Dynamiczna Optymalizacja Egzamin Wyk lad: dr hab. Jakub

Dynamiczna Optymalizacja
Egzamin
Wyklad: dr hab. Jakub Growiec, prof. SGH
21 stycznia 2016
1. [Teoria optymalnego sterowania.] Rozważmy problem maksymalizacji zdyskontowanej na chwile, bieżac
, a,
użyteczności z konsumpcji:
Z ∞
ln(c)e−ρt dt,
max∞
{x(t)}t=0
przy warunkach:
c = hx,
0
ḣ = hθ (1 − x) − δh,
h(0) = h0 > 0.
Zmienna c(t) oznacza tu konsumpcje, w chwili t, zaś h(t) jest zasobem kapitalu ludzkiego w chwili t.
Zmienna sterujaca
x(t) ∈ [0, 1] jest odsetkiem czasu poświecanego
na prace.
Pozostaly odsetek 1 −
,
,
,
x(t) poświecany
jest na nauke,
,
, czyli akumulacje, kapitalu ludzkiego h(t), zgodnie z ”funkcja, produkcji
wiedzy” wyspecyfikowana, powyżej. Jak widać, konsumowane jest zawsze cale bieżace
wynagrodzenie
,
(brak możliwości oszczedzania).
Wynagrodzenie
obliczane
jest
zawsze
proporcjonalnie
do
nakladu pracy
,
x, zwiazane
jest ono też pozytywna, zależnościa, z zasobem kapitalu ludzkiego h.
,
Zakladamy ponadto, że δ > 0, ρ > 0 oraz θ ∈ (0, 1).
(a) (4 pkt.) Zapisz hamiltonian dla powyższego problemu oraz wyprowadź równanie Eulera, opisujace
,
optymalna, dynamike, zmiennej x.
(b) (2 pkt.) Znajdź stan ustalony dla tego zagadnienia (tj. stan (x̃, h̃) taki, że ẋ = ḣ = 0 przy
jednoczesnym spelnieniu równania Eulera oraz warunków ograniczajacych).
,
(c) (2 pkt.) Przeprowadź ćwiczenie statyki porównawczej dla stanu ustalonego: ustal, czy x̃ oraz h̃ rosna,,
czy maleja,, wraz ze wzrostem ρ i δ. (Wskazówka: czasem wygodnie jest poslugiwać sie, wyrażeniem
x
postaci 1−x
, które rośnie monotonicznie od 0 do +∞, gdy x rośnie od 0 do 1.)
(d) (3 pkt.) Naszkicuj wykres fazowy dla tego zagadnienia. (W szczególności, m.in. wyznacz dokladnie
punkty przeciecia
izoklin z osiami ukladu wspólrzednych.)
,
,
(e) (1 pkt.) Na podstawie wykresu fazowego, wyznacz typ stanu ustalonego i określ jego lokalna, stabilność.
2. [Programowanie dynamiczne.] Rozważ problem banku centralnego, który chce maksymalizować dobrobyt
(W):
∞
X
t
2
2
W=−
β πt + αUt
t=0
gdzie πt to inflacja a Ut to bezrobocie. Równanie ruchu dla bezrobocia jest nastepuj
ace:
,
,
Ut+1 = −πt + θUt .
Wiadomo, że U0 > 0 i jest znane, β ∈ (0, 1), α > 0 oraz θ ∈ (0, 1).
(a) (2 pkt.) Zdefiniuj zmienna, kontrolna, i zmienna, stanu. Zapisz równanie Bellmana.
(b) (2 pkt.) Korzystajac
a nastepnie
, z twierdzenia o obwiedni wyznacz warunki pierwszego rzedu,
,
,
sformuluj równanie Eulera.
(c) (2 pkt.) Zapisz warunek transwersalności i przeksztalć go do postaci nie wykorzystujacej
explicite
,
funkcji wartości.
(d) (4 pkt.) Wyznacz funkcje, optymalnej polityki dla banku centralnego.
Wskazówka: Zwróć uwage,
, że równanie Eulera wraz z równaniem dynamiki bezrobocia stanowia,
uklad równań różnicowych liniowych, jednorodnych. Pamietaj,
że w rozwiazaniu
optymalnym musi
,
,
być spelniony warunek transwersalności.
3. [Log-linearyzacja.] Dany jest uklad równań opisujacy
, optymalna, dynamike, konsumpcji ct i zasobu kapitalu
kt w podstawowym modelu realnego cyklu koniunkturalnego (RBC) bez wyboru miedzy
konsumpcja, a
,
czasem wolnym i z egzogenicznymi szokami technologicznymi (przy zalożeniu funkcji użyteczności CRRA
oraz funkcji produkcji Cobba-Douglasa):
(
kt+1
1
= At+1 ktα + (1 − δ)kt − ct+1 ,
γ
α−1
ct
= βEt
(1 + αAt+1 kt
− δ) .
ct+1
Zakladamy α, δ, ρ ∈ (0, 1), γ > 0 oraz ln At+1 = ρ ln At + ln εt , gdzie ln εt ∼ iid N (0, σ 2 ). Uwaga na
konwencje, czasowa!,
(a) (2 pkt.) Znajdź deterministyczny stan ustalony (c̄, k̄) dla tego problemu.
(b) (4 pkt.) Przeprowadź log-linearyzacje, powyższego ukladu wokól stanu ustalonego (c̄, k̄).
4. [Uklad równań różniczkowych – zadanie dodatkowe, pozwalajace
cześciowo
poprawić wynik z kolokwium.]
,
,
Dany jest liniowy, niejednorodny uklad równań różniczkowych:
1 1
−2
1
x
ẋ
6
+
.
= 1 1
y
− 12
ẏ
4
6
(a) (4 pkt.) Znajdź rozwiazanie
ogólne tego ukladu.
,
(b) (2 pkt.) Znajdź rozwiazanie
szczególne przy warunkach poczatkowych
,
,
x(0) = 1, y(0) = 1.
(c) (4 pkt.) Wyznacz jedyny stan ustalony tego ukladu i określ jego typ (czy jest to weze
, l stabilny,
ognisko stabilne, punkt siodlowy, itd.). Czy jest on stabilny asymptotycznie? Czy jest stabilny w
sensie Lapunowa?
2