Zadania domowe z Analizy II, seria 1 Zadanie 1. Zbadać punktową i

Zadania domowe z Analizy II, seria 1
Zadanie 1.
Zbadać punktową i jednostajną zbieżność ciągów funkcji
a) fn (x) =
c) fn (x) =
e) fn (x) =
g) fn (x) =
Zadanie 2.
n2 x
,
1+n3 x2
1
,
0
x+n
x2
,
n2 +(x−n)2
nx−(n+1)x2
,
n−(n−1)x
nx
b) fn (x) = 1+n
x ∈ R,
2 x2 ,
√
n
n
d) fn (x) = 1 + x ,
0 < x < 2,
n2
f ) fn (x) = n2 +(x−n)2 ,
x ∈ R,
x ∈ R,
< x < ∞,
x ∈ R,
h) fn (x) = log(ex + 1/n),
x ∈ [0, 1],
x ∈ R.
Zbadać zbieżność punktową i jednostajną szeregu funkcyjnego:
∞
a)
n=1
P∞
c)
n=0
P
Zadanie 3.
n2 x
∞
x ∈ R,
b)
n=1
P∞
log(1+nx)
,
x ∈ [0, ∞[, d)
n=1
1+n5 x2
n7 +x2
P
,
√
1+nx2
,
x+n2
nx
,
1+n5 x2
x ∈]0, ∞[,
x ∈ [0, ∞[.
Wyrazić sumy następujących szeregów
Li−n (z) ≡
∞
X
∞
X
knz k
,
k=0 k!
knz k ,
k=1
n = 0, 1, 2, 3, 4
za pomocą funkcji elementarnych.
Zadanie 4.
Rozwijając funkcję podcałkową w szereg, wykazać, że
Z 2π
ecos x cos(sin x) cos(kx)dx =
0
π
,
k!
k = 1, 2, 3 . . .
Zadanie 5. Obliczyć całki oznaczone
Z 1
dx
√
−1 3 + 5 1 − x2
Z 1
dx
√
(c)
0 1+
x − x2
Z 1
dx
√
(e)
0 1 + 2 x − x2
(a)
(b)
Z 1
0
(d)
Z 1
0
dx
√
5 + 3 1 − x2
dx
√
1 − x − x2
Zadanie 6. Obliczyć całki oznaczone stosując wskazane podstawienia:
Z 2
1
2
x2 − 2
dx t := x + ,
4
x +4
x
Z 1
0
x4
x(2 − x)
dx, a > 0,
+ a2 (1 − x)2
Zadanie 7. Obliczyć całkę
I :=
Z 2
−2
t = (1 − x)x−2
f 0 (x)dx
,
1 + f 2 (x)
jeśli
(a) f (x) :=
2x + 1
,
x(x2 − 1)
2(x + 1)
(b) f (x) := √
.
3 (x2 − 2)
Wykazać, że w przypadku (a)
Z ∞
−∞
f 0 (x)dx
=π
1 + f 2 (x)
zaś w przypadku (b)
Z ∞
−∞
f 0 (x)dx
= −2π.
1 + f 2 (x)
1