 −2
A−1 =
1
DT
det A
⎡ − 2 − 4 − 4⎤
D = ⎢⎢ 3
6
5 ⎥⎥
⎢⎣ − 1 − 4 − 3⎥⎦
⎡2 5 2⎤
A = ⎢⎢1 3 1 ⎥⎥
⎢⎣1 3 0⎥⎦
b)
D11 =
1 −2
= −2
−1 0
D12 = −
D13 =
2 −2
= −4
2 0
2 1
= −4
2 −1
D21 = −
D22 =
2 −3
=3
−1 0
1 −3
=6
2 0
D23 = −
1 2
=5
2 −1
D31 =
2 −3
= −1
1 −2
D32 = −
D33 =
1 −3
= −4
2 −2
1 2
= −3
2 1
⎡− 2 3 − 1 ⎤
D = ⎢⎢− 4 6 − 4⎥⎥
⎢⎣− 4 5 − 3⎥⎦
T
⎡
⎡− 2 3 − 1⎤ ⎢ − 1
1
A−1 = ⎢⎢− 4 6 − 4⎥⎥ = ⎢− 2
⎢
2
⎢⎣− 4 5 − 3⎥⎦ ⎢− 2
⎣⎢
ad b)
A
3
2
3
5
2
1⎤
− ⎥
2
− 2⎥
3⎥
− ⎥
2 ⎦⎥
I
⎡ 2 5 2 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎢1 3 1 ⎥ ⎢0 1 0⎥
⎥
⎥⎢
⎢
⎣⎢1 3 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎦⎥
Przestawiamy wiersz pierwszy z drugim:
⎡1 3 1 ⎤ ⎡0 1 0⎤
⎢ 2 5 2 ⎥ ⎢1 0 0 ⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎢⎣1 3 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
Pierwszy wiersz pomnożony przez (-2) dodajemy do wiersza drugiego, a następnie
pomnożony przez (-1) dodajemy do trzeciego:
⎡1 3 1 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤
⎢0 − 1 0 ⎥ ⎢1 − 2 0⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ ⎢⎣0 − 1 1⎥⎦
Wiersz drugi mnożymy przez (-1)
⎡1 3 1 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ − 1 2 0⎥
⎥
⎥⎢
⎢
⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 − 1 1⎥⎦
Wiersz drugi pomnożony przez (-3) dodajemy do pierwszego
⎡1 0 1 ⎤ ⎡ 3 − 5 0 ⎤
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ − 1 2 0 ⎥
⎥
⎥⎢
⎢
⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 − 1 1⎥⎦
Wiersz trzeci mnożymy przez (-1)
⎡1 0 1⎤ ⎡ 3 − 5 0 ⎤
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ − 1 2
0 ⎥⎥
⎢
⎥⎢
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0
1 − 1⎥⎦
Wiersz trzeci pomnożony przez (-1) dodajemy do wiersza pierwszego
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 3 − 6 1 ⎤
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ − 1 2
0 ⎥⎥
⎥⎢
⎢
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0
1 − 1⎥⎦
A−1
I
13.Dla poniższych macierzy znaleźć macierze odwrotne:
⎡1 − 1⎤
⎢
⎥
a) ⎣2 3 ⎦
⎡ 2 5⎤
⎢
⎥
b) ⎣− 7 3⎦
⎡a b ⎤
⎢
⎥
c) ⎣ c d ⎦
⎡1 − 1 0 ⎤
⎢2 0
4 ⎥⎥
⎢
⎢1 3 − 1⎥⎦
d) ⎣
⎡1 2 3 ⎤
⎢0 1 2⎥
⎥
⎢
⎢⎣2 1 1⎥⎦
e)
⎡1 1 1⎤
⎢− 1 1 − 1⎥
⎥
⎢
⎢⎣ 1 − 1 − 1⎥⎦
f)
⎡1 1 1 1 ⎤
⎢1 1 − 1 − 1⎥
⎥
⎢
⎢1 − 1 1 − 1⎥
⎥
⎢
g) ⎣1 − 1 − 1 1 ⎦
⎡2 3
⎢1 2
⎢
⎢2 − 1
⎢
h) ⎣4 7
1
1
1
3
4⎤
2⎥⎥
3⎥
⎥
8⎦
Przykład 5.
Wyznaczyć rząd macierzy
⎡1
⎢0
⎢
A=⎢0
⎢
⎢1
⎢⎣− 1
2 3
1 5
6 7
7 5
3 −1
4⎤
0⎥⎥
4⎥
⎥
8⎥
0⎥⎦
Sprowadzamy macierz A do postaci schodkowej stosując przekształcenia
elementarne macierzy.
⎡1
⎢0
⎢
rz ⎢ 0
⎢
⎢1
⎢⎣− 1
2 3
1 5
6 7
7 5
3 −1
4⎤
⎡1
⎢0
⎥
0⎥
⎢
4⎥ = rz ⎢0
⎢
⎥
8⎥
⎢0
⎢⎣0
0⎥⎦
2
1
6
5
5
3
5
7
2
2
4⎤
⎡1
⎢0
⎥
0⎥
⎢
4⎥ = rz ⎢0
⎢
⎥
4⎥
⎢0
⎢⎣0
4⎥⎦
2
1
6
5
0
3
5
7
2
0
4⎤
⎡1
⎥
⎢0
0⎥
⎢
4⎥ = rz ⎢0
⎥
⎢
4⎥
⎢0
⎢⎣0
0⎥⎦
2
3
4⎤
⎡1
⎥
⎢0
1
5
0⎥
⎢
0 − 23 4⎥ = rz ⎢0
⎥
⎢
0 − 23 4⎥
⎢0
⎢⎣0
0
0
0⎥⎦
2
3
1
5
0 − 23
0
0
0
0
14.Wykorzystując poznane metody wyznaczyć rzędy następujących macierzy:
⎡ 2 − 1 3 4⎤
⎢0 1
2 3⎥⎥
⎢
⎢0 0 − 3 1⎥⎦
a) ⎣
⎡3
⎢0
⎢
⎢0
⎢
b) ⎣0
2 −1
1 3
0 0
0 0
4
1
0
0
5⎤
4⎥⎥
2⎥
⎥
0⎦
4⎤
0⎥⎥
4⎥ = 3
⎥
0⎥
0⎥⎦
c)
⎡1 − 1 2 3 ⎤
⎢3 − 2 4 − 1 ⎥
⎥
⎢
⎢⎣1 0 0 − 7 ⎥⎦
⎡1
⎢7
⎢
⎢3
⎢
e) ⎣5
3 1 1⎤
5 − 1 5⎥⎥
1 − 1 2⎥
⎥
7 1 4⎦
5
2
−3
d) 4
3 −1
0 4
6 2
0 −5
2
3
0
2
⎡1 − 6 − 2 1 1 1 ⎤
⎢3 − 12 − 6 1 1
3 ⎥⎥
⎢
⎢1
−1 1
4
0 − 1⎥
⎢
⎥
1 − 1 0 − 1⎥
⎢0 5
⎢
0 − 1 − 1 0 ⎥⎦
f) ⎣0 3
⎡ 0 4 10 1 ⎤
⎢ 4 8 18 7 ⎥
⎥
⎢
⎢10 18 40 17 ⎥
⎥
⎢
g) ⎣ 1 7 17 3 ⎦
⎡ 2 1 11 2 ⎤
⎢ 1 0 4 − 1⎥
⎥
⎢
⎢11 4 56 5 ⎥
⎥
⎢
h) ⎣ 2 − 1 5 − 6⎦
⎡ 2 − 1 3 − 2 4⎤
⎢4 − 2 5 1 7 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣2 − 1 1 8 2⎥⎦
i)
⎡3 − 1 3
⎢5 − 3 2
⎢
⎢1 − 3 − 5
⎢
j) ⎣7 − 5 1
2 5⎤
3 4 ⎥⎥
0 − 7⎥
⎥
4 1 ⎦
Przykład 6.
Za pomocą przekształceń elementarnych sprowadzić macierz do postaci bazowej
(kanonicznej) i określić jej rząd.
⎡1 − 1
⎢3 0
⎢
⎢2 0
⎢
⎢2 0
⎢⎣0 1
2
4
2
4
0
3 4⎤
8 0 ⎥⎥
4 − 4⎥
⎥
8 8 ⎥
1 0 ⎥⎦
Po zamianie miejscami kolumn – pierwszej i drugiej, a następnie dodaniu wiersza
pierwszego do piątego otrzymujemy:
⎡− 1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ 1
1
3
2
2
0
2
4
2
4
0
3 4 ⎤ ⎡− 1
8 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0
4 − 4⎥ ~ ⎢ 0
⎥ ⎢
8 8 ⎥ ⎢0
1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
1
3
2
2
1
2
4
2
4
2
3 4⎤
8 0 ⎥⎥
4 − 4⎥
⎥
8 8 ⎥
4 4 ⎥⎦
⎛ 1⎞
⎜− ⎟
Wiersz czwarty pomnożony przez ⎝ 2 ⎠ dodajemy do wiersza piątego
⎡− 1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ 0
1
3
2
2
0
2
4
2
4
0
3 4⎤
8 0 ⎥⎥
4 − 4⎥
⎥
8 8 ⎥
0 0 ⎥⎦
1
Wiersz pierwszy mnożymy przez (-1), wiersz trzeci i czwarty kolejno przez 2
⎡1 − 1 − 2 − 3 − 4 ⎤
⎢0 3
4
8
0 ⎥⎥
⎢
⎢0 1
1
2 − 2⎥
⎢
⎥
2
4
4⎥
⎢0 1
⎢⎣0 0
0
0
0 ⎥⎦
Wiersz trzeci przestawiamy z drugim, a następnie wiersz drugi dodajemy do
pierwszego, pomnożony przez (-3) do trzeciego, trzeciego pomnożony przez
1) do czwartego.
⎡1 − 1 − 2 − 3 − 4 ⎤ ⎡1 0 − 1 − 1 − 6 ⎤
⎢0 1
2 − 2⎥⎥
1
2 − 1 ⎥⎥ ⎢⎢0 1 1
⎢
⎢0 3
2
6⎥
4
8
0 ⎥ ~ ⎢0 0 1
⎢
⎥ ⎢
⎥
2
6⎥
2
4
4 ⎥ ⎢0 0 1
⎢0 1
⎢⎣0 0
0 ⎥⎦
0
0
0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0
(-
Wiersz trzeci pomnożony przez (-1) dodajemy do czwartego
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣0
0 − 1 − 1 − 6⎤
1 1
2 − 2⎥⎥
0 1
2
6⎥
⎥
0 0 0
0⎥
0 0 0
0 ⎥⎦
Wiersz trzeci dodajemy do pierwszego, a potem pomnożony przez
drugiego
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
(-1) do
1 0⎤
0 − 8⎥⎥
2 6⎥
⎥
0 0⎥
0 0 ⎥⎦
Uzyskana jest postać bazowa macierzy, z której wynika, że rząd macierzy jest
równy 3
15.Sprowadzić następujące macierze do postaci bazowej:
⎡1
⎢3
⎢
⎢4
⎢
a) ⎣− 1
1 3
1 1⎤
2 5
0 1 ⎥⎥
3 3
2 − 1⎥
⎥
0 − 2 − 1 − 1⎦
⎡1
⎢3
⎢
⎢4
⎢
c) ⎣− 1
1 2
1
1 ⎤
2 1
1 − 2⎥⎥
3 3
2 − 1⎥
⎥
0 − 2 − 1 − 1⎦
1⎤
⎡2 1
⎢3 2
2 ⎥⎥
⎢
⎢ 4 − 1 − 2⎥
⎢
⎥
1⎥
⎢1 1
⎢
⎥
b) ⎣2 − 2 − 3⎦
16.Przedyskutować wartości rzędów poniższych macierzy, w zależności od
wartości parametru a(a ∈ R )
⎡a
⎢0
⎢
⎢1
⎢
a) ⎣a
1
a
0
0
a
0
1
a
1⎤
a ⎥⎥
0⎥
⎥
0⎦
⎡a
⎢1
⎢
⎢1
⎢
b) ⎣1
1
a
1
1
1
1
a
1
1
1
1
a
1⎤
1⎥⎥
1⎥
⎥
1⎦
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
1.Zapisać następujące układy równań w postaci równania macierzowego:
⎧3x1 − 2 x2 + x3 = 1
⎪
⎨ x1 − 2 x2 + x3 = 1
⎪
a) ⎩ x1 + x2 + x3 = 1
⎧ x1 − 2 x2 + x3 + 3x4 = 5
⎪
⎨2 x1 − 4 x2 − 2 x3 + 5 x4 = 1
⎪
b) ⎩2 x1 + x2 + x4 = 0
⎧ x1 + x3 − x4 = 3
⎪x + x − x + x = 5
4
⎪⎪ 1 2 3
⎨2 x1 + x2 − 3x4 = 1
⎪ x − 2 x − 3x = 2
2
3
⎪ 1
⎪⎩2 x2 − x3 − x4 = 1
c)
2.Dane układy równań zapisać za pomocą równoważnych im równań
macierzowych
⎧ x1 − x3 + x5 = 1
⎪
⎨ x2 + x4 = −2
⎪
a) ⎩ x1 + x5 = 3
c)
b)
⎧3x1 − x2 + 3x3 = 3
⎨
⎩− 6 x1 + x2 − 2 x3 = −2
⎧ x1 − x2 + x3 − x4 = 0
⎪x − x + x = 0
⎪ 1 2
4
⎨
⎪ x2 + 2 x3 − 3x4 = 0
⎪⎩2 x1 + x3 + 2 x4 = 0
3.Zapisać następujące układy równań liniowych w postaci macierzowej, a
następnie obliczając macierz odwrotną znaleźć rozwiązania:
a)
⎧2 x1 + 3 x2 + x3 = 2
⎪
⎨ x1 + 2 x2 − 2 x3 = −7
⎪ x − 3x − 3 x = −5
2
3
⎩ 1
⎧2 x1 − x2 = 1
⎪x + x − x = 1
⎪ 1 2
3
⎨
⎪ x2 + x3 − x4 = 2
⎪
b) ⎩2 x3 + x4 = 13
⎧2 x1 + x2 + 3x3 = 0
⎪
⎨ x2 − 2 x3 = 0
⎪ x + 3x + x = 0
2
3
⎩ 1
c)
Przykład 1.
Korzystając ze wzorów Cramera, a następnie wykorzystując macierz odwrotną do
macierzy współczynników układu, rozwiązać układ równań:
− x1 + x2 = 2
x1 + x3 = 1
x2 + 2 x3 = 5
1 sposób:
−1
det A = 1
0
−1
1
1
0
1
1
0
0
1 = 0 + 0 + 0 − 0 + 1 − 2 = −1
2
0
1
2 1 0
det A1 = 1 0 1 = 0 + 0 + 5 − 0 − 2 − 2 = 1
5 1 2
2 1 0
1 0 1
−1 2 0
det A2 = 1
0
1 1 = −2 + 0 + 0 − 0 + 5 − 4 = −1
5 2
−1 2 0
1 1 1
−1
det A3 = 1
0
−1
1
1
0
1
1
0
2
1 = 0 + 2 + 0 − 0 + 1 − 5 = −2
5
2
1
x1 =
det A1
1
=
= −1
det A
−1
x2 =
det A2 − 1
=
=1
det A − 1
x3 =
det A3 − 2
=
=2
det A
−1
2 sposób:
− x1 + x2 = 2
x1 + x3 = 1
x2 + 2 x3 = 5
⎡− 1 1 0⎤
A = ⎢⎢ 1 0 1⎥⎥
⎢⎣ 0 1 2⎥⎦
⎡ 2⎤
b = ⎢⎢1⎥⎥
⎢⎣5⎥⎦
x = A−1 ⋅ b
A−1 =
1
⋅ DT
det A
detA=-1
⎡−1 − 2 1 ⎤
D = ⎢⎢− 2 − 2 1 ⎥⎥
⎢⎣ 1
1 − 1⎥⎦
⎡−1 − 2 1 ⎤
DT = ⎢⎢− 2 − 2 1 ⎥⎥
⎢⎣ 1
1 − 1⎥⎦
D11 =
0 1
= −1
1 2
D12 = −
D13 =
1 1
0 2
= −2
1 0
=1
0 1
D21 = −
D22 =
1 0
= −2
1 2
−1 0
0
D23 = −
2
= −2
−1 1
=1
0 1
D31 =
1 0
=1
0 1
D32 = −
D33 =
−1 0
1
1
=1
−1 1
= −1
1 0
2 − 1⎤
⎡−1 − 2 1 ⎤ ⎡ 1
1
A−1 =
⋅ ⎢− 2 − 2 1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 2 2 − 1⎥⎥
−1 ⎢
⎢⎣ 1
1 − 1⎥⎦ ⎢⎣− 1 − 1 1 ⎥⎦
2 − 1⎤ ⎡2⎤ ⎡− 1⎤
⎡1
⎢
x = ⎢ 2 2 − 1⎥⎥ ⎢⎢1⎥⎥ = ⎢⎢ 1 ⎥⎥
⎢⎣− 1 − 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣5⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
4.Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać następujące układy równań:
a)
⎧ x1 + x2 + x3 = 4
⎪
⎨2 x1 − 2 x2 + x3 = 2
⎪x − 2x + 2x = 3
2
3
⎩ 1
b)
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
⎪
⎨ x1 − x2 + x3 = 2
⎪x − x − x = 0
⎩ 1 2 3
⎧3 x1 + 2 x2 + x3 = 17
⎪
⎨2 x1 − x2 + 2 x3 = 8
⎪
c) ⎩ x1 + 4 x2 − 3x3 = 9
⎧2 x1 − x2 − x3 = 4
⎪
⎨3x1 + 4 x2 − 2 x3 = 11
⎪
d) ⎩3x1 − 2 x2 + 4 x3 = 11
⎧2 x1 − 3x2 + 2 x3 + 4 x4 = 8
⎪ x + 2 x − 3 x − 2 x = −4
⎪ 1
2
3
4
⎨
x
x
x
x
3
2
2
+
−
+
2
3
4 = 2
⎪ 1
⎪
e) ⎩− x1 + 4 x2 + x3 − 5 x4 = −5
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = 0
⎪2 x − 3x + 4 x − 2 x = 17
⎪ 1
2
3
4
⎨
x
x
x
3
7
−
+
−
=
3
4
⎪ 1
⎪⎩3x1 + 4 x2 + 2 x3 − 3x4 = 9
f)
⎧2 x1 + 3 x2 + 11x3 + 5 x4 = 0
⎪x + x + 5x + 2x = 0
⎪ 1 2
3
4
⎨
2
3
2
x
x
x
⎪ 1 + 2 + 3 + x4 = 0
⎪
g) ⎩ x1 + x2 + 3x3 + 4 x4 = 0
h)
⎧2 x1 − x2 + 4 x3 = 0
⎪
⎨ x1 − 2 x2 − x3 = −3
⎪− x + x = 1
⎩ 1 2
Przykład 2.
Metodą operacji elementarnych rozwiązać następujące układy równań:
a)
⎧ x1 − 2 x2 + 2 x3 = 3
⎪x + x + x = 4
⎪ 1 2
3
⎨
⎪2 x1 − 2 x2 + x3 = 2
⎪⎩2 x1 − x2 + 3x3 = 7
⎧2 x1 − 3x2 + x3 − x4 = 1
⎪
⎨− x1 − 5 x3 + 2 x4 = 0
⎪
c) ⎩3x1 − 3x2 + 6 x3 − 3x4 = 1
ad a)
⎧ x1 − 2 x2 + 3x3 − x4 = 0
⎪
⎨− x1 + x2 − 4 x4 = −1
⎪
b) ⎩− x2 + 3x3 − 5 x4 = 0
⎡1 − 2 2
⎢1 1 1
U =⎢
⎢2 − 2 1
⎢
⎣2 − 1 3
3⎤
3⎤
⎡0 − 2 2
⎢
⎥
4⎥ w2 + (−1)w1 ⎢0 3 − 1 1 ⎥⎥
~
~
2⎥ w3 + (−2)w1 ⎢0 2 − 3 − 4⎥
⎥
⎢
⎥
7⎦1 w4 + (−2)w1 ⎣0 3 − 1 1 ⎦ w4 + (−1)w2
3 ⎤ w1 + 2w2
3⎤
⎡1 − 2 2
⎡1 − 2 2
⎡1
⎢0 3 − 1 1 ⎥ w + (−1)w ⎢0 1
⎥
⎢0
2
5⎥
2
3
⎢
⎥
⎢
~
~⎢
~
⎢0 2 − 3 − 4⎥
⎢0 2 − 3 − 4⎥ w3 + (−2)w2 ⎢0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
0
0⎦
0
0⎦
⎣0 0
⎣0 0
⎣0
⎡1
⎢0
~⎢
⎢0
⎢
⎣0
0 6 13⎤ w1 + (−6)w3 ⎡1
1 2 5 ⎥⎥ w2 + (−2)w3 ⎢⎢0
~
⎢0
0 1 2⎥
⎥
⎢
0 0 0⎦
⎣0
13 ⎤
5 ⎥⎥
⎛ 1⎞ ~
0 − 7 − 14⎥ ⎜ − ⎟w3
⎥⎝ 7 ⎠
0 0
0 ⎦
0
1
6
2
0 0 1⎤
1 0 1⎥⎥
0 1 2⎥
⎥
0 0 0⎦
rzA=rzU=3
Układ jest oznaczony i posiada jedno rozwiązanie:
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 2
ad b)
⎡ 1 − 2 3 −1 0 ⎤
⎡1 − 2 3 − 1 0 ⎤
⎡1 − 2 3 − 1 0 ⎤
~ ⎢⎢0 − 1 3 − 5 − 1⎥⎥
U = ⎢⎢− 1 1 0 − 4 − 1⎥⎥ w2 + w1 ~ ⎢⎢0 − 1 3 − 5 − 1⎥⎥
⎢⎣ 0 − 1 3 − 5 0 ⎥⎦
⎢⎣0 − 1 3 − 5 0 ⎥⎦ w3 + (−1) w2 ⎢⎣0 0 0 0
1 ⎥⎦
rzA=2, rzU=3
Układ jest sprzeczny.
Ad c)
⎡ 2 − 3 1 − 1 1⎤
U = ⎢⎢− 1 0 − 5 2 0⎥⎥
⎢⎣ 3 − 3 6 − 3 1⎥⎦
Po przestawieniu wiersza drugiego z pierwszym
⎡− 1 0 − 5 2 0⎤ (−1) w1 ⎡1 0 5 − 2 0⎤
U = ⎢⎢ 2 − 3 1 − 1 1⎥⎥
~ ⎢⎢2 − 3 1 − 1 1⎥⎥ w2 + (−2) w1 ~
⎢⎣ 3 − 3 6 − 3 1⎥⎦
⎢⎣3 − 3 6 − 3 1⎥⎦ w3 + (−3) w1
⎡1 0 5 − 2 0 ⎤
5 − 2 0⎤
5 − 2 0⎤
⎡1 0
⎡1 0
⎢
1⎥
⎛ 1⎞
⎢
⎥
⎢
⎥
~ ⎢0 − 3 − 9 3 1 ⎥
~ ⎢0 − 3 − 9 3 1⎥ ⎜ − ⎟ w2 ~ ⎢0 1 3 − 1 − ⎥
3⎥
⎝ 3⎠
⎢0 0 0 0
⎢⎣0 − 3 − 9 3 1⎥⎦ w3 + (−1) w2 ⎢⎣0 0
0
0 0⎥⎦
0
⎣
⎦
rzA=rzU=2<4
Układ jest nieoznaczony o nieskończenie wielu rozwiązaniach
Otrzymany układ równoważny ma postać:
⎡−1 −2 1⎤ ⎡1 2 −1⎤
1⎢
A = ⋅⎢−2 −2 1⎥⎥=⎢⎢2 2 −1⎥⎥
−1
⎢⎣1 1 −1⎥⎦ ⎢⎣−1 −1 1⎥⎦
−1
Zmiana x1, x2 są zmiennymi bazowymi:
⎧ x1 = −5 x3 + 2 x4
⎪
⎨
1
⎪⎩ x2 = −3 x3 + x4 − 3
Za zmienne niebazowe x3 , x4 podstawiamy parametry: x3 = t1 , x4 = t2 ; t1 , t2 ∈ R
Zatem:
⎧ x1 = −5t1 + 2t2
⎪
1
⎨
⎪⎩ x2 = −3t1 + t2 − 3
Rozwiązaniem ogólnym układu jest wektor:
1
⎤
⎡
x = ⎢− 5t1 + 2t2 ,−3t1 + t2 − , t1 , t2 ⎥
3
⎦ gdzie t1 , t2 ∈ R
⎣
Przykłady rozwiązań szczegółowych:
⎤
⎡ 1
x = ⎢0,− ,0,0⎥
t1 = 0 i t2 = 0 ,
⎦
⎣ 3
⎤
⎡ 2
x = ⎢2, ,0,1⎥
t1 = 0 i t2 = 1 ,
⎦ i.t.d.
⎣ 3
5.Znaleźć rozwiązanie ogólne i przykłady rozwiązań szczegółowych układów
równań:
a)
⎧ x1 − x2 + x3 − x4 = 2
⎨
⎩− x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 4
⎧ x1 − 2 x2 − x3 = 1
⎨
c) ⎩2 x1 + 3x2 + x3 = 4
b)
⎧2 x1 + x2 − x3 − x4 = 1
⎨
⎩− x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 = 0
⎧2 x1 + x2 − x3 − x4 = 1
⎪
⎨− x1 + 2 x2 + x3 − 2 x4 = 0
⎪
d) ⎩5 x1 + x2 − 2 x3 − 5 x4 = 3
6.Sprowadzić dane układy równań do postaci bazowej względem kolumny
pierwszej i trzeciej, stosując metodę operacji elementarnych:
a)
⎧5 x1 + 3x2 + x3 = 15
⎨
⎩4 x1 + 6 x2 + x4 = 28
b)
⎧ x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 4
⎨
⎩5 x2 + 10 x3 + 5 x4 = 5
⎧4 x1 + 2 x2 + 8 x3 + 2 x4 = 8
⎨
c) ⎩− 2 x1 − 6 x2 − 16 x3 = −8
7.Znaleźć wszystkie rozwiązania bazowe układów równań liniowych:
a)
⎧ x1 + x2 − 2 x3 = 3
⎨
⎩2 x1 + 2 x2 + 6 x3 = 7
c)
⎧ x1 − x2 − x3 = 1
⎨
⎩3 x1 − 4 x2 − 4 x3 = 3
b)
⎧3x1 + x2 + 2 x3 = 6
⎨
⎩ x2 − 3x3 = 4
8.Rozwiązać następujące układy równań liniowych metodą operacji
elementarnych:
a)
⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4
⎪
⎨4 x1 + 5 x2 + 6 x3 = 6
⎪7 x + 8 x + 9 x = 16
2
3
⎩ 1
⎧ x2 + x3 + x4 = 1
⎪x + x + x = 2
⎪ 1 3
4
⎨
⎪ x1 + x2 + x4 = −1
⎪
b) ⎩ x1 + x2 + x3 = 0
⎧2 x1 − x2 = 1
⎪x + x − x = 1
⎪ 1 2
3
⎨
⎪ x2 + x3 − x4 = 2
⎪
c) ⎩− x1 + 2 x3 − x4 = −1
⎧3x1 − x2 − x3 = 0
⎪
⎨2 x2 + 5 x3 = 1
⎪
d) ⎩6 x1 − 4 x2 − 3x3 = −1
⎧2 x1 + 5 x2 − 8 x3 = 8
⎪4 x + 3 x − 9 x = 9
⎪ 1
2
3
⎨
⎪2 x1 + 3x2 − 5 x3 = 7
⎪
e) ⎩ x1 + 8 x2 − 7 x3 = 12
⎧2 x1 − x2 + 3 x3 + x4 + x5 = 1
⎪ x + x + x + x + 2 x = −1
⎪ 1 2
3
4
5
⎨
⎪5 x1 − x2 − 5 x3 − x4 + 4 x5 = 1
⎪
f) ⎩6 x1 − 4 x3 + 6 x5 = 0
⎧2 x1 + x2 + 3 x4 + 2 x5 = 5
⎪ x − x + 2 x + 5 x − 4 x = −5
3
4
5
⎪⎪ 1 2
⎨2 x2 + 3x3 + x4 − x5 = −9
⎪3 x + 5 x + x + 7 x = −1
2
3
4
⎪ 1
g) ⎪⎩2 x1 − 4 x2 − x3 = 10
i)
⎧ x1 + x2 + 3x3 − 2 x4 + 3x5 = 1
⎪2 x + 2 x + 4 x − x + 3 x = 2
⎪ 1
2
3
4
5
⎨
⎪3x1 + 3x2 + 5 x3 − 2 x4 + 3x5 = 1
⎪⎩2 x1 + 2 x2 + 8 x3 − 3x4 + 9 x5 = 2
⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 1
⎪2 x + x + 2 x − x = 2
⎪ 1 2
3
4
⎨
⎪− x1 + 2 x2 + x3 + 4 x4 = 3
⎪
k) ⎩− x2 + 4 x3 + x4 = 2
h)
j)
⎧ x1 + x3 − x4 = 3
⎪2 x − x + 3 x = 4
4
⎪⎪ 1 2
⎨ x1 + x2 + 3 x3 − 6 x4 = 5
⎪ x − 2 x − 3 x − 9 x = −1
2
3
4
⎪ 1
⎩⎪2 x1 + 4 x3 − 10 x4 = 8
⎧2 x1 + 3 x2 + x3 + 2 x4 = 4
⎪4 x + 3 x + x + x = 5
2
3
4
⎪⎪ 1
5
11
3
2 x4 = 2
+
+
+
x
x
x
⎨ 1
2
3
⎪2 x + 5 x + x + x = 1
2
3
4
⎪ 1
⎩⎪ x1 − 7 x2 − x3 + 2 x4 = 7
⎧2 x1 + 3x2 + 4 x3 + x4 = 1
⎪x + x + x + x = 0
⎪ 1 2
3
4
⎨
⎪− x1 + 2 x3 + 3x4 = 1
⎪
l) ⎩ x1 + 3x2 + 6 x3 + 4 x4 = 2
ł)
⎧8 x + 6 y + 5 z + 2t = 21
⎪3x + 3 y + 2 z + t = 10
⎪⎪
⎨4 x + 2 y + 3 z + t = 8
⎪3x + 5 y + z + t = 15
⎪
⎪⎩7 x + 4 y + 5 z + 2t = 18
m)
⎧2 x + 3 y + z + 2t = 4
⎪4 x + 3 y + z + t = 5
⎪⎪
⎨5 x + 11y + 3 z + 2t = 2
⎪2 x + 5 y + z + t = 1
⎪
⎪⎩ x − 7 y − z − 2t = 7
⎧ x1 + x2 + 2 x3 = 4
⎪
⎪2 x1 − 3 x2 − x3 = 3
⎨
⎪4 x1 − x2 + 3 x3 = 11
⎪
n) ⎩ x1 − 4 x2 − 3 x3 = −1
9.Wyznaczyć rozwiązania następujących układów równań jednorodnych:
⎧2 x − 4 y = 0
⎪
⎨5 x − 10 y = 0
⎪3x + 5 y = 0
a) ⎩
c)
⎧ x1 − x3 = 0
⎪x − x = 0
4
⎪ 2
⎪⎪ x1 − x3 + x5 = 0
⎨
⎪ x2 − x4 + x6 = 0
⎪ x3 − x5 = 0
⎪
⎪⎩ x4 − x6 = 0
⎧ x1 + 2 x2 − 3 x3 = 0
⎪
⎨4 x1 + 5 x2 + 6 x3 = 0
⎪
e) ⎩7 x1 + 8 x2 + 9 x3 = 0
⎧ x2 − 2 x4 = 0
⎪− x + 2 x + x = 0
⎪ 1
3
5
⎨
⎪− 2 x2 − x4 = 0
⎪
g) ⎩2 x1 + x3 − 2 x5 = 0
10.Rozwiązać równania macierzowe:
⎧4 x − 6 y = 0
⎪
⎨6 x − 9 y = 0
⎪2 x − 3 y = 0
b) ⎩
⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 0
⎪
⎨2 x1 − x2 + x3 = 0
⎪
d) ⎩3x1 + x2 = 0
⎧ x1 − 4 x2 + 7 x3 = 0
⎪
⎨− 2 x1 + 5 x2 − 8 x3 = 0
⎪
f) ⎩3x1 − 6 x2 + 9 x3 = 0
⎡3 − 2 ⎤ ⎡ − 1 2 ⎤
X⎢
⎥ = ⎢− 5 6⎥
5
−
4
⎦
⎣
⎦ ⎣
a)
⎡1 1⎤
⎡ 4 6⎤
⎢6 9⎥ X = ⎢1 1⎥
⎣
⎦
⎦
b) ⎣
⎡ 3 6⎤ ⎡ 2 4 ⎤
X⎢
⎥ = ⎢9 18⎥
4
8
⎦
⎣
⎦ ⎣
c)
⎡− 1 2⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎡3 0⎤
⎢ 3 0⎥ X ⎢2 1 ⎥ = ⎢1 1⎥
⎦
⎦ ⎣
⎦ ⎣
d) ⎣
11.Dla jakich wartości parametrów poniższe układy równań są niesprzeczne:
⎧ x1 − 5 x2 + 5 x3 = k
⎪
⎨ x1 − x2 + x3 = 0
⎪ x + 3x − 3x = 2
2
3
a) ⎩ 1
b)
k∈R
c)
⎧3x + 5 y + 6 z = 8
⎪
⎨(m + 2) x + (6 + m) y + (8 + m) z = 12 + m
⎪(m − 1) x + 5 y + (m + z ) z = m + 4
⎩
e)
⎧ax + (a + 2) y + (a + 1) z = 4a + 1
⎪
⎨(2a − 2) x + 2ay + (2a − 1) z = 3a + 3
⎪2 x + 4 y + 3 z = 2 a + 5
⎩
⎧ x1 − x2 + x3 = 2
⎪
⎨ x1 − 2 x2 + 2 x3 = k
⎪ x + 3x − 3x = 0
2
3
⎩ 1
k∈R
d)
⎧ x + (a + 1) y + (2a + 3) z = 0
⎪
⎨2 x + (3a + 1) y + 10 z = 0
⎪x + 2 y + 5z = 0
⎩
12.Przeprowadź dyskusję rozwiązania poniższych układów równań w zależności
od wartości występujących w nich parametrów:
⎧(k − 2) x + (2 − k ) y = 3k − 6
⎨ 2
a) ⎩(2k − 8) x − (3k − 6) y = 10 − 5k
,k ∈ R
⎧kx + 4 y = 2k
⎨
b) ⎩9 x + ky = 18
,k ∈ R
⎧ x1 + x2 + ax3 = 1
⎪
⎨ x1 + 2 x2 + x3 = 2
⎪
c) ⎩2 x1 + bx2 + 2 x3 = 1 ,
a, b ∈ R
ODPOWIEDZI :
MACIERZE I WYZNACZNIKI
1.
a)tak,
b)nie,
c)nie,
d)nie,
e)tak,
g)tak,
h)nie,
i)tak,
j)tak
k)tak
f)tak,
2.
⎡ 2 4 6⎤
⎢1 2 3 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣3 6 9⎥⎦
b)
⎡10⎤
⎢ ⎥
a) ⎣ 8 ⎦
⎡0
⎢3
⎢
⎢6
⎢
e) ⎣9
3
4
5
6
6
5
4
3
9⎤
6⎥⎥
3⎥
⎥
0⎦
⎡ − 3 − 2⎤
⎢
⎥
i) ⎣ 1 − 2⎦
3.
⎡10 0 11 17 ⎤
⎢0 3 3 1⎥
⎥
⎢
⎢10 − 1 0 11⎥
⎥
⎢
⎣8 2 7 4⎦
4.
8 11 ⎤
⎡3
⎢ 14 17 17 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 6 − 4 − 2⎥⎦
c)
⎡13 20⎤
⎢
⎥
f) ⎣ 5 8 ⎦
⎡ 1 2 3⎤
⎢
⎥
j) ⎣− 1 0 1⎦
⎡− 6 5 ⎤
⎢
⎥
g) ⎣ 5 − 1⎦
⎡1 0⎤
⎢
⎥
d) ⎣0 1⎦
⎡ 1 −6 5 ⎤
⎢ 2 −2 5 ⎥
⎥
⎢
⎢⎣− 1 8 − 6⎥⎦
h)
a)tak
b)nie
c)tak
5.
⎡− 34 39⎤
⎢ 59 45⎥
⎣
⎦
6.
⎡ 19 − 7 5 ⎤
⎢− 2 18 − 6⎥
⎥
⎢
⎢⎣ − 3 1 18 ⎥⎦
b)
⎡11 5 5⎤
⎢ 9 3 3⎥
⎥
⎢
⎢⎣ 1 3 3⎥⎦
a)
7.
a)-2
b)-7
c)5
d)-84
e)-24
f)60
g)-10
h)-22
i)231
j)160
k)-452
l)-17
b)24
c)0
d)24
e)-45
ł)665
8.
a)714
9.
a)20
b)-7203
c)-90
d)0
e)0
f)0
c)0
d)x=0 v x=-1
g)0
10.
a)x=1/2
b)x=1 v x=-1/2
11.
a)x>1
b)-b<x<-4
12.
a)Należy wyłączyć przed znak wyznacznika (-1) kolejno z drugiej kolumny i z
drugiego wiersza
gdzie a,b,c, ≠ 0
b)
13.
⎡3 / 41 − 5 / 41⎤
⎢
⎥
b) ⎣7 / 41 2 / 41 ⎦
⎡ 3 / 5 1 / 5⎤
⎢
⎥
a) ⎣− 2 / 5 1 / 5⎦
1 ⎡ d − b⎤
⎢
⎥
c) ad − bc ⎣− c a ⎦
1 ⎤
⎡−1 1
⎢ 4 − 5 − 2⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 2 3
1 ⎥⎦
e)
⎡ 12 / 18 1 / 18 4 / 18 ⎤
⎢− 6 / 18 1 / 18 4 / 18 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 6 / 18 4 / 18 − 2 / 18⎥⎦
d)
1/ 4
1/ 4 ⎤
⎡1 / 4 1 / 4
⎢1 / 4 1 / 4 − 1 / 4 − 1 / 4⎥
⎥
⎢
⎢1 / 4 − 1 / 4 1 / 4 − 1 / 4⎥
⎥
⎢
g) ⎣1 / 4 − 1 / 4 − 1 / 4 1 / 4 ⎦
f)
0
1/ 2 ⎤
⎡1 / 2
⎢1 / 2 1 / 2
0 ⎥⎥
⎢
⎢⎣ 0 − 1 / 2 − 1 / 2⎥⎦
h) Macierz jest osobliwa i nie posiada
macierzy odwrotnej
14.
a)3
b)3
c)2
d)2
e)2
f)4
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
3.
a) x1 = 1 , x2 = −1 , x3 = 3
b) x1 = 2 , x2 = 3 , x3 = 4 , x4 = 5
c) x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0
g)2
h)2
i)2
j)3
4.
a) x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 2
b) x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3
c) x1 = 4 , x2 = 2 , x3 = 1
d) x1 = 3 , x2 = 1 , x3 = 1
g) x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0 , x4 = 0
h) x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 0
e) x1 = 1 , x2 = 0 , x3 = 1 , x4 = 1
f) x1 = 1 , x2 = −1 , x3 = 2 , x4 = −2
8.
a)układ sprzeczny
b) x1 = −1 / 3 , x2 = −4 / 3 , x3 = 5 / 3 , x4 = 2 / 3
c)układ sprzeczny
d)układ nieoznaczony x1 = t , x2 = 15 / 7t + 1/ 7 , x3 = −6 / 7t + 1 / 7 t ∈ R
e) x1 = 3 , x2 = 2 , x3 = 1
f) x1 = 2 / 3t1 − t3 , x2 = −5 / 3t1 − t2 − t3 − 1 , x3 = t1 , x4 = t2 , x5 = t3 , t1 , t2 , t3 ∈ R
g) x1 = 2 , x2 = −1 , x3 = −2 , x4 = 0 , x5 = 1
h)układ sprzeczny
i)układ sprzeczny
j)układ sprzeczny
k) x1 = 2 − 3t , x2 = −1/ 2 − 2t , x3 = t , x4 = 3 / 2 − 2t , t ∈ R
l) x1 = −7t − 1 , x2 = 11t + 1 , x3 = −5t , x4 = t , t ∈ R
ł)x=3 , y=0 , z=-5 , t=11
m)układ sprzeczny
n) x1 = 3 − t , x2 = 1 − t , x3 = t , t ∈ R
9.
a)x=0 , y=0
b)x=3/2t , y=t , t ∈ R
c) x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = 0
d) x1 = t , x2 = −3t , x3 = −5 , t ∈ R
e) x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0
f) x1 = t , x2 = 2t , x3 = t , t ∈ R
g) x1 = t , x2 = 0 , x3 = 0 , x4 = 0 , x5 = t , t ∈ R
10.
⎡3 − 2 ⎤
X =⎢
⎥
⎣5 − 4⎦
a)
b) macierz X nie istnieje
0⎤
⎡ 2/3
X =⎢
⎥
⎣3 − 4 / 3t t ⎦ , t ∈ R
c)
⎡− 2 / 18 4 / 18 ⎤
X =⎢
⎥
⎣ 8 / 18 11 / 18⎦
d)
11.
a)dla k=-2 układ jest nieoznaczony,
dla k ≠ -2 układ jest sprzeczny
b)dla k=5/2 układ jest nieoznaczony,
dla k ≠ 5/2 układ jest sprzeczny
c)dla m ≠ 4 układ jest oznaczony,
dla m=4 układ jest nieoznaczony
d)dla a=1 układ jest nieoznaczony,
dla a ≠ 1 układ jest oznaczony z jednym rozwiązaniem x=y=z=0
e)dla a≠2 układ jest oznaczony
dla a=2 układ jest nieoznaczony
12.
a)dla k=2 układ jest nieoznaczony,
dla k=-1/2 układ sprzeczny
dla pozostałych k układ oznaczony,
b)dla k=6 lub k=-6 układ nieoznaczony,
dla pozostałych k układ jest oznaczony
c)a ≠ 1 Λ b ≠ 4 układ oznaczony,
a=1 Λ b ≠ 1 układ sprzeczny
a=1 Λ b=1 układ nieoznaczony
a ≠ 1 Λ b=4 układ sprzeczny