R˙ownania Zwyczajne Zaj ecia 7 Semestr letni 2004/05

Rȯwnania Zwyczajne
Zajecia
7
,
Semestr letni 2004/05
Ćwiczenia do ciag
, lości wzg. warunku poczatkowego
,
Zadanie 1. a) Zalóżmy, iż mamy rodzine, odwzorowań fm : R × Rn → Rn , m ≥ 0
spelniajacych
warunek Lipschitza
,
∃ L > 0 : |fm (x, y2 ) − fm (x, y1 )| ≤ L|y2 − y1 |,
∀ m ≥ 0, x, y1 , y2 .
Niech
lim fm (x, y) = f0 (x, y)
m→+∞
jednostajnie na zbiorach zwartych. Zalóżmy także, że (x0 , y0 ) ∈ R × Rn jest ustalony i y (m) jest
rozwiazaniem
zagadnienia
,
dy (m)
= fm (x, y (m) ),
dx
y (m) (x0 ) = y0 ,
Pokaż, iż
lim y (m) (x) = y (0) (x)
m→+∞
jednostajnie na każdym przedziale zwartym.
b) Wywnioskuj stad,
wzgl. w-ku poczatkowego
, iż w twierdzeniu o różniczkowalności rozwiazania
,
,
podanym na wykladzie pochodna odwzorowania y 7→ Sx,x0 (y) jest funkcja, ciag
, la, (tzn. odwzorowanie Sx,x0 jest klasy C 1 ). Możesz rozważyć tylko przypadek jednowymiarowy, tzn. n = 1.
Zadanie 2. a) Oznaczmy przez Mn×n przestrzeń wszystkich macierzy n × n. Zalóżmy, iż
R 3 x 7→ A(x) ∈ Mn×n jest różniczkowalna, funkcja, o wartościach macierzowych, tzn. jeśli
A(x) = [aj,k (x)] to każda wspólrzedna
R 3 x 7→ aj,k (x) ∈ R jest funkcja, różniczkowalna.
, Pokaż
,
nastepuj
acy
wzór
,
,
n
X
d
det A(x) =
det Ap (x),
dx
p=1
gdzie




Ap = 


a1,1
a2,1
a3,1
..
.
an,1
· · · a01,p
· · · a02,p
· · · a03,p
..
..
.
.
· · · a0n,p
· · · a1,n
· · · a2,n
· · · a3,n
..
..
.
.
· · · an,n




.


Wsk. Użyj definicji wyznacznika oraz wzoru Leibnitza na różniczkowanie iloczynu.
Uwaga. Analogiczny wzór można też sformulować używajac
, zamiast macierzy Ap macierzy, w
których p–ty wiersz zostal zamieniony przez pochodne elementów macierzy.
b) (Tw. Liouville’a) Przypomnijmy, że Sx,x0 (y) := y(x), gdzie y(x) jest rozwiazaniem
za,
ganienia
y 0 = f (x, y), y(x0 ) = y,
1
gdzie f (x, y) = (f (1) (x, y), . . . , f (n) (x, y)) jest odwzorowaniem f : R × Rn → Rn . Przypomnijmy
także, iż dla odwzorowania Sx,x0 jego pochodna




∇Sx,x0 (y) = 



(1)
∂y1 Sx,x0 (y) · · ·
(2)
∂y1 Sx,x0 (y) · · ·
(3)
∂y1 Sx,x0 (y) · · ·
..
..
.
.
(n)
∂y1 Sx,x0 (y) · · ·
(1)
∂yn Sx,x0 (y)
(2)
∂yn Sx,x0 (y)
(3)
∂yn Sx,x0 (y)
..
.
(n)








∂yn Sx,x0 (y)
spelnia równanie
d
∇Sx,x0 (y) = A(x)∇Sx,x0 (y)
dx
(i)
z w-kiem poczatkowym
∇Sx0 ,x0 (y) = In×n , gdzie A(x) = [Aj (x)] jest funkcja, macierzowa,
,
(i)
zdefiniowana, przez Aj (x) := ∂yj f (i) (x, Sx,x0 (y)). Pokaż, że J(x; x0 , y) := det ∇Sx,x0 (y) jakobian odwzorowania Sx,x0 w punkcie y spelnia zagadnienie poczatkowe
,
d
J(x; x0 , y) = trA(x)J(x; x0 , y),
dx
gdzie trA(x) – ślad macierzy A(x) zdefiniowany jest jako
Z
x
J(x; x0 , y) = exp
J(x0 ; x0 , y) = 1,
(p)
p=1 Ap (x).
Pn
Wywnioskuj stad,
że
,
divf (ξ, Sξ,x0 (y))dξ ,
x0
P
gdzie divf jest tzw. dywergencja, pola wektorowego f (x, y) zdefiniowana, jako np=1 ∂yp fp (x, y).
c) W przypadku gdy divf = 0 pole nazywamy bezźródlowym. Takimi polami sa, np. pole
magnetyczne w próżni, lub pole rozkladu predkości
przeplywu cieczy nieściśliwej. Pokaż, iż w
,
przypadku pól nieściśliwych jakobian odwzorowania Sx,x0 jest tożsamościowo równy 1. Jaka jest
geometryczna interpretacja tego faktu?
**** ****
Równania liniowe wyższych rzedów.
,
Równanie to ma postać
L[y] := y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = c(x).
(1)
W przypadku, gdy c(x) ≡ 0 to równanie nazywamy jednorodnym. Ma ono wiec
, postać
y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0.
(2)
Przestrzeń rozwiazań
takiego równania jest n–wym. p-nia, wektorowa.
y1 , . . . , yn nazy,
, Uklad rozwiazań
,
wamy fundamentalnym jeśli w pewnym punkcie x0 (stad
, dla dowolnego x) wektory



 

y1 (x0 )
y2 (x0 )
yn (x0 )
 y10 (x0 )   y20 (x0 ) 
 yn0 (x0 ) 


 


..
.
.
,
,
·
·
·



 

..
..



 

.
(n−1)
(n−1)
(n−1)
(x0 )
y1
(x0 )
y2
(x0 )
yn
2
byly liniowo niezal. w Rn . Na to aby y1 , . . . , yn tworzyly uklad fundamentalny potrzeba i wystarcza wiec
,
by wrońskian tego ukladu


y1 (x0 )
···
yn (x0 )
0
0
 y1 (x0 )
···
yn (x0 ) 


..
..
..
W [y1 , . . . , yn ] := det 
 6= 0.


.
.
.
(n−1)
(n−1)
y1
(x0 ) · · · yn
(x0 )
Każde rozwiazanie
y r-nia (2) jest postaci C1 y1 + . . . + Cn yn , gdzie C1 , . . . , Cn sa, pewnymi stalymi.
,
1. Obniżenie rzedu
równania. Rozpatrzmy r-nie jednorodne L[y] = 0. W przypadku gdy znamy
,
jedno niezerowe rozwiazanie
y1 tego równania można obniżyć o 1 rzad
,
, równania. Niech y = zy1 .
Zadanie 3. a) Pokaż, iż z spelnia równanie
z (n) + ã1 (x)z (n−1) + . . . + ãn−1 (x)z 0 = 0.
(3)
Wyznacz wspólczynniki ã1 (x), . . . , ãn−1 (x). Poprzez podstawienie v = z 0 rozważać odtad
, możemy
równanie liniowe rzedu
n
−
1.
,
b) Udowodnij, że jeśli uklad z1 , . . . , zn−1 jest ukladem fundamentalnym dla (3) to uklad
y1 , y1 z1 , . . . , y1 zn−1 jest ukladem fundamentalnym dla (2).
Zadanie 4. Znajdź wszystkie rozwiazania
wskazanego równania majac
,
, podane jedno rozwiazanie
,
a)
1
x2 (x + 1)y − 2y = 0, y1 = 1 + ,
x
b)
y − y 0 tan x + 2y = 0, y1 = sin x.
3