Caªka Powierzchniowa

Denicja 1.
D
Caªka Powierzchniowa
Powierzchni¡ w przestrzeni
R3
Φ : R2 ⊃ D −→ R3 , gdzie
(1)
funkcja Φ jest klasy C
(D).
nazywamy dowoln¡ funkcj¦ ci¡gª¡
jest obszarem regularnym. Sam¡ powierzchni¦ nazwiemy regularn¡, je»eli
Pªaszczyzny styczna i normalna
Denicja 2.
oraz
Φ : D 3 (s, t) −→ Φ(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) ∈ R3 b¦dzie powierzchni¡ regularn¡
Φ(s0 , t0 ) = (x0 , y0 , z0 ) b¦dzie punktem na tej powierzchni. Wówczas wektory
Niech
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
∂x
∂y
∂z
→
−
(s0 , t0 ), (s0 , t0 ), (s0 , t0 ) ,
vs =
∂s
∂s
∂s
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
∂x
∂y
∂z
→
−
vt =
(s0 , t0 ), (s0 , t0 ), (s0 , t0 )
∂t
∂t
∂t
s¡ styczne do powierzchni
Denicja 3.
Φ
w punkcie
(x0 , y0 , z0 )........
Caªka powierzchniowa niezorientowana - konstrukcja.
Denicja 4.
Φ : R2 ⊃ D −→ S ⊂ R3 b¦dzie powierzchni¡, a f : S −→ R funkcj¡ ci¡gª¡. Je»eli
przy dowolnym ci¡gu podziaªów powierzchni S którego ci¡g ±rednic jest zbie»ny do zera i przy dowolnych
wyborach punktów Pi ci¡g sum aproksymacyjnych
Niech
n
X
f (Pi )|Ti |
i=1
jest zbie»ny do tej samej granicy to nazywamy j¡ caªk¡ powierzchniow¡ niezorientowan¡. Oznaczamy
ZZ
f dS.
S
Twierdzenie 5 (o zamianie caªki powierzchniowej niezorientowanej na caªk¦ Riemanna).
D −→ S ⊂ R3
f : S −→ R b¦dzie funkcj¡
ZZ
ZZ
−
f dS =
f (Φ(s, t))k→
n kdsdt,
b¦dzie powierzchni¡ regularn¡, a
S
D
gdzie
∂x x̂
→
−
n = ∂s (s0 , t0 )
∂x (s0 , t0 )
∂t
Przykªad 1.
.
Twierdzenie 6.
Przykªad 2.
Pole powierzchni
ŷ
∂y
(s , t )
∂s 0 0
∂y
(s0 , t0 )
∂t
ẑ
∂z
.
(s
,
t
)
0
0
∂s
∂z
(s
,
t
)
0
0
∂t
Niech
ci¡gª¡. Wówczas
Φ : R2 ⊃
Orientowalno±¢ powierzchni:
Denicja 7. Je»eli wybór normalnego wektora jednostkowego w pewnym punkcie P0 wskazuje w ka»dym
innym punkcie zawsze ten sam wybór jednostkowego wektora normalnego (tzn. niezale»nie od wybranej
krzywej), to powierzchni¦ nazywamy orientowaln¡ lub dwustronn¡. W takiej sytuacji wybór jednostkowego
wektora normalnego (jednego z dwóch) nazywamy orientacj¡ powierzchni. Orientacje mo»emy mie¢ dwie,
umownie nazywamy je dodatni¡ i ujemn¡. Intuicyjnie nale»y je rozumie¢ jako strony powierzchni.
Denicja 8.
Je»eli wychodz¡c od tego samego wektora jednostkowego w punkcie
krzywe, mo»emy otrzyma¢ dwa ró»ne wektory jednostkowe w pewnym punkcie
P
P0 , ale wybieraj¡c ró»ne
to o powierzchni powiemy,
»e jest nieorientowaln¡ lub jednostronn¡.
Denicja 9.
Φ : R2 ⊃ D −→ S ⊂ R3 b¦dzie orientowaln¡ powierzchni¡ regularn¡, a f = (P, Q, R) :
−−−−−−−→
−
S −→ R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Niech →
ν = (νx , νy , νz ) oznacza orientacj¦ (tzn. jednostkowy wektor normalny okre±lany w ka»dym punkcie powierzchni S ). Caªk¡ powierzchniow¡ zorientowan¡ nazywamy:
ZZ
ZZ
(P νx + Qνy + Rνz )dS.
P dxdy + Qdzdx + Rdydz =
Niech
S
s
Uwaga 10.
Po zmianie orientacji powierzchni caªka powierzchniowa zorientowana zmienia znak na prze-
ciwny.
Twierdzenie 11
(Twierdzenie Greena)
zmienne. Niech brzeg obszaru
∂D
.
Niech
D ⊂ R2
b¦dzie obszarem normalnym ze wzgl¦du na obie
b¦dzie krzyw¡ zamkni¦t¡, kawaªkami gªadk¡ i zorientowan¡ tak, »e
poruszaj¡c si¦ wzdªu» krzywej wn¦trze obszaru pozostaje po lewej stronie. Wówczas dla ka»dej funkcji
f = (P, Q) : D −→ R2 klasy C (1) zachodzi wzór:
Z
ZZ
P dx + Qdy =
∂D
Przykªad 3.
D
∂Q ∂P
−
dxdy.
∂x
∂y
Twierdzenie 12
.
(Twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego)
Niech
V ⊂ R3
b¦dzie obszarem normalnym ze
wzgl¦du na wszystkie zmienne. Niech brzeg obszaru ∂V b¦dzie powierzchni¡ zamkni¦t¡, kawaªkami klasy
C (1) zorientowan¡ na zewn¡trz. Wówczas dla ka»dej funkcji f = (P, Q, R) : V ∪ ∂V −→ R3 klasy C (1)
zachodzi wzór:
ZZZ
ZZ
P dydz + Qdzdx + Rdxdy =
∂V
V
∂Q ∂R
∂P
+
+
dxdydz.
∂x
∂y
∂z
Twierdzenie 13 (Twierdzenie Stokesa).
2
3
Niech Φ : R ⊃ D −→ S ⊂ R b¦dzie orientowaln¡ powierzchni¡
(1)
regularn¡, której brzeg jest kawaªkami klasy C
. Niech orientacja powierzchni i brzegu b¦d¡ zgodne, tzn.
obiegaj¡c brzeg zgodnie z jego orientacj¡ u»ywaj¡c reguª¦ ±ruby prawoskr¦tnej uzyskamy wektor o zwrocie
3
(1)
zgodnym z orientacj¡ powierzchni. Wówczas dla ka»dej funkcji f = (P, Q, R) : G −→ R klasy C
, gdzie
3
S ∪ ∂S ⊂ G ⊂ R zachodzi wzór:
ZZ Z
P dx + Qdy + Rdz
∂S
=
S
∂R ∂Q
−
∂y
∂z
dydz +
∂P
∂R
−
∂z
∂x
dzdx +
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
dxdy