dr in˙z. Magdalena Topczewska Cwiczenia nr 10 Przedzia ly ufnosci

dr inż. Magdalena Topczewska
Ćwiczenia nr 10
Przedzialy ufności
Zakres teorii
• przedzialy ufności dla średniej
• przedzialy ufności dla procentu (wskaźnika struktury)
• przedzialy ufności dla wariancji
• minimalna liczność próby
Przedzialem ufności nazywamy losowy przedzial wyznaczony za pomoca, rozkladu estymatora, a majacy
te, wlasność, że z dużym,
,
z góry zadanym prawdopodobieństwem, pokrywa wartość szacowanego parametru θ.
Zwykle zapisujemy go w postaci P (a < θ < b) = 1 − α, gdzie a i b sa, dolnym i górnym krańcem przedzialu ufności, zaś 1 − α jest
to wspólczynnik ufności, czyli prawdopodobieństwo zadane z góry, z jakim parametr θ pokryty jest przedzialem ufności.
Przedzialy ufności dla średniej
• Model I
Populacja generalna ma rozklad N (m, σ)
m – nieznane
σ – znane dla populacji
σ
σ
=1−α
P x̄ − uα √ < m < x̄ + uα √
n
n
uα wyznacza sie, z tablic dystrybuanty rozkladu normalnego, by spelniona byla relacja P {−uα < U < uα } = 1 − α
• Model II
Populacja generalna ma rozklad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane dla populacji
n – male (n < 30)
P x̄ − tα √
s
s
< m < x̄ + tα √
n−1
n−1
=1−α
lub
ŝ
ŝ
=1−α
P x̄ − tα √ < m < x̄ + tα √
n
n
gdzie s i ŝ sa, odchyleniami standardowymi
v
v
u
u
n
n
u1 X
u 1 X
s=t
(xi − x̄)2
ŝ = t
(xi − x̄)2
n i=1
n − 1 i=1
tα wyznacza sie, z tablic t-Studenta, by spelniona byla relacja P {−tα < T < tα } = 1 − α i dla n − 1 stopni swobody
• Model III
Populacja generalna ma rozklad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane dla populacji
n – duże (n > 30)
wzór z modelu I (we wzorze zamiast σ używamy s lub ŝ)
W przypadku danych w postaci szeregu rozdzielczego o r klasach średnia, i odchylenie standardowe obliczamy ze wzorów:
v
u X
r
u1 r
1 X ◦
x̄ =
xj nj
ŝ = t
(x◦ − x̄)2 nj
n j=1
n j=1 j
gdzie x◦j jest środkiem j-tego przedzialu klasowego, zaś nj jego licznościa.
,
Przedzialy ufności dla procentu (wskaźnika struktury)
• Model
Populacja generalna ma rozklad dwupunktowy z parametrem p
n – duże (n > 100)
s
s
m
m
(1 − m
)
(1 − m
)
m
m
n
n
n
n
P
− uα
<p<
+ uα
=1−α
n
n
n
n
uα wyznacza sie, z tablic dystrybuanty rozkladu normalnego, by spelniona byla relacja P {−uα < U < uα } = 1 − α
1
Przedzialy ufności dla wariancji
• Model I
Populacja generalna ma rozklad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane
n – male (n < 30)
P
lub
P
ns2
ns2
< σ2 <
c2
c1
=1−α
(n − 1)ŝ2
(n − 1)ŝ2
< σ2 <
c2
c1
=1−α
c1 i c2 wyznacza sie, z tablic rozkladu χ2 (chi-kwadrat) dla n − 1 stopni swobody oraz tak, by spelnione byly relacje
P {χ2 < c1 } = 21 α oraz P {χ2 > c2 } = 12 α
• Model II
Populacja generalna ma rozklad N (m, σ) lub zbliżony do normalnego
m – nieznane
σ – nieznane
n – duże (n > 30)
s
s
<
σ
<
=1−α
P
1 + √uα
1 − √uα
2n
2n
uα wyznacza sie, z tablic dystrybuanty rozkladu normalnego, by spelniona byla relacja P {−uα < U < uα } = 1 − α
Zadania
Zad 1.
Do zagadnień normowania pracy potrzebne jest oszacowanie średniego czasu pracy potrzebnego tokarzowi na
obróbke, skrawaniem pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu zmierzono czas toczenia tego
detalu u 10 losowo wybranych (niezależnie) tokarzy. Otrzymano nastepuj
ace
wyniki (w minutach): 16.2; 15.4;
,
,
13.8; 18; 15.1; 17.3; 16.8; 15; 15.9; 16.5. Przyjmujac,
że
rozk
lad
czasu
toczenia
tego detalu jest normalny, podać
,
przedzial ufności ze wspólczynnikiem ufności
a) 0.95
b) 0.90
c) 0.99
dla średniego czasu toczenia.
Zad 2.
W pewnym eksperymencie chemicznym bada sie, czas calkowitego zakończenia pewnej reakcji. Dokonano 60
niezależnych doświadczeń i otrzymano z nich średnia, 46 sek. oraz odchylenie standardowe 13 sek. Przyjmujac
,
wspólczynnik ufności
a) 0.99
b) 0.90
oszacować metoda, przedzialowa, średni czas potrzebny w tym doświadczeniu na calkowite zakończenie reakcji.
Zad 3.
W celu oszacowania średniego czasu poświecanego
tygodniowo przez studentów pewnej uczelni na studiowanie w
,
bibliotece, wylosowano niezależnie próbe, 132 studentów i otrzymano z niej nastepuj
ace
wyniki (czas studiowania
,
,
w bibliotece w godzinach):
Czas
Liczba studentów
0−2
10
2−4
28
4−6
42
6−8
30
8 − 10
15
10 − 12
7
Przyjmujac
, wspólczynnik ufności 0.90 oszacować metoda, przedzialowa, średni tygodniowy czas studiowania
studentów w bibliotece.
Zad 4.
W celu zbadania hamowania samochodu po usprawnieniach technicznych wykonano 100 pomiarów, a nastepnie
,
obliczono średni czas hamowania 4.26 sek. i wariancje, z próby 1.1 sek2. Znaleźć realizacje, przedzialu ufności na
poziomie ufności 0.9 dla wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego czasu hamowania. Porównać wyniki
po zmianie poziomu na 0.95. Jak zmienilyby sie, wyniki, gdyby liczność próby zmniejszyć do 25 pomiarów?
2
Zad 5.
Na podstawie danych liczbowych z zadania 3 oszacować metoda, przedzialowa, procent studentów badanej uczelni,
którzy na studiowanie w bibliotece poświecaj
a, mniej niż 6 godzin tygodniowo. Przyjać
, wspólczynnik ufności
,
0.95.
Zad 6.
W celu oszacowania rozrzutu wagi jaj dostarczanych do pewnego sklepu dokonano pomiarów wagi 15 jaj i
otrzymano nastepuj
ace
wyniki (w g): 62, 57, 70, 58, 59, 67, 65, 69, 55, 57, 60, 54, 72, 66, 74. Przyjmujac
,
,
,
wspólczynnik ufności 0.96 zbudować przedzial ufności dla wariancji wagi jaj dostarczanych do sklepu.
Zad 7.
W celu wyznaczenia dokladności przyrzadu
pomiarowego dokonano 7 niezależnych pomiarów pewnej stalej
,
wielkości, uzyskujac
tego
, rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179. Wyznaczyć ocene, wariancji bledów
,
przyrzadu,
jeżeli:
,
a) wartość mierzonej wielkości jest znana i równa 176,
b) wartość mierzonej wielkości jest nieznana.
Przyjać
, poziom istotności 1 − α = 0.90.
Zad 8.
W celu oszacowania struktury procentowej rodzaju kontraktacji w indywidualnych gospodarstwach rolnych
pewnego powiatu wylosowano niezależnie 360 gospodarstw rolnych spośród tych, ktore prowadza, kontraktacje.
,
Otrzymano nastepuj
ace
dane:
,
,
Rodzaj kontraktacji
liczba gospodarstw
zboża i ziemniaki
21
buraki i rośliny przemyslowe
123
bydlo
50
trzoda chlewna
166
Zbudować przedzialy ufności ze wspólczynnikami 0.9 dla poszczególnych wskaźników struktury gospodarstw
prowadzacych
kontraktacje, w tym powiecie.
,
Zad 9.
Obliczyć niezbedn
a, liczbe, pomiarów jakie należy wykonać w celu wyznaczenia 95%-wego przedzialu ufności o
,
dlugości nie przekraczaj.cej 0.08 mm dla wartości przecietnej
grubości tkaniny, wiedzac,
że bledy
pomiarów
,
,
,
maja, rozklad normalny o odchyleniu standardowym s = 0.1 mm
Zad 10.
Ile należy wylosować niezależnie puszek konserwowych do badania jakości pewnej partii konserw, aby przy
wspólczynniku ufności 0.90 oszacować procent zepsutych konserw, który przypuszczalnie jest rzedu
10%, z
,
bledem
maksymalnym
5%?
,
Zad 11.
Ile przebiegów pociagów
pasażerskich w Polsce należaloby wylosować niezależnie do próby, aby z maksymal,
nym bledem
dopuszczalnym
6% oszacować nieznany procent opóźnionych przyjazdów na stacje, docelowa?
,
,
Wspólczynnik ufności 0.90.
3