Nierówności Chernoffa

MPI
Metody Probabilistyczne: Zestaw 8
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
30 listopada 2016
Nierówności Chernoffa
Zadanie 1. Wrzucamy m kul do n koszyków: każda kula trafia do każdego koszyka z
jednakowym prawdopodobieństwem.
∗ Wykaż, że jeżeli m = n ln n, to wszystkie koszyki zawierają co najwyżej O(log n) kul
z prawdopodobieństwem co najmniej 1 − n1 .
∗ Wykaż, że jeżeli m = n, to wszystkie koszyki zawierają co najwyżej O( logloglogn n ) kul z
prawdopodobieństwem co najmniej 1 − n1 .
Zadanie 2. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Niech X będzie zmienną losową zliczającą liczbę orłów. Korzystając z nierówności Chernoffa i nierówności Czebyszewa znajdź
najmniejsze a (zależne od n) takie, że P (|X − E(X)| ­ a) ¬ n1 .
Zadanie 3. Udowodnij, że zrandomizowany algorytm Quicksort sortuje zbiór n liczb w
czasie O(n log n) z dużym prawdopodobieństwem. Rozważ następującą interpretację zrandomiazowanego algorytmu Quicksort. Każdy punkt w algorytmie, w którym wybierany
jest piwot, nazywamy węzłem. Przypuśćmy, że rozmiar zbioru, który chcemy posortować
w konkretnym węźle, wynosi s. Węzeł nazywamy dobrym, jeśli piwot dzieli zbiór na dwie
części, których żadna nie jest większa niż 2s/3. W przeciwnym przypadku, węzeł nazywamy złym. Węzły tworzą drzewo, w którym korzeń zawiera cały zbiór do posortowania,
a jego dzieci reprezentują dwa zbiory utworzone po pierwszym podziale i tak dalej.
∗ Udowodnij, że liczba dobrych węzłów na dowolnej ścieżce od korzenia do liścia w tym
drzewie nie jest dłuższa niż c log n, gdzie c jest pewną stałą.
∗ Udowodnij, że z dużym prawdopodobieństwem (większym, niż 1 − n12 ) liczba wierzchołków na ustalonej ścieżce od korzenia do liścia tego drzewa jest nie większa niż
c0 log n, gdzie c0 jest pewną stałą.
∗ Udowodnij, że z dużym prawdopodobieństwem (większym, niż 1 − n1 ) długość każdej
ścieżki w drzewie jest nie większa niz c0 log n.
∗ Wykorzystaj odpowiedzi na poprzednie pytania do udowodnienia, że czas działania
algorytmu Quicksort wynosi O(n log n) z prawdopodobieństwem co najmniej 1 − n1 .
Zadanie 4. Niech X1 , . . . , Xn będą niezależnymi próbami Poissona takimi, że E[X1 +
. . . + Xn ] = µ. Niech µu będzie takie, że µu ­ µ. Wykaż, że dla dowolnego δ > 0 mamy:
P (X ­ (1 + δ)µu ) ¬ (
eδ
)µu .
(1 + δ)(1+δ)
Zadanie 5. Korzystając z funkcji tworzącej momenty zmiennej losowej o rozkładzie geometrycznym z parametrem p znajdź wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.
Strona 1/1