Wyprowadzenie wzoru na sprawność wymiennika ciepła P na

Wyprowadzenie wzoru na sprawność wymiennika ciepła P
na podstawie parametrów bezwymiarowych
dr inż. Bartosz Zajączkowski
[email protected]
Politechnika Wrocławska
Wydział Mechaniczno-Energetyczny W9
Katedra Termodynamiki, Teorii Maszyn i Urządzeń Cieplnych K2
28 września 2016
Rysunek 1: Rozkłady temperatur czynników we współprądowym i przeciwprądowym wymienniku ciepła.
1
Wymiennik współprądowy
Sprawność wymiennika ciepła P definiuje się jako:
P =
∆T2
∆TP
Mnożymy licznik i mianownik przez (∆T1 + ∆T2 ).
1
(1)
P =
∆T2 · (∆T1 + ∆T2 )
∆TP · (∆T1 + ∆T2 )
(2)
(∆T1 +∆T2 )
∆TP
(∆T1 +∆T2 )
∆T2
(3)
P =
Można zauważyć, że:
(∆TP − ∆TK ) = (TP 1 − TP 2 ) − T1W − T2W
(4)
(∆TP − ∆TK ) = T1P − T2P − T1W + T2W
(5)
(∆TP − ∆TK ) = (T1P − T1W ) + (T2W − T2P )
(6)
(∆TP − ∆TK ) = ∆T1 + ∆T2
(7)
Co po podstawieniu daje:
P =
(∆TP −∆TK )
∆TP
(∆T1 +∆T2 )
∆T2
Ponieważ:
R=
=
1−
1+
∆TK
∆TP
∆T1
∆T2
∆T1
∆T2
(8)
(9)
Ostatecznie daje to:
P =
1−
∆TK
∆TP
1+R
(10)
∆TP
za pomocą parametrów bezwymiarowych...
Należy więc wyrazić stosunek ∆T
K
Na podstawie równania Pecleta oraz bilansu energii po stronie płynu, można zapisać równość:
W · ∆T1 = k · A · ∆Tm
(11)
gdzie ∆Tm jest średnią logarytmiczną różnicą temperatur:
∆Tm =
∆TP − ∆TK
∆TP
ln ∆T
K
(12)
Po podstawieniu:
W · ∆T1 = k · A ·
(∆TP − ∆TK )
∆TP
ln ∆T
K
(13)
Uporządkowanie:
k·A
1
∆T1
=
· ∆TP
(∆TP − ∆TK )
W
ln ∆TK
Pamiętając, że (6) można zapisać:
2
(14)
∆T1
k·A
1
=
· ∆T
(∆T1 + ∆T2 )
W
P
ln ∆TK
(15)
k·A
1
1
=
· ∆T2
∆TP
W
1 + ∆T1
ln ∆T
K
(16)
a więc:
Pamiętając, że (9) można zapisać:
1
1+
=
1
R
k·A
1
· ∆TP
W
ln ∆TK
(17)
Teraz można przenieść logartym na lewą stronę, co prowadzi do postaci:
∆TP
k·A
1
ln
=
· 1+
∆TK
W
R
Ponieważ interesuje nas stosunek
ln
∆TP
∆TK
∆TK
∆TP
musimy dokonać zamiany:
"
= ln
(18)
∆TK
∆TP
−1 #
= −ln
∆TK
∆TP
(19)
Podstawiając do równania (18) i przenosząc znak minus na prawą stronę oraz pozbywając się
logarytmu otrzymuje się:
1
∆TK
k·A
· 1+
= exp −
(20)
∆TP
W
R
W tym miejscu można już dokonać podstawienia do równania (10), przy jednoczesnym podstawieniu parametru bezwymiarowego:
S=
k·A
W
(21)
Daje to ostateczną postać wzoru:
1 − exp −S · 1 +
P =
1+R
3
1
R
(22)