t - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Przygotowanie zadania sterowania do analizy i syntezy – zestawienie
schematu blokowego
Materiały pomocnicze do ćwiczeń - termin T3
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
Wprowadzenie
Ideowy schemat technologiczny jednowymiarowego (jedna wielkość wejściowa - jedna wielkość
wyjściowa obiektu regulacji) układu regulacji (układ sterowania z ujemnym sprzężeniem zwrotnym)
wraz z opisem poszczególnych sygnałów w nim występujących przedstawiony został na Rysunku 1.
Wielkości
zakłócające
Wielkość
regulująca
nastawiająca
Strumień
medium
nastawiającego
Obiekt
regulacji
(proces)
Urządzenie
wykonawcze
Wielkość
regulowana
Urządzenie
pomiarowe
Wartość
zmierzona
Wielkość
regulująca
Urządzenie
regulujące
(regulator)
(sterownik)
Wielkość
regulowana
mierzona
Wartość
zadana
Stacyjka
Rysunek 1. Ideowy schemat technologiczny jednowymiarowego układu sterowania
Zadanie 1
W zadaniu należy rozpatrzyć system sterowania (przedstawiony na Rysunku 2) realizujący regulację
poziomu cieczy w zbiorniku za pomocą dławienia przez zawór dopływu cieczy do zbiornika.
ut(t)
uw(t)
eε(t)
h0(t)
e0(t)
eh0(t)
h(t)
+
-
eh(t)
e0(t)
α1(t)
α1(t)
Przy czym:
- natężenie wypływu cieczy ze zbiornika Q2 ( t )
wymuszane jest przez pompę, nie zależy od
wartości poziomu cieczy h( t ) w zbiorniku i
może podlegać zmianom w czasie,
- ciśnienie p( t ) , cieczy dopływającej, przed
zaworem może ulegać przypadkowym
zmianom.
+
l
p(t)
Q1(t)
h(t)
Q2(t)
Rysunek 2. Uproszczony szkic systemu sterowania
2
W zadaniu należy:
a) określić cel sterowania w rozważanym systemie,
b) na podstawie schematu ideowego systemu sterowania opisać sposób działania systemu
sterowania,
c) określić, czy występują ograniczenia związane z procesem sterowania, a jeżeli występują to
jak je można opisać,
d) wskazać poszczególne elementy systemu sterowania:
♦ obiekt sterowany (obiekt regulacji),
♦ urządzenie pomiarowe,
♦ urządzenie sterujące/regulujące,
♦ układ nastawiania wartości zadanej,
♦ urządzenie wykonawcze
e) określić wielkości wejściowe i wyjściowe poszczególnych elementów systemu sterowania, a w
przypadku obiektu sterowania wskazać wielkości: regulującą nastawiającą, zakłócającą i
regulowaną,
f) w miarę możliwości, wskazać zależności pomiędzy wielkościami wejściowymi i wyjściowymi
poszczególnych elementów systemu sterowania,
g) w postaci odpowiedniego schematu blokowego przedstawić model matematyczny
rozważanego systemu sterowania.
Rozwiązanie Zadania 1
a) określić cel sterowania w rozważanym systemie,
Zadaniem systemu sterowania jest utrzymanie stałego określonego poziomu h0 przy pojawiających się
zmianach Q2 i p.
b) na podstawie schematu ideowego systemu sterowania opisać sposób działania systemu
sterowania,
Poziom cieczy h( t ) jest mierzony za pomocą czujnika pływakowego. Unoszenie lub opadanie
pływaka zmienia napięcie wyjściowe eh ( t ) z potencjometru pomiarowego. Wartość zadaną poziomu
cieczy w zbiorniku h0 ustala się za pomocą potencjometru nastawczego poprzez nastawienie wartości
eh0 . Gdy poziom h( t ) jest równy wartości pożądanej h0 napięcia eh (t) i eh0 są też sobie równe i
napięcie wypadkowe z układu potencjometrów eε ( t ) jest równe zeru. Gdy poziom h( t ) nie jest
równy wartości pożądanej h0 napięcie eε ( t ) , proporcjonalne do różnicy h0 − h( t ) , powoduje to ruch
silnika elektrycznego i poprzez zmianę położenia trzpienia zaworu, zmianę natężenia dopływu cieczy
do zbiornika Q1 ( t ) . Silnik przestawiający trzpień zaworu jest silnikiem prądu stałego o stałym
wzbudzeniu uw = const i prędkości kątowej zmienianej przez zmianę wartości napięcia twornika
ut (t ) . Przestawienie trzpienia zaworu odbywa się poprzez przekładnię zębatą.
c) określić, czy występują ograniczenia związane z procesem sterowania, a jeżeli występują to jak je
można opisać,
Można wskazać następujące przykładowe ograniczenia w rozważanym procesie: najwyższy i
najniższy poziom cieczy w zbiorniku hmin i hmax , największe i najmniejsze natężenie przepływu
cieczy przez zawór Q1 max , Q1,min , które można zapisać za pomocą następujących nierówności:
3
(1)
(2)
hmin < h(t ) < hmax
Q1,min < Q1 (t ) < Q1,max
d) wskazać poszczególne elementy systemu sterowania:
„Wpiszemy” rozważany system sterowania w ogólny schemat przedstawiony na Rysunku 1. W
przykładzie obiektem regulacji jest zbiornik z cieczą, której poziom chcemy utrzymywać na
określonej wartości h0. Przeszkadzają nam w tym pojawiające się w czasie zmiany dwóch wielkości:
ciśnienia cieczy dopływającej do zbiornika przed zaworem p( t ) , oraz natężenia wypływu cieczy ze
zbiornika Q2 ( t ) . Są to, zatem zakłócenia. Natężenie dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) , zależne od
położenia trzpienia zaworu l, jest wielkością regulującą nastawiającą.
Urządzeniem pomiarowym jest układ pływaka i potencjometru pomiarowego (potencjometryczny
czujnik położenia). Na jego wejście podawana jest aktualna wartość wielkości regulowanej h( t ) , zaś
na wyjściu pojawia się, odpowiadająca jej wartość wielkości regulowanej mierzonej eh ( t ) .
Wartość zadana poziomu h0 ustalana jest za pomocą potencjometru nastawczego napięciem eh0 .
Układ tego potencjometru pełni, zatem rolę stacyjki.
Urządzeniem regulującym (sterownikiem) jest wzmacniacz przetwarzający różnicę napięć
eε (t ) = eh0 − eh (t ) , odpowiadającą różnicy hε ( t ) = h0 − h( t ) , w napięcie ut ( t ) - wielkość regulującą
- podawane na twornik silnika elektrycznego.
Dalsze elementy układu - silnik, przekładnia zębata, zawór - tworzą urządzenie wykonawcze.
W zależności od znaku napięcia ut ( t ) silnik będzie obracał się w jedną lub drugą stronę. Zmiany
kątowego położenia wirnika silnika, w okresie podawania na zaciski jego twornika napięcia różnego
od zera, oznaczymy przez α 1 ( t ) . Poprzez przekładnię zębatą kąt α 1 ( t ) przetworzony zostaje w obrót
o kąt α 2 ( t ) końcowego koła zębatego przekładni. Obrót drugiego koła przekładni o kąt α 2 ( t )
spowoduje przesunięcie trzpienia zaworu do pozycji l( t ) . Wartość tego przesunięcia oraz wartość
ciśnienia cieczy określą wartość natężenia dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) .
Uproszczony szkic systemu sterowania (przedstawiony na Rysunku 2), możemy teraz przedstawić w
postaci następującego ideowego schematu technologicznego układu sterowania stałowartościowej:
Ciśnienie
dopływającej cieczy
przed zaworem
p(t)
Natężenie
dopływu cieczy
do zbiornika
Q 1(t)
Silnik,
przekładnia
zębata,
zawór
Natężenie wypływu cieczy ze
zbiornika Q 2(t)
Zmiany
poziomu cieczy
w zbiorniku h(t)
Poziom cieczy
w zbiorniku h(t)
Pływak,
potencjometr
Napięcie na
suwaku e h (t)
Napięcie
u t(t)
Wzmacniacz
(sterownik)
Napięcie na
suwaku e h0
Potencjometr
Rysunek 3. Ideowy schemat technologiczny układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku
4
e) określić wielkości wejściowe i wyjściowe poszczególnych elementów systemu sterowania, a w
przypadku obiektu sterowania wskazać wielkości: regulującą nastawiającą, zakłócającą i
regulowaną,
f) w miarę możliwości, wskazać zależności pomiędzy wielkościami wejściowymi i wyjściowymi
poszczególnych elementów systemu sterowania:
♦ obiekt sterowany (obiekt regulacji)
W rozważanym zadaniu obiektem regulacji jest zbiornik z cieczą, którego poziom chcemy
utrzymywać na określonej wartości h0.
Wielkością wyjściową obiektu (wielkością regulowaną) jest poziom cieczy w zbiorniku h( t ) . Na
zmianę tej wielkości bezpośredni wpływ mają: natężenie wypływu cieczy ze zbiornika Q2 ( t ) oraz
natężenie dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) . Zbiornik, zatem jako obiekt regulacji poziomu cieczy
posiada dwie wielkości wejściowe i jedną wyjściową. Spośród wielkości wejściowych Q1 ( t ) jest
wielkością regulującą nastawiającą, zaś Q1 ( t ) - wielkością zakłócającą:
Q1(t)
Q2(t)
Zbiornik z cieczą zmiany poziomu
cieczy h(t)
h(t)
Rysunek 4. Zbiornik z cieczą jako obiekt regulacji poziomu cieczy w zbiorniku
Równanie opisujące dynamikę rozważanego obiektu można zapisać w następującej postaci:
A⋅
dh(t )
= Q1 (t ) − Q2 (t )
dt
(3)
[ ]
gdzie: A - powierzchnia przekroju poprzecznego zbiornika m 2 ,
h - poziom cieczy w zbiorniku [m] ,
3
Q1 - natężenie dopływu cieczy do zbiornika m
,
s
3
Q2 - natężenie wypływu cieczy ze zbiornika m
,
s
[ ]
[ ]
♦ urządzenie pomiarowe
Wielkością wejściową urządzenia pomiarowego jest zmiana poziomu cieczy w zbiorniku h( t ) , zaś
wyjściową napięcie na suwaku potencjometru eh ( t ) :
h(t)
Urządzenie
pomiarowe
(pływak,
potencjometr)
eh (t)
Rysunek 5. Pływak i potencjometr jako urządzenie pomiarowe
Założymy, że układ potencjometru pomiarowego nie jest obciążany prądowo. Dla wyprowadzenia
opisu układu wyjdziemy z przyjęcia za słuszne następujących zależności:
5
h(t ) Rh (t ) eh (t )
=
=
hmax Rmax
e0
(4)
gdzie: h - poziom cieczy w zbiorniku [ m] ,
hmax - zakres zmian poziomu cieczy w zbiorniku [ m] ,
Rh - rezystancja ,,na suwaku” odpowiadająca poziomowi cieczy h, [ Ω ] ,
Rmax - zakres zmian rezystancji potencjometru odpowiadający zakresowi zmian hmax, [ Ω ] ,
eh - napięcie ,,na suwaku” odpowiadające rezystancji Rh, [V ] ,
emax - zakres zmian napięcia potencjometru odpowiadający zakresowi zmian Rmax, [V ] .
Korzystając z zależności (4) można napisać:
eh (t ) =
e0
h(t ) = k h h(t )
hmax
(5)
V 
gdzie: kh - współczynnik wzmocnienia urządzenia pomiarowego   .
m
♦ urządzenie sterujące/regulujące
Wielkością wejściową wzmacniacza jest napięcie eε (t ) = eh0 (t ) − eh (t ) , zaś wyjściową napięcie
twornika silnika elektrycznego ut ( t ) :
eε(t)
Sterownik
(wzmacniacz)
ut(t)
Rysunek 6. Wzmacniacz jako sterownik (regulator) poziomu cieczy
Przyjmiemy, że regulator jest idealnym wzmacniaczem. Możemy zatem napisać:
ut (t ) = k weε (t )
(6)
V 
gdzie: kw - współczynnik wzmocnienia wzmacniacza   .
V 
♦ układ nastawiania wartości zadanej
Wielkością wejściową układu zadawania poziomu pożądanego cieczy jest przesunięcie suwaka
potencjometru h0 ( t ) , zaś wyjściową napięcie na suwaku potencjometru eh0 (t ) :
h0(t)
Układ zadawania
poziomu
(potencjometr)
eh0(t)
Rysunek 7. Potencjometr jako układ zadawania poziomu pożądanego cieczy
6
Układ zadawania poziomu pożądanego cieczy jest identyczny, co do zasady działania z układem
pomiaru poziomu. Korzystając, zatem z powyższych wyprowadzeń możemy napisać:
eh0 (t ) =
gdzie:
k h0
e0
h0 max
h0 (t ) = k h0 h0 (t )
(7)
V 
- współczynnik wzmocnienia układu zadawania poziomu cieczy   ,
m
♦ urządzenie wykonawcze (silnik + przekładnia zębata + zawór)
Silnik (siłownik)
Silnik jest elementem urządzenia wykonawczego. Wielkością wejściową silnika jest napięcie ut ( t ) ,
zaś wyjściową droga kątowa wału tego silnika:
ut(t)
Silnik (element
urządzenia
wykonawczego)
αs(t)
Rysunek 8. Silnik jako element urządzenia wykonawczego
Zakładając, że silnik prądu stałego posiada pomijalnie małą indukcyjność twornika i pomijalnie mały
jest moment obciążenia zewnętrznego, można zależność wiążącą napięcie twornika z prędkością
kątową wału (przy ustalonym napięciu wzbudzenia) zapisać w postaci:
J
dω S (t )
= k mut (t ) − k oωS (t )
dt
(8)
gdzie: J - moment bezwładności silnika i układu napędzanego, [ kg ⋅ m2 ] ,
ωs - prędkość kątowa silnika,  rad ; 1  ,
 s
s
dω S
rad 1
- przyśpieszenie kątowe silnika,  2 ; 2  ,
dt
 s s 
 N ⋅ m ⋅ rad N ⋅ m 
,
;
V
V 
km - współczynnik momentu napędowego silnika, 

ut - napięcie twornika, [V ] ,
 N ⋅m⋅ s

k0 - współczynnik oporów silnika, 
; N ⋅ m ⋅ s .
 rad

Ponieważ silnik służy do przestawiania zaworu, interesuje nas zatem droga kątowa wału silnika:
dα s (t )
= ω s (t )
dt
gdzie: αs - droga kątowa wału silnika, [rad;− ] .
7
(9)
Przekładnia zębata
Przekładnia jest następnym elementem urządzenia wykonawczego. Wielkością wejściową przekładni
jest droga kątowa wału silnika α s ( t ) , zaś wyjściową droga kątowa końcowego koła zębatego
przekładni α p ( t ) :
Przekładnia
(elem ent
urządzenia
wykonawczego)
α s (t)
α p (t)
Rysunek 9. Przekładnia jako element urządzenia wykonawczego
Przekładnia zębata jest członem proporcjonalnym, a jej działanie można opisać zależnością:
α p (t ) =
z1
α s (t ) = k pα s (t )
z2
(10)
gdzie: z1, z2 - liczba zębów odpowiednio, pierwszego i drugiego koła zębatego;
kp - współczynnik wzmocnienia przekładni, [ − ]
Zawór
Zawór jest ostatnim elementem urządzenia wykonawczego. Zawór jako element nastawiający wartość
natężenia przepływu cieczy Q1 ( t ) - wielkość wyjściową posiada dwie wielkości wejściowe. Pierwszą
wielkością wejściową zaworu jest droga kątowa końcowego koła zębatego przekładni α p ( t ) , zaś
drugą ciśnienie cieczy przed zaworem p( t ) :
p(t)
αp(t)
Zawór (element
urządzenia
wykonawczego)
Q1(t)
Rysunek 10. Zawór jako element urządzenia wykonawczego
Obrót końcowego koła zębatego przekładni powoduje zmianę położenia trzpienia zaworu.
Przekształcenie to można uznać za proporcjonalne i opisać równaniem:
l t (t ) = k t α p (t )
(11)
m

gdzie: kt - współczynnik wzmocnienia obrót przekładni - przesunięcie trzpienia 
; m .
rad


Przesunięcie trzpienia zaworu powoduje zmianę natężenia przepływu cieczy za zaworem. Na wartość
tego natężenia ma też wpływ ciśnienie cieczy przed zaworem. Dla niedużych zmian przesunięcia
trzpienia zaworu i ciśnienia cieczy, w otoczeniu punktu pracy, równanie wiążące te wielkości z
natężeniem przepływu cieczy za zaworem można podać w postaci:
Q1 (t ) = kl lt (t ) + k c p (t )
(12)
m2 
gdzie: kl - współczynnik wzmocnienia przesunięcie trzpienia – natężenie dopływu   ,
 s 
 m5 
kc - współczynnik wzmocnienia ciśnienie cieczy – natężenie dopływu   .
 sN 
8
g) w postaci odpowiedniego schematu blokowego przedstawić model matematyczny rozważanego systemu sterowania
Natężenie wypływu cieczy ze zbiornika Q2(t)
Ciśnienie
dopływającej cieczy
przed zaworem
p(t)
Natężenie
dopływu cieczy
do zbiornika Q1(t)
Poziom cieczy
w zbiorniku h(t)
A⋅
Q1 (t ) = k l k t α p (t ) + k c p(t )
α p (t ) =
dh(t )
= Q1 (t ) − Q2 (t )
dt
z1
α s (t ) = k pα s (t )
z2
eh (t ) =
e0
h(t ) = k h h(t )
hmax
dα s (t )
= ω s (t )
dt
dωS (t )
J
= kmut (t ) − koωS (t )
dt
Napięcie na
suwaku eh(t)
(
)
ut (t ) = kw eh0 (t ) − eh (t ) = kweε (t )
Napięcie
ut(t)
eh0 (t ) =
e0
h0 (t ) = k h0 h0 (t )
h0 maxPotencjometr
Rysunek 11. Schemat blokowy systemu sterowania
Napięcie na
suwaku eh0