wahadło empire

mechanika analityczna 1
nierelatywistyczna
L.D.Landau, E.M.Lifszyc „Krótki kurs fizyki teoretycznej”
ver-28.06.07
współrzędne uogólnione
punkt materialny...
wektor wodzący:
r
prędkość:
v =ṙ
przyspieszenie:
a =r̈
liczba stopni swobody:
f
współrzędne uogólnione:
q= q 1 , q2 , . .. q f 
prędkości uogólnione:
q̇= q̇ 1 , q̇ 2 , .. . q̇ f 
równanie ruchu
doświadczenie:
jednoczesna znajomość wszystkich współrzędnych
uogólnionych i prędkości uogólnionych całkowicie
określa stan układu …
i pozwala przewidzieć jego ruch.
znajomość w pewnej chwili q , q̇ określa q̈
związek między tymi wielkościami jest równaniem
ruchu, jest to różniczkowe równanie drugiego rzędu
na funkcję q  t  .
zasada Hamiltona
ogólne sformułowanie praw ruchu:
zasada najmniejszego działania (Hamiltona)
układ mechaniczny jest całkowicie scharakteryzowany
przez funkcję Lagrange’a: L q , q̇ , t 
niech:
q  t 1 =q
1 
q  t 2 =q
2
między tymi punktami układ porusza się tak, że funkcja
zwana działaniem:
t2
S=∫ L q , q̇ , t  dt
t1
przyjmuje wartość minimalną.
równanie ruchu
niech dla q (t ) działanie jest minimalne,
więc dla q (t ) + δ q (t ) działanie jest większe.
funkcja δ q (t ) jest wariacją – jest mała w przedziale (t 1 , t 2 )
– oraz δ q (t 1 ) = δ q (t 2 ) = 0
przyrost działania jest równy:
t
t
2
2
ΔS =∫ L  qδq , q̇δ q̇ ,t  dt −∫ L  q , q̇ , t  dt
t
t1
pierwsza wariacja:
t
1
2
δS =δ ∫ L  q , q̇ , t dt =0
t1
t
czyli:
2
∫  ∂∂ Lq δq ∂∂ Lq̇ δ q̇  dt =0
t1
równanie Lagrange’a
ponieważ
δS =
t2
δ q̇=
d
δq
dt
...Eulera
t2
∂L
∂L d ∂L
δq ∣ ∫ 
−
 δ qdt =0
∂ q̇ t t ∂ q dt ∂ q̇
1
dla dowolnego δq  t 
1
stąd równanie Lagrange’a (równanie ruchu):
w ogólności:
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ q̇i ∂ qi
d ∂L ∂ L
− =0
dt ∂ q̇ ∂ q
(i = 1, 2, ... f)
rozwiązanie zależy od 2f stałych, które
określone są przez wartości początkowe
własności
funkcja Lagrange’a jest addytywna:
lim L=L A L B
równanie ruchu każdej części układu
nieoddziałującego z pozostałymi nie może zależeć od
wielkości odnoszących się do pozostałych części
L równoważne jest αL (wybór jednostek)
własności (cd.)
co więcej:
'
L  q , q̇ , t =L q , q̇ , t 
t2
'
t2
d
f q ,t 
dt
t2
'
S =∫ L dt= ∫ Ldt ∫
t1
t1
t1
f  q , t  - dowolna funkcja
df
 2
1
dt=S  f  q , t 2 − f  q , t 1 
dt
różnica znika przy wariowaniu…
funkcja Lagrange’a jest określona z dokładnością do
addytywnej funkcji będącej zupełną pochodną czasową
dowolnej funkcji f  q , t 
zasada względności
układy inercjalne
= prawo bezwładności
zasada względności (doświadczenie)
takie sama prawa!
+ czas bezwzględny
= zasada względności Galileusza
'
t=t
'
r =r u t
'
v =v u
a =a '
cząstka swobodna
jednorodność czasu i przestrzeni więc
funkcja L nie może zależeć od r ani od t
a izotropia przestrzeni wyklucza
zależność od kierunku.
czyli
2
L=L v 
z zasady Galileusza: ta sama postać we
wszystkich inercjalnych:
'
2
2
L [ v u  ]=L  v 
d
f q ,t 
dt
tylko gdy L = α v 2 α = const
cząstka swobodna (cd)
  v'  u 2 = v ' 22  v'⋅u  u 2
2 d
2
= v '   2  r'⋅
u  u t
dt
L v 2 = L v ' 2 
przyjmuje się:
dla cząstki swobodnej:
dla układu cząstek:
d
2  r'⋅u  u 2 t
dt
α=
m
2
mv
L=
2
L=∑
a
2
m a v 2a
2
m - masa, ma sens dzięki własności addytywności, m > 0
element długości łuku
2
2
2
2
wsp. kartezjańskie:
dl =dx dy dz
m 2
2
2
L=  ẋ  ẏ  ż 
2
wsp. cylindryczne:
dl 2 =dr 2 r 2 d  2 dz 2
L=
wsp. sferyczne:
m 2 2 2
 ṙ r ̇  ż 2 
2
dl 2 =dr 2 r 2 dϑ 2 r 2 sin 2 ϑd 2
L=
m 2 2 2 2 2
 ṙ r ϑ̇  r sin ϑ ̇ 2 
2
energia potencjalna
rozważmy układ odosobniony wewnątrz
którego cząstki mogą oddziaływać ....
okazuje się, że:
2
L=∑
a
m a va
−U  r 1 , r 2 , 
2
czyli energia kinetyczna T minus (!) energia potencjalna…
oddziaływanie rozprzestrzenia się natychmiastowo
(bezwzględność czasu + zasada Galileusza)
NB: co gdy t przechodzi w -t ? odwracalność ruchu.
siła
d ∂L ∂L
=
dt ∂ v a ∂ r a
ma
d v a
dt
=−
∂U
∂ r a
wielkość z prawej ma sens siły!
i uzyskujemy równanie Newtona:
czyli:
 a =− ∂ U
F
∂ r a
 =− grad U
F
a
U jest określone z dokładnością do addytywnej stałej
(zwykle U=0 w nieskończoności)
U(t)
ogólniej:
x a = f a  q1 , q 2 , q f 
ẋ a =∑
k
L=
∂fa
∂ qk
q̇ k
1
∑ a  q  q̇i q̇ k −U  q 
2 i ,k i ,k
jest to forma kwadratowa prędkości…
układ A w polu układu B, który wykonuje zadany ruch
L=T A  q A , q̇ A T B  q B , q̇ B −U  q A , q B 
energie kinetyczne
zależy tylko od czasu
energia potencjalna
L A= T A  q A , q̇ A −U  q A , q B  t  
drugi wyraz zależy jawnie od czasu…
np.
2
ruch cząstki:
równanie ruchu:
mv
L=
−U  r , t 
2
m ̇v=−
∂U
∂ r
na przykład energia potencjalna w polu jednorodnym:
U =− F ⋅r
uwaga: więzy → mniej stopni
swobody
wahadło płaskie
1
T = ml ̇
2
2
2
U = mgh =mgl  1−cos  
U =−mgl cos 
1
L= ml ̇ mgl cos 
2
2
2
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ ̇ ∂ 
d
 ml 2 ̇  mgl sin =0
dt
ml 2 ̈mgl sin =0
g
̈ sin =0
l
małe drgania:
g
̈ =0
l

l
T =2π

g
  t  = A cos  ωt α 
ω=

g
l
ϕ
l
m
mg
prawa zachowania
całki ruchu:
funkcje od q i , q̇ i niezmienne podczas ruchu,
zależą od warunków początkowych
liczba całek: 2f - 1,
stałych dowolnych jest f ale równania ruchu nie zależą jawnie
od czasu (układ odosobniony) i wybór t0 jest dowolny
q i =q i  t t 0 , C 1 ,C 2 , C 2f −1 
q̇ i = q̇i  t t 0 , C 1 ,C 2 ,C 2f −1 
→ C1, C2, ... C2f-1 zależą od
q i , q̇ i
niektóre z całek są ważne, te addytywne,
związane z własnościami przestrzeni
jednorodność czasu
dL
∂L
∂L
∂L
=∑
q̇ i  ∑
q̈ i 
dt i ∂ qi
∂t
i ∂ q̇i
energia:
∂L d ∂L
=
∂ qi dt ∂ q̇ i
 
dL
d ∂L
∂L
d ∂L
=∑ q̇ i
∑
q̈i =∑
q̇ i
dt
dt
∂
q̇
∂
q̇
dt
∂
q̇
i
i
i
i
i
i
d
dt


∂L
∑ q̇ i ∂ q̇ −L =0
i
i
def
układ odosobniony lub stałe pole:
E = ∑ q̇i
i
∂L
−L=const
∂ q̇ i
energia
forma kwadratowa prędkości
L=T  q , q̇ −U  q 
∂L
∂T
∑ q̇i ∂ q̇ =∑ q̇ i ∂ q̇ =2T
i
i
i
i
twierdzenie Eulera o funkcjach jednorodnych
E=T  q , q̇  U  q 
w układzie kartezjańskim:
2
E=∑
a
ma v a
U  r 1 , r 2,  
2
zasada zachowania pędu
r a  r a ε
pęd:
L nie zmienia się
∂L
∑ ∂ r =0
a
a
ε dowolne →
d ∂L d
∂L
∑ dt ∂ v = dt ∑ ∂ v =0
a
a
a
a
def
p = ∑
a
∂L
=const
∂ v a
p=∑ m a v a
a
uogólniona siła
2
m a va
L=∑
−U  r 1 , r 2, 
2
a
∂L
∂U
=−
∂ r a
∂ r a
siła działająca na ciało a
∑ F a =0
a
ogólnie:
∂L
pi=
∂ q̇i
pęd uogólniony
∂L
F i=
∂ qi
siła uogólniona
ṗ i =F i
równanie Lagrange’a
koniec
oni
Joseph-Louis Lagrange,
comte de l'Empire (1736 – 1813)
Giuseppe Lodovico Lagrangia
Sir William Rowan Hamilton
(1805 – 1865)
Lev Davidowich Landau (1908 – 1968), 1962 – Nobel
Ле́в Дави́дович
Ланда́у