kombinatoryka i elementy rachunku prawdopodobie stwa

UNIWERSYTET WROCŠAWSKI
Wydziaª Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyczny
M.Majsnerowska
rok akademicki 2011/2012
KOMBINATORYKA I ELEMENTY RACHUNKU
PRAWDOPODOBIE‹STWA
LISTA ZADA‹ (2)
1. Wyka», »e liczba
N = pk1 : : : pknn ;
gdzie p ; : : : ; pn s¡ ró»nymi liczbami pierwszymi, a k ; : : : ; kn s¡ liczbami caªkowitymi nieujem1
1
nymi, ma
1
(k + 1) : : : (kn + 1)
1
dzielników dodatnich.
2. Sprowad¹ do prostszej postaci wyra»enia:
(n)! + (n + 1)! ; (n + 1)!(n 1)! ; (2n)! ; (2n)! + (2n 1)! + (2n 2)!:
(n 1)!
(n!)
n!
2
3. Niech a = 18! i b = 20!.
a) Podaj cyfr¦ jedno±ci liczby a oraz cyfr¦ tysi¦cy liczby b w ich zapisie w systemie dziesi¦tnym.
b) Uzasadnij, »e liczba a jest podzielna przez 119, a nie jest podzielna przez 19.
4. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gu fan; n = 1; 2; : : : ; g o wyrazie ogólnym
n+1)! n!
n+1)!+n!
(
(
.
5. Oblicz liczb¦ tych permutacji zbioru A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g, w których
a) liczby 1,2 nie s¡siaduj¡ ze sob¡;
b) liczby 1,2,3 wyst¦puj¡ w porz¡dku rosn¡cym.
6. Oblicz, ile liczb naturalnych zapisanych za pomoc¡ ró»nych cyfr mo»na utworzy¢ z 1,2,3,4
oraz ile jest takich liczb mniejszych od 2 400.
7. Pan X zapomniaª hasªa do zamka swojej aktówki. Hasªo jest liczb¡ czterocyfrow¡ tak¡, »e
pierwsza i ostatnia cyfra jest parzysta, a suma dwóch cyfr ±rodkowych jest równa 6. Oblicz,
ile mo»liwo±ci w najgorszym przypadku trzeba sprawdzi¢, aby otworzy¢ zamek.
8. Numer dowodu osobistego skªada si¦ z 3 liter i 6 cyfr. Przyjmuj¡c, »e alfabet ma 24 litery,
oblicz, dla ilu obywateli wystarczy takich dokumentów to»samo±ci.
9. W przedziale wagonu kolejowego znajduje si¦ 8 ponumerowanych miejsc w dwóch rz¦dach po
4 miejsca. Do pustego przedziaªu weszªo 5 osób: 3 panie i 2 panów. Panie zaj¦ªy miejsca w
jednym rz¦dzie, a panowie w drugim. Oblicz na ile sposobów te osoby mogªy zaj¡¢ miejsca
tak, aby
a) panie siedziaªy zwrócone twarz¡ do kierunku jazdy;
b) dokªadnie naprzeciwko ka»dego z panów siedziaªa pani.
10. Przed sklepem jest 7 miejsc parkingowych (jedno obok drugiego). Oblicz na ile sposobów mog¡
na tym parkingu stan¡¢ 4 samochody tak, aby
a) »adne dwa samochody nie parkowaªy na s¡siednich miejscach;
b) mi¦dzy »adnymi dwoma samochodami nie byªo wolnego miejsca.
11. Na spotkanie przybyªo N osób. Ka»da przywitaªa si¦ z ka»d¡. Wyznacz, ile byªo u±cisków
dªoni.
12. Ka»de z M pa«stw ma w ka»dym z pozostaªych swego ambasadora. Wyznacz, ilu jest wszystkich ambasadorów.
13. Nale»y wytypowa¢ delegacj¦ zªo»on¡ z 5 dziewcz¡t i 4 chªopców. Oblicz, na ile sposobów
mo»na to uczyni¢, je±li w grupie znajduje si¦ 15 dziewcz¡t i 12 chªopców.
14. Na zawody przyjechaªo 20 szachistów z kraju A i 15 z kraju B. Maj¡ oni do dyspozycji
9 szachownic. Oblicz, na ile sposobów mo»na dobra¢ szachistów do pierwszej partii, je±li
przeciwnicy maj¡ pochodzi¢ z ró»nych krajów.
15. Do oceny studentów u»ywa si¦ pi¦ciu stopni A; B; C; D; E . Rozpatrujemy grup¦ 5 studentów.
Oblicz,
a) na ile ró»nych sposobów mo»emy oceni¢ t¦ grup¦ tak, aby »adni dwaj studenci nie otrzymali
tej samej oceny;
b) na ile ró»nych sposobów mo»emy oceni¢ t¦ grup¦ tak, aby »adni dwaj studenci nie otrzymali
tej samej oceny i student X otrzymaª ocen¦ wy»sz¡ ni» student Y .
16. Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych, w których
a) cyfra setek jest dwa razy mniejsza ni» cyfra dziesi¡tek;
b) cyfra setek jest o 2 wi¦ksza od cyfry dziesi¡tek.
17. Oblicz, na ile sposobów mo»na wybra¢ z talii 52 kart po jednej karcie z ka»dego koloru oraz ile
jest takich wyborów, je±li w±ród wyj¦tych kart nie mo»e by¢ ani jednej pary kart o tej samej
warto±ci.
18. Ze zbioru cyfr f1; 2; : : : ; 9g losujemy kolejno 4 bez zwracania i tworzymy liczb¦ czterocyfrow¡,
tzn. pierwsza wylosowana cyfra jest cyfr¡ tysi¦cy, druga setek, trzecia dziesi¡tek, czwarta jedno±ci. Oblicz, ile w taki sposób mo»na otrzyma¢ liczb
a) parzystych;
b) podzielnych przez 25;
c) mniejszych od 3 456.