Nagłe zmiany wymiarów lub kształtu wzdłuż elementu wywołują w

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 1, 7 (1969) N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W Z K A R B A M I K Ą T O W Y M I O D O W O L N Y C H W Y M I A R A C H C Z Ę Ś C I N A D K A R B A M I JÓZEF M l A S T K O W S K I ( W A R S Z A W A ) 1. Wprowadzenie Nagłe zmia n y wymiarów lu b kształtu wzdłuż elementu wywołują w n i m znaczną nie­
równomiernoś ć rozkładu naprę ż eń . M oż e on a być wywołana przez ws zelkie ka r b y, p o d ­
toczenia i szczeliny n a p ow ier zch n i prę ta, przez nacię cia gwintu , ś lady p o obróbce wió­
rowej lu b inne przyczyny. N a dnie tych karbów wystę pują zawsze zna cznie wię ksze n a ­
prę ż enia, niż w całym pozostałym przekroju p op r zeczn ym. Pr zy obcią ż eniach stałych lu b zmien n ych , ale o niewielkiej liczb ie zmia n obcią ż enia w całym okresie" pra cy elementu , o znis zczeniu bę dą decydować bą dź to odkształcenia plastyczne, bą dź to kr u ch e pę knię cia powstają ce przy pewnej granicznej wielkoś ci ob ­
cią ż enia. T o obcią ż enie n a zyw a my noś noś cią graniczną . Stosowane metale kons tru kcyjne mają zw ykle dob re własnoś ci plastyczne i pę knię cie powstaje w n ich dopiero p o rozwinię ­
ciu się duż ych odkształceń pla s tycznych. Z tego wzglę du a n a liza noś noś ci granicznej opa rta n a założ eniach teorii plastycznoś ci m a duż e znaczenie pra ktyczne. D l a płaskich prę tów osłabionych ob u s tronnie k a r b a mi, teoretyczna noś noś ć gr a n iczn a moż e być w yzn a czon a w dwóch s kra jnych p r zyp a d ka ch , mia n ow icie d l a płaskiego s ta nu odkształcenia ora z d l a płaskiego stanu naprę ż enia. D o warunków płaskiego s ta nu odkształcenia zbliż amy się , gdy gruboś ć 2b (rys. 1) prę ta jest dostatecznie duż a w porównaniu z w ymia r em 2h. Przeciwnie, gdy gruboś ć 2b jest mała, w prę cie wystę pują w a r u n k i płaskiego s ta nu naprę ż enia. Komp l etn e rozwią ­
za nie d l a płaskiego s ta nu odkształcenia jest moż liwe, o ile stosu nek r a mion c/ h jest ta k duż y, ż e pole lin ii poś lizgów leż y całkowicie wewną trz k on tu r u prę ta [1]. Jeż eli jed n a k stosu nek r a mion jest mały, rozwią zanie komp letn e jest n a d a l nieznane. Moż liwe jest jedynie okreś lenie górnej i dolnej oceny noś noś ci granicznej. W w ielu rzeczywis tych kon s tr u kcja ch w ymia r 2b prę ta nie jest a n i n a tyle mały, a b y powstał płaski stan naprę ż enia, a n i n a tyle duż y, a b y wytworzył się płaski stan odkształ­
cenia . N ies tety, ob ecnie teoria nie jest w stanie dać od p ow ied zi, j a k a bę dzie noś noś ć gra ­
n iczn a przy poś rednich gruboś ciach prę ta. Powstaje wob ec tego waż ny p r ob lem, kiedy teoretyczne schematy płaskiego s ta nu naprę ż enia i płaskiego s ta nu odkształcenia mogą stanowić dob re przybliż enie rzeczywis tych warunków. 82 J . MlASTKOW SKI Próbę teoretycznej analizy tego za ga dnienia podją ł D R U CKER [2] w op a r ciu o gra nicz­
ne twierdzenia teorii plastycznoś ci. A n a l i za ta ka , polegają ca n a dob orze od p ow ied n ich pól kinema tycznie lu b statycznie dopu s zcza lnych, moż e dać jedynie przybliż oną ocenę wielkoś ci 2b, niezbę dnej d la pows ta nia stanu zbliż onego d o płaskiego stanu odkształce­
nia . Całkowicie pewne informacje mogą być u zys ka ne jedynie w sposób doś wiadczalny. Ż U KO WSKI [ 3 , 4, 5 ] badał wpływ gruboś ci 2b n a noś noś ć prę ta z os trym ka r b em ką to­
w ym i wykazał, ż e d la s tos u n ku b/ h > 4, zarówno wielkoś ć siły zrywają cej, odniesionej d o jed n os tki p ow ier zch n i, j a k i wartoś ć naprę ż eń u mownej gra nicy plastycznoś ci p r a k­
tycznie nie u lega zmia nie. W pra cy SZCZEPIŃ SKIEG
O i MIASTKO WSKIEGO [ 6 ] b a d a n o prę ty z ka r b em o zaokrą ­
glonych naroż ach i s twierdzono, ż e d la s tos u nku b/ h > 2 pra ktycznie realizuje się płaski stan odkształcenia. Wystarczają ca wartoś ć s tos u n ku b/ h = 3 w yn ik a z badań przepro­
w a d zon ych w pra cy FIN D LEY'A i D RU CKERA [ 7 ] , w której za jmowa no się prę tami z ka r ­
b em os trym i o zaokrą glonych naroż ach. A u tor zy zaznaczają jedna k, ż e jeszcze d la b/ h = = 6 , 6 7 istnieje wpływ gruboś ci 2b prę ta. W pra cy SZCZEPIŃ SKIEG
O i MIASTKO WSKIEGO [ 8 ] p r zep r ow a d zon a została teoretyczna i doś wiadczalna a na liza noś noś ci granicznej rozcią ganych prę tów z k a r b a mi okrą głymi i prostoką tnymi o dowolnej gruboś ci 2b i zmiennej szerokoś ci czę ś ci n a d ka r b em 2c. O b s zerny przeglą d pra c doś wiadczalnych i teoretycznych dotyczą cych noś noś ci gra ­
nicznej rozcią ganych płaskich i os iowo­ s ymetrycznych prę tów z k a r b a mi został p od a n y w pra cy SZCZEPIŃ SKIEG
O [ 9 ] . N a pods ta wie wyników doś wiadczalnych moż na stwierdzić , ż e obcią ż enie graniczne ob licza ne przy założ eniu idealnie plastycznego materiału m a pra ktyczne znaczenie d l a pla s tycznych meta li. W y n i k a z n ich również , ż e płaski stan odkształcenia realizuje się w próbkach z k a r b a mi wówczas, gdy gruboś ć prę ta 2b jest k il k a razy wię ksza o d w ymia r u 2h w najwę ż szym p r zekr oju . Należ y jedna k zaznaczyć , ż e wartoś ć X = b/ h jest w duż ym s topniu zależ na o d kształtu k a r b u . W przedstawionej pra cy p od a n o górne oceny noś noś ci granicznej d l a prę tów z ka r ­
b a mi ką towymi o poś redniej gruboś ci i zmien n ym s tos u n ku szerokoś ci czę ś ci n a d ka r ­
b em 2c d o w ymia r u 2h. D a n e z obliczeń porównano nastę pnie z w yn ik a mi doś wiadczeń . 2. Sposób przeprowadzenia doś wiadczeń B a d a n ia próbek p r zep r ow a d zon o n a hydra u licznej ma s zynie wytrzymałoś ciowej. Prób ­
k i , w których w ymia r 2c był wię kszy o d З А , były specjalnie przygotowa ne w sposób p o­
ka za n y n a r ys u n ku 1. Czę ś ci przezna czone d o mocow a n ia w u ch w yta ch zr yw a r ki były frezowane, a b y zapewnić osiowe rozcią ganie i unikną ć moż liwoś ci zgin a n ia w płaszczyź ­
nie x, y. Odkształcenia mier zon o za pomocą dwóch tensometrów mech a n iczn ych u mies zczo­
n ych p o o b u s trona ch próbki, n a b azie pomia rowej 60 m m . O d czyty pomiarów odkształ­
ceń p r ow a d zon o z dokładnoś cią d o 0,01 m m . M ier zen ie odkształceń n a dwóch przeciw­
ległych p ow ier zch n ia ch próbki z = ± 6 pozwalało sprowadzić d o m i n i m u m efekty w y­
nikają ce z ewentu alnego zgin a n ia w płaszczyź nie л ', z. Wydłuż enie u s ta lono nastę pnie j a k o wartoś ć ś rednią ze wskazań ob u tensometrów. N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W 83 S twierdzono, ż e powyż sza metod a p r zep r ow a d zen ia doś wiadczeń zapewniała otrzy­
myw a n ie d ob r ych wyników doś wiadczalnych. O tr zyma n e w ten sposób kr zyw e obcią ż e­
nie—odkształcenie cechują się duż ą regularnoś cią przeb iegu . Baza pomiarowa
j m
Rys . 1 W zależ noś ci o d kształtu i rodza ju materiału wykres y obcią ż enie—wydłuż enie róż nią się s w oim przeb iegiem. Typ ow e kr zyw e otrzymywa ne w tej pra cy p oka za n o n a rys . 2. Pros ty począ tkowy odcinek OA każ dej krzywej od p ow ia d a pełnemu s ta nowi sprę ż ystemu prę ta. N iezn a czn a k r zyw izn a w ykr es u powyż ej p u n k tu A łą czy się ze wzros tem plastycz­
Al [mm] Rys . 2 n ych obszarów, podczys gdy sprę ż ysta czę ś ć ś rodkowa najwę ż szego p r zekr oju poprzecz­
nego za p ew n ia małe całkowite wydłuż enie. S w ob od n e pla s tyczne płynię cie za czyn a się w ch w ili, kiedy ob szary plastyczne zbiegają się w os i s ymetrii prę ta. M o m e n t ten jest wy­
raź nie w id oczn y w p u n kcie В n a krzywej 1. B a r d zo czę sto momen t ten, w którym cały przekrój osią ga pełny stan pla s tyczny jest mało w id oczn y (patrz k r zyw a 2 n a rys . 2). J . MlASTKOW SKI 84 W ta kich p r zyp a d ka ch przyję to w pra cy umowną granicę plastycznoś ci, którą utoż sa­
mia n o z p u n k tem B, w którym moduł stycznej osią gał wartoś ć 0,3 tg a. Przez a ozna czo­
no ką t, który tworzy począ tkowa p r os tolin iow a czę ś ć w ykr es u z osią wydłuż eń . 3 . Teoretyczna górna ocena noś noś ci granicznej Załóż my, ż e P* ozna cza nieznaną rzeczywistą wartoś ć gra nicy plastycznoś ci. G órna ocena P tej wartoś ci P* moż e być okreś lona przez porównanie pra cy wykona nej przez g
siłę zewnę trzną P d o wewnę trznej energii dysypowanej przez d ow oln y, kinema tycznie dopu s zcza lny, schemat odkształcenia plastycznego [10]. Współczynnik obcią ż enia gra ­
nicznego d la prę ta z k a r b em moż e być okreś lony j a k o stosu nek / = P*/ Po, gdzie P = 0
— Skbh jest granicą plastycznoś ci gładkiego prę ta ze stałym p op r zeczn ym przekrojem 4bh. G órna ocena / jes t równa: (3.1) fg = PJPo­
N a rys. 3 p oka za n o cztery róż ne, kinema tycznie dopu s zcza lne, mech a n izmy pla s tycz­
nego znis zczenia prę tów z ką towymi wycię ciami. Jest oczywiste, ż e te sposob y odkształ­
cenia moż na również stosować d o okreś lenia górnej oceny noś noś ci granicznej prę tów z wycię ciami o in n ych kształtach. W s zys tkie w zor y n a górną ocenę f okreś lone zostały przy założ eniu w a r u n k u pla s tycz­
g
noś ci Tr es ki. M e c h a n i zm I przeds ta wia rozwią zania metodą lin ii poś lizgów [11] d l a płaskiego stanu odkształcenia. D l a p r zyp a d k u tego (A = b/ h ­> c o ) jest to komp letn e rozwią zanie o ile szerokoś ć prę ta wyraż ona przez x = c/ h jest ta k duż a, ż e przedłuż enie siatki linii poś liz­
gów w ka rb ie mieś ci się całkowicie wewną trz za rys u prę ta. Moż na łatwo wykazać , ż e wszyst­
kie kinema tycznie dopu s zcza lne w a r u n k i bę dą również spełnione, jeż eli szerokoś ć prę ta wyraż ona przez к = c/ h jest mniejsza o d wymaganej przez teorię i jeż eli stosu nek A = = b/ h jest ogra niczony. W ten sposób rozwią zania lin ii poś lizgów mogą być uważ ane j a k o kinema tycznie dopu s zcza lne s pos ob y odkształcenia d l a prę tów o poś rednich s tos u n­
k a ch c/ h i b/ h, dają c d la n ich górną ocenę nieznanej wartoś ci rzeczywistej gra nicy pla s tycz­
noś ci. M e c h a n i zm II [12] s ta nowi proste ś cinanie wzdłuż za kres kowa nej płaszczyzny p ok a ­
zanej n a rys. 3. G órna czę ś ć prę ta n a d płaszczyzną p or u s za się , j a k ciało sztywne w k ier u n k u równoległym d o płaszczyzny p r zekr oju , podcza s gdy d ol n a czę ś ć moż e być tr a ktow a n a j a k o n ier u ch oma . Optymalną wartoś ć górnej oceny gra nicy plastycznoś ci otrzymu jemy, jeż eli płaszczyzna przekroju tw or zy z osią prę ta ką t 45°. G órna ocena współczynnika obcią ż enia jest niezależ na o d s tos u n ku 1 = b/ h i jest równa (3.2) ila
U ora z (3.3) gdzie к — c/ h. • ud f\ tgw tg w — 1 N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W 85 N a ką t gra niczny co" łatwo moż na znaleź ć nastę pują cą zależ noś ć Rys . 3 M e c h a n i zm III [2] p oka za n y n a rys . 3 polega n a r u ch u dwóch s ztywnych kos tek u tw or zon ych przez dwie płaszczyzny p op r ow a d zon e p o d ką tem 45° d o os i prę ta or a z przez dwie płaszczyzny równoległe d o os i prę ta przechodzą ce przez d n a karbów. D l a 86 J . MlASTKOW SKI wię kszoś ci kształtów k a r b u , a wś ród n ich i d l a karbów ką towych, górną ocenę wartoś ci / okreś lamy ze w zor u (3.5) ' + M e c h a n i zm I V przeds ta wia pros ty przekrój wzdłuż płaszczyzny za kres kowa nej, two­
rzą cej ką t 45° z osią prę ta. Płaszczyzna p r zekr oju jest p ok a za n a n a rys . 3. M e c h a n i zm ten daje najlepszą górną ocenę współczynnika obcią ż enia / ' d l a małych X = b/ h. W ob ec v
tego, ż e p ow ier zch n ia p r zekr oju zależ y o d kształtu wycię cia, górna ocena współczynnika obcią ż enia f™ mu s i być ob licza n a d l a każ dego szczególnego p r zyp a d k u oddzielnie. D l a karbów ką towych w zor y n a współczynnik obcią ż enia przyjmują postać (3.6) f/ ° = * ­ ~ ( *
l
2
­ 2 * + l ) t g w d l a A M * ­ l ) t g c o ora z (3.7) / » ' » = l + I;.ctgo> d l a ?.ą (x­\)tga>. 4 . Teoretyczna dolna ocena noś noś ci granicznej Rozwa ż my teraz waż ny przypa dek prę tów z wycię ciami, d l a których wartoś ć s tos u n ku wymiarów / 1 p ozw a la n a analizę w płaskim stanie odkształcenia, ale mają cych mały h i
_L Rys . 4 współczynnik к , = c/ h. D l a ta kich prę tów moż emy okreś lić nie tylko górną ocenę f z me­
e
ch a n izmu II, ale takż e wyznaczyć orientacyjną dolną ocenę z odpowiedniego statycznie dopu s zcza lnego p ol a naprę ż eń , zakładają c, ż e w prę cie ma my płaski stan odkształcenia. Ocenę taką moż na wyznaczyć n a przykład n a pods ta wie p ol a lin ii poś lizgu poka za nego n a rys. 4. 87 N OŚ NOŚ Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W Rozp a tr zmy przypa dek prę ta z k a r b em ką towym o ką cie 2co i małej szerokoś ci 2c (rys. 4). Jesteś my w stanie zawsze znaleź ć ta ki ką t 2co* k a r b u ką towego, d l a którego prze­
dłuż enie p ol a lin ii poś lizgu ob liczone w sposób p oka za n y przez BISH O PA [1], leż y całko­
wicie w kontu rze rozpa trywa nego prę ta o ką cie 2co i szerokoś ci 2c, j a k p oka za n o n a rys. 4. \2u) \
\ *
c
. 1 I 0 1I
10 i 30 1I
1I
. 1I
Г I
I
BO
w
[°] 1 1 90 Rys . 5 Przyjmują c tu , ż e materiał n a zewną trz p ol a lin ii poś lizgu jest w ol n y o d naprę ż eń , moż e­
my okreś lić dolną wartoś ć współczynnika obcią ż enia f równą rzeczywistej wartoś ci tego d
p a r a metr u d l a prę ta z k a r b em o ką cie 2a>*. W ten s a m sposób moż na okreś lić dolną oce­
nę d l a in n ych kształtów karb ów. N a rys . 5 p oka za n o wykres , wynikają cej z przedłuż eń B is h op a szerokoś ci 2c, w yr a ­
ż onej przez pa ra metr y. w fu nkcji ką ta co dla " karbów ką towych, p od a n y przez M C C L I N ­
TO CKA w pra cy [13]. 5. Noś noś ć graniczna prę tów z wycię ciami ką towymi Rozwa ż my teraz prę t z k a r b em ką towym (rys. 1). Kształt k a r b u jest okreś lony przez ką t co. G r a n i c a plastycznoś ci w tym p r zyp a d k u jest zależ na o d trzech niezależ nych p a ­
rametrów 0 < c o < ^ , 0 < (A = b/ h) < oo, 1 < {x = c/ A ) < c o . 88 J . MlASTKOW SKI N a rys . 6 p oka za n o n a płaszczyź nie А , к ob szary, w których poszczególne mecha niz­
my plastycznego znis zczenia z rys. 3 dają najniż szą ocenę współczynnika obcią ż enia. Ka ż dy ob s za r jest ozna czony n u mer em odpowiadają cym ozn a czen iom od p ow ied n ich me­
chanizmów n a rys . 3. Rozmies zczenie od p ow ied n ich obszarów p od a n o n a rys. 6 d l a p a ­
r a metr u co = 30°. D l a in n ych wartoś ci pa ra metru co zmien ia się położ enie p u n k tu В ora z ulegają zmia nie wielkoś ci poszczególnych obszarów p r zy n iezmien ion ym układzie wy­
Rys . 6 kres u . Tr a jektor ia p u n k tu В jest p oka za n a linią (czę ś ciowo przerywaną ), n a której za ­
zn a czon o wartoś ci co o d 0° d o 90° co 10°. W miarę w zr os tu ką ta co o d 0° aż d o co p u n k t g
В przes u wa się p o lin ii prostej, a nastę pnie o d położ enia odpowiadają cego ką towi co
g p o lin ii krzywej dą ż ą c d o położ enia granicznego A = 2 i x = 1 d l a co ­* л / 2. O b s za r I od p ow ia d a mech a n izmow i lin ii poś lizgów I i w tym zakresie A, y, najmniej­
sza wartoś ć górnej oceny współczynnika obcią ż enia moż e być okreś lona ze w zor u H I LLA [ П ] , (5.1) f\= <p(co)= [ l + ( § ­ » ) ] • Jest to zależ noś ć lin iow a , której wykres przeds ta wiono n a rys. 7. G órna ocena / w p ol u II w yzn a czon a d l a II s pos ob u znis zczenia okreś lona jest przez wzór (3.2). W p ol u III, w którym najlepszą górną ocenę daje mech a n izm III, współczynnik ob ­
cią ż enia okreś lamy ze w zor u (3.5). Należ y zwrócić uwagę , ż e w ob szarze ogr a n iczon ym N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W 8 9 osią x i lin ia mi OBC mech a n izm III obowią zuje d l a 0 < co < co , na tomia s t d l a co < e
e
< co < ж \2 niż szą wartoś ć w tym ob szarze daje mech a n izm I V według w zor u (3.7). W p r o ­
j/2 sty sposób moż na znaleź ć , ż e co = arcctg­ ^r— x 54°44'. g
Rys . 7 L in ie oddzielają ce poszczególne ob szary n a rys. 6 mają nastę pują ce równania we współ­
rzę dnych A, x. L i n i a AB x = 2c)(a))—1. L i n i a В С a) A = 2j/2 [<p(co)— 1] d l a 0 < co < co , b) A = 2[<p(co)— ljtgco d l a * co„ < co < т г /2. a) x = 1 + ­ L _ A d l a 0 < co < co , b ) к = 1 + Actgco d l a ojg < co < я /2. e
L i n i a OB e
6. W yn i k i doś wiadczalne Doś wiadczenia p r zep r ow a d zon o n a sześ ciu s eria ch próbek. Tr zy serie próbek z k a r ­
b a mi o ką cie co = 60° ora z trzy serie o ką cie co = 30°. W każ dej z tych serii p r zy za ch o­
w a n iu stałej wartoś ci co zmien ia n o pa ra metr A = b/ h utrzymują c stały stosu nek x = c/ h 90 J . MlASTKOW SKI lu b zmien ia n o x przy u stalonej wartoś ci Я . N a rys. 8 i 9 p od a n o wykres y mechanizmów plastycznego znis zczenia n a płaszczyź nie X, x d l a co = 60° i co = 30°. N a r ys u n ka ch tych p oka za n o nastę pnie lin ia mi p r zer yw a n ymi z k r o p k a m i przecię cia, które zostały zweryfi­
kow a n e doś wiadczalnie. D w i e serie próbek w ykon a n o ze s topu a l u m i n i u m P A 2 ( A l M g 3 ) w stanie mię kkim. S top ten cechuje się b a rdzo d ob r ymi własnoś ciami pla s tycznymi i jest s tos owa ny n a ś red­
n io obcią ż one elementy kon s tr u kcji lotniczych, okrę towych i pojazdów mech a n iczn ych . A Rys . 8 Rys . 9 Z na jdu je również szerokie za s tos owa nie w urzą dzeniach przemysłu chemicznego i spo­
ż ywczego ora z w elementach kon s tr u kcji b u d ow la n ych . Pozostałe cztery serie próbek w yk on a n o ze s topu a l u min iu m P A 4 ( A l M g l S i l ) w stanie przes yconym i stę ż onym. S top ten m a dob re własnoś ci plastyczne, ale p o d wzglę dem własnoś ci wytrzymałoś cio­
w ych róż ni się o d s topu P A 2 w sposób za s a dniczy. Jest stosowany d o w yr ob u elementów kons tru kcji lotniczych i pojazdów mecha nicznych. Pr zed s ta w ion a w pra cy teoretyczna a n a liza noś noś ci granicznej od n os i się tylko d o gra nicy plastycznoś ci. Jednakż e w doś wiadczeniach oprócz wyzna czenia gra nicy plastycz­
noś ci, mier zon o również ma ks yma ln e obcią ż enia zrywają ce Р
sach wytrzymałoś ć nominalną R = P JF , n
1M
0
т
й х
, podają c przy wykre­
gdzie F — jest p olem począ tkowego prze­
0
kr oju poprzecznego próbki w najwę ż szym miejscu k a r b u . P omia r y ma ks yma ln ych ob ­
cią ż eń zrywają cych elementów z k a r b a mi i ich a n a liza dostarczyły informa cji o duż ym zna czeniu p r a ktyczn ym. N a rys . 10 i 11 p oka za n o w yn ik i doś wiadczeń d l a pierwszej serii próbek o stałym p a ­
ra metrze charakteryzują cym kształt k a r b u co = 60°. W serii tej stałą wartoś ć miał rów­
nież pa ra metr X = 1, przy róż nych szerokoś ciach czę ś ci n a d ka r b em wyraż onych przez x = c/ h. Pa r a metr om tym od p ow ia d a lin ia k­k n a rys. 8. Próbki w ykon a n e zostały ze s topu a l u m i n i u m P A 2 . N a rys. 10 p od a n o począ tkowe od cin k i wykresów naprę ż enia P/ F w fu nkcji wydłuż enia ora z wartoś ci naprę ż eń n omin a ln ych R„ = P JF 0
1M
0
d l a próbek z k a r b a mi o róż nych x ora z d l a próbki b ez ka r b u , d l a której x = 1. Zależ noś ci mię dzy granicą plastycznoś ci a pa ra metrem x są poka za ne n a rys . 11 r a zem z teoretycznymi lin ia mi. P u n k ty ozna czone kółkami odpowiadają doś wiadczalnym wartoś ­
c i o m współczynnika obcią ż enia gra nicznego d l a prę tów z k a r b a mi. O tr zyma n o je dzielą c 91 N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W wartoś ci granicy plastycznoś ci d l a prę tów z k a r b a mi przez odpowiednią wartoś ć granicy plastycznoś ci d l a prę ta b ez k a r b u . Z rys. 8 w id zimy, ż e najlepsza teoretyczna górna ocena noś noś ci granicznej d l a p r zekr oju k­k w yn ik a z mechanizmów II i IV . P/ F
0 Rys . 10 Materiał: stop aluminium PA 2 (Al Mg3) Górna ocena \ o Punkty doś wiadczalne Л = b/ h ­ IDO ш = В 0
а x ­ c/ h Rys . 11 Identyczne doś wiadczenia p r zep r ow a d zon o d l a dru giej serii próbek w yk on a n ych ze s topu a l u min iu m P A 4 o pa ra metra ch wynikają cych z p r zekr oju m­m n a rys. 8. W y n i k i tych badań przeds ta wiono n a rys. 12 i 13. Najlepszą górną ocenę d l a tego p r zyp a d k u otrzymu jemy z mechanizmów znis zczenia plastycznego II i I. 92 J . MlASTKOW SKI W trzeciej serii próbek d l a u s ta lonych wartoś ci co = 60° i x = 3,40 b a da no wpływ gruboś ci, okreś lony pa ra metrem X = b/ h, n a noś noś ć graniczną . Należ y zwrócić uwagę , ż e к przyję to tu znacznie wię ksze niż to, które w yn ik a z teorii. Z rys. 5 widać , ż e d la co — Rys . 12 x = c/ h Rys . 13 = 60°, H w in n o mieć wartoś ć 2,35. W doś wiadczeniu tym s pra wdzono przekrój n­n n a rys. 8. W y n i k i badań przeds ta wiono n a rys . 14 i 15. Najlepszą górną ocenę noś noś ci gra ­
nicznej d l a tych parametrów dają n a m mech a n izmy I V i I. N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W 9 3 Rys . 14 Tr zy nastę pne serie próbek miały k a r b y o j ed n a k ow ym pa ra metrze co = 30°. D l a tego typ u karbów, rozkład mechanizmów plastycznego znis zczenia n a płaszczyź nie X, x p o k a ­
za no n a rys. 9. Weryfikację doś wiadczalną przekroju p­p n a rys. 9 p r zep r ow a d zon o n a 1 i Materiał: stop aluminium PA 4 (AIM^ jtSft) 1 Górna ocena i —
1 o
2h x o Punkty doś wiadczalne 2ш Г X • ­• c/ h = 3.40 — ~
л ) = Б 0° 2c
» 0 4
Л ­t/h
5 Rys . 15 próbkach w yk on a n ych ze s topu a l u min iu m P A 2 . W y n i k i badań p od a n o n a rys . 16 i 17. N a jleps ze górne oceny noś noś ci granicznej wynikają d l a tych parametrów z mechanizmów II i III. J . MlASTKOW SKI 94 W serii pią tej, próbki w ykon a n o ze s topu a l u min iu m P A 4 . Cechował je zna cznie wię k­
szy pa ra metr Я w porównaniu z próbkami serii czwartej. O d p ow ia d a to linii r­r n a rys. 9. W y n i k i doś wiadczeń przeds ta wiono n a rys. 18 i 19. Najlepszą górną ocenę noś noś ci gra ­
Pl F
[kp/mm ] B 2
Rys . 16 Materiał: stop aluminium PA 2 (AIMg3) Górna ocena Punkty doś wiadczalne Л = b/ h ­ 100 La U) ­ 30" 3 A Ы x = c/ h Rys . 17 nicznej dają mech a n izmy II i I. D olną ocenę noś noś ci] granicznej okreś lono, ta k j a k d l a dru giej serii, w sposób p oka za n y n a rys . 4. D l a x = 4,75 d ol n a i górna ocena noś ­
noś ci granicznej d l a płaskiego stanu odkształcenia pokrywają się . W serii szóstej próbki miały stały pa ra metr co = 30° i stałą wartoś ć x = 2,60 p r zy zmieniają cej się gruboś ci wyraż onej przez Я = b/ h. Pa r a metr y te odpowiadają lin ii s­s N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P R Ę TÓ W 95 Rys . 18 Materiał: stop aluminium PA A (Al Mg 1 Si 1) Górna ocena Rys . 19 n a rys. 9. W y n i k i badań tej serii próbek za mies zczono n a rys . 20 i 21. J a k w yn ik a z rys . 9, najlepsze górne oceny wyzna czone zostały z mechanizmów III i II. Porównują c u zys ka ne w yn ik i n a próbkach z materiału P A 2 (rys. 11 i 17) z w yn ik a mi otr zyma n ymi n a próbkach w yk on a n ych ze s topu a l u min iu m P A 4 (rys. 13, 15, 19 i 21), 96 J . MlASTKOW SKI moż na stwierdzić , ż e zgodnoś ć wyników doś wiadczalnych jest lepsza d la materiału b ardziej plastycznego, j a k i m jest stop P A 2 . Z dru giej s trony widać duż y wpływ samej geometrii k a r b u . N a rys. 7 na nies iono p u n k ty doś wiadczalne odpowiadają ce najwię kszym wartoś ­
c i o m rzeczywistego współczynnika noś noś ci granicznej u zys ka ne d la karbów o ką cie co = 30° i co = 60°. W id zimy, ż e o ile d l a k a r b u o ką cie co = 60° róż nica mię dzy w yn ik a mi teoretycznymi i doś wiadczalnymi w yn os i « 4, 5%, to d l a k a r b u o ką cie co = 30° róż nica ta wynos i x 16,5%. P/ Ę , jkp/ mm ] 2
X" c/ h =3,40 Ш
­ Б 0° Л = b/ h (zmienne) 2h Materiał: stop aluminium PA4 (At Mg 1 Sit) n M
2c 40 Rys . 20 Materiał: stop aluminium PA A (Al Mg1 Si 1) .Górna ocena o Punkty doś wiadczalne 2w X = c/ h = 2,60 2c U) = 30" •A A = b/h Rys . 21 N O Ś N O Ś Ć G R A N I C Z N A R O Z C I Ą G A N Y C H P RĘ TÓ W 9 7 N a rys. 11, 13, 15, 17, 19 i 21, oprócz punktów odpowiadają cych granicy plastycznoś ci, na nies iono krzyż ykami p u n kty d la naprę ż eń n omin a ln ych R„ = Р
т л х
P u n k ty te otrzy­
/ Р ­ 0
ma n o przez odniesienie wartoś ci R d l a próbki z k a r b em d o wartoś ci R otrzymanej d l a n
n
próbki b ez ka r b u . D l a ws zys tkich b a d a n ych próbek stosu nek ten jest wię kszy o d jednoś ci, ale mniejszy od od p ow ied n ich rzeczywistych współczynników obcią ż enia granicznego ob l i­
czon ych d l a gra nicy plastycznoś ci. N a ws zys tkich r ys u n ka ch p u n kty ozna czone krzyż yka­
mi leż ą poniż ej punktów odpowiadają cych granicy plastycznoś ci. Róż nica mię dzy o b u tymi współczynnikami zależ y od rodza ju materiału ora z od geometrii ka r b u i jest tym wię ksza, i m mniej plastyczny materiał i b ardziej ostry ka r b . 7. W n ios ki W y n i k i doś wiadczeń pokazują , ż e zgodnoś ć mię dzy teoretyczną górną oceną gra nicy plastycznoś ci a jej rzeczywistą wartoś cią jest zupełnie d ob r a d l a s topu a l u min iu m o d ob r ych własnoś ciach pla s tycznych. Jednocześ nie widać wpływ geometrii ka r b u i własnoś ci pla s ­
tycznych materiału n a zgodnoś ć wyników teoretycznych i doś wiadczalnych. Jest b a rdzo interesują ce, ż e wartoś ć naprę ż enia nomina lnego R = P jFo n
mi
wzra s ta wra z ze wzros tem x d o pewnej okreś lonej wartoś ci ma ks yma lnej i dalej już d la wzrastają ­
cych x nie u lega zmia nie. W idać wyraź nie, ż e stosu nek naprę ż enia nomina lnego R„ wszyst­
k ich próbek z ka r b em d o naprę ż enia R próbki b ez k a r b u jest d l a ob u materiałów wię kszy n
od jednoś ci, ale jednocześ nie mniejszy o d od p ow ied n ich stosunków ob liczon ych d la gra nic plastycznoś ci. N a r ys u n ka ch wyraż a się to tym, ż e p u n k ty ozna czone krzyż ykami leż ą zawsze niż ej o d od p ow ied n ich punktów ozna czonych kółeczkami. D l a mniej plastycznego materiału i ostrzejszego ka r b u , róż nica mię dzy ob u powyż szymi zależ noś ciami jest wię ksza. Jeż eli ch od zi o wpływ gruboś ci próbki n a noś noś ć graniczną , to z p r zep r ow a d zon ych doś wiadczeń w yn ik a , ż e d l a A = b/ h > 2 zarówno przyros t gra nicy plastycznoś ci, j a k i ma ks yma lnej siły zrywają cej jest min ima ln y. Z n a czy to, ż e w próbkach z k a r b a mi o wys ­
tarczają co duż ym s tos u n ku x d l a A > 2 realizuje się stan zbliż ony d o płaskiego stanu od ­
kształcenia. Litera tu ra cytowana w tekś cie 1. J . F . W . B I S H O P , On the complete solution to problems of deformation of a plastic­rigid material, J . M e c h . Phys. S olids , 2 (1953), 43­ 53. 2. D . C . D R U C K E R , On obtaining plane strain or plane stress conditions in plasticity, Proc. 2nd U . S. N a t. C on gr . A p p l . M ech . , 1954, 485­ 488. 3. В . С . Ж У К О В С К И Й , Р а с п р е д е л е н и е д е ф о р м а ц и й и н а п р я ж е н и й в п л о с к и х н а д р е з а н н ы х с т е р ж н я х в с в я з и с о б ъ е м н о с т ь ю н а п р я ж е н н о г о с о с т о я н и я , П р о б л е м ы п р о ч н о с т и в м а ш и н о с т р о е н и и , В ы п . 2, И з д . А Н С С С Р , М о с к в а 1959. 4. В . С . Ж У К О В С К И Й , О к о э ф ф и ц и е н т е у с и л е н и я и х а р а к т е р е р а с п р о с т р а н е н и я п л а с т и ч е с к и х з о н в н а д р е з а н н ы х с т е р ж н я х , И з в . А Н С С С Р , О
Т Н
, 5, 1958, 116­ 119. 5. В . С . Ж У К О В С К И Й , Д е ф о р м и р о в а н н о е с о с т о я н и е и п р о ч н о с т ь п л о с к и х н а д р е з а н н ы х с т е р ж н е й п р о и з ­
в о л ь н о й т о л щ и н ы , Р а с ч е т ы н а п р о ч н о с т ь , В ы п . 9, М
а ш
г и з ., М о с к в а 1963, 2 3 1 ­ 2 5 2 . 6. W . S Z C Z E P I Ń S KI , J . M I A S T K O W S K I , Doś wiadczalna analiza noś noś ci granicznej prę tów z karbem, Rozp r . Inż yn. 1 3 (1965), 637­ 652. rozcią ganych płaskich J . M l A S T K O WS K I 9 8 7. W . N . F I N D L E Y , D . C . D R U C K E R , An experimental study of plane plastic straining of notched bars, J . A p p l . M ech . , 3 2 (1965), 493­ 503. 8. W . S Z C Z E P I Ń S KI , J . M I A S T K O W S K I , Plastic straining of notched bars with intermediate thickness and small shoulder ratio, Int. J . N on ­ L in ea r Mecha nics , 3 (1967), 83­ 97. 9. W . S Z C Z E P I Ń S KI , Przeglą d prac dotyczą cych noś noś ci granicznej rozcią ganych prę tów z karbem, M ech . Teoret. Stos., 3, 3 (1965), 51­ 78. 10. D . C . D R U C K E R , H . J . G R E E N B E R G , W . P R A G E R , Extended limit design theorems for continous media, Q . A p p l . M a th . , 9 (1952), 381­ 389. 11. R . H I L L , The plastic yielding of notched bars under tension, Q u a rt. J . M ech . A p p l . M a th . , 2 (1949), 40. 12. W . P R A G E R , P . G . H O D G E , Theory of perfectly plastic solids, J . W iley Inc., N e w Y o r k 1951, 215­ 216. 13. F . A . M C C L I N T O C K , On notch sensitivity, W eld in g Jou rna l Research Su plement, M a y 1961. Р
Н Е С У Щ
е з ю
м
е А Я С П О С О Б Н О С Т Ь Р А С Т Я Г И В А Е М
Н А Д Р Е З А М
И И П Р О И З В О Л Ь Н О Й Ш
Ы
Х С Т Е Р Ж
Н Е Й С У Г Л О
В Ы
М
И И Р И Н О Й В Н Е Н А Д Р Е З О В В с т а т ь е и з л а г а е т с я т е о р е т и ч е с к и й и э к с п е р и м е н т а л ь н ы й а н а л и з н е с у щ е й с п о с о б н о с т и п л о с к и х о б р а з ц о в с у г л о в ы м и н а д р е з а м и . И с с л е д о в а л и с ь о б р а з ц ы п р о м е ж у т о ч н ы х т о л щ и н и р а з л и ч н ы х ш и р и н в н е н а д р е з о в , и з г о т о в л е н н ы е и з а л ю м и н и е в ы х с п л а в о в Р А 2 и Р А 4. О б н а р у ж е н о , ч т о д е й с т в и т е л ь н ы е с и л ы , с о о т в е т с т в у ю щ и е н а ч а л у п л а с т и ч е с к о г о т е ч е н и я , х о р о ш
о с о в п а д а ю т п о в е л и ч и н е с в е р х н и м и о ц е н к а м и н е с у щ е й с п о с о б н о с т и с т е р ж н е й и з с п л а в а Р А 2 , о б л а д а ю щ е г о о ч е н ь х о р о ш и м и п л а с т и ч е с к и м и с в о й с т в а м и . В с л у ч а е м е н е е п л а с т и ч н о г о с п л а в а Р А 4 э т о с о в п а д е н и е х у ж е . О п ы т ы п о к а з а л и т а к ж е , ч т о с у щ е с т в е н н о е в л и я н и е н а р а с х о ж д е н и е э к с п е р и м е н т а л ь н ы х и т е о р е т и ч е с к и х д а н н ы х о к а з ы в а е т г е о м е т р и я н а д р е з а . В р а б о т е п р о в о д и л и с ь т а к ж е и с с л е д о в а н и е в л и я н и я т о л щ и н ы о б р а з ц а с н а д р е з о м н а е г о н е ­
с у щ у ю с п о с о б н о с т ь . О б н а р у ж е н о , ч т о в о б р а з ц а х с д о с т а т о ч н о б о л ь ш
и м о т н о ш е н и е м х , п р и в е ­
л и ч и н а х п а р а м е т р а X > 2, р е а л и з у е т с я п л о с к о е д е ф о р м и р о в а н н о е с о с т о я н и е . S u m m a r y P L A S T I C Y I E L D I N G O F T E N S I L E V ­ N O T C H E D E L E M E N T S W I T H A R B I T R A R Y I N T E R M E D I A T E S H O U L D E R R A T I O Presented is theoretical a nd experimental analysis of the yield loa d of V­ notched tensile elements with intermediate thickness of variou s shou lder ratios. Th e experiments have been performed u sing two a lu min iu m alloys P A 2 a n d P A 4 . E xperimenta l results show that the actu al loads corresponding to initia l stage of plastic flow are in good agreement with theoretical u pper limits of yield loa d for the P A 2 a lloy displaying very good du ctility. F o r less du ctile material P A 4 this agreement is worse. It is fou nd, more­
over, that the difference between the experimental a n d theoretical results depends o n the angle of the notch. The influence of the thickness on the yield loa d of notched elements was tested. Th e experimental results show that if the shou lder ratio is sufficiently large, for the thickness ratio A > 2 practically the plane state of strain occu rs. Z A K Ł A D M E C H A N I K I O Ś R O DK Ó W C I Ą GŁ Y C H I N S T Y T UT U P O D S T A W O W Y C H P R O B L E M Ó W T E C H N I K I P A N Praca została złoż ona w Redakcji dnia 15 lipca 1968 r.