Algebra ISIM. Lista 9 Wszystko dzieje sie ` w (skonczenie

Algebra ISIM. Lista 9
Wszystko dzieje sie w (skończenie wymiarowej) przestrzeni euklidesowej/unitarnej V , chyba że treść zadania
‘
mówi inaczej.
1. Uzasadnij, że jeśli U : V → V jest przeksztalceniem unitarnym, zaś T = T ∗ , to U T U −1 jest samosprzeżone.
‘
2. Wyznacz postać kanoniczna i baze ortonormalna w której jest ona przyjmowana dla ortogonalnych przek‘
‘
‘
sztalceń Rn zadanych w bazie standardowej macierzami:
 
 
√  1 1
√ 

1
1
1 1 1
1
3
1
−√ 6
1
1
−√ 2
 1 1 −1 −1  1  1 1 −1 −1  1 
1 
3
1
6  ; 21 
2 ;
; 2 
 ; 2 √1
4
√1
√
√
1 −1 1 −1
−1 1 −1 1
6 − 6
2
2 − 2
0
1 −1 −1 1
−1 1 1 −1
3. Wyznacz ortonormalna baze wektorów wlasnych
i
macierz
w tej bazie 
przeksztalcenia unitarnego, zadanego

‘
‘
4 + 3i
4i
−6 − 2i
1
−4i
4 − 3i −2 − 6i  .
w standardowej bazie C3 macierza
9
‘
6 + 2i −2 − 6i
1
4. Uzupelnij uklad (1, −1, i, 0)⊤, (−1, 0, i, −i)⊤ do ortogonalnej bazy C4 .
5. Uzasadnij, że jeśli ortogonalne przeksztalcenie R6 ma rzeczywista wartość wlasna, to ma też przynajmniej
‘
‘
dwa liniowo niezależne wektory wlasne.
6. Które przeksztalcenia ortogonalne sa samosprzeżone?
‘
‘
7. Niech U bedzie macierza unitarna. Uzasadnij, że wszystkie wyrazy U 100 sa co do modulu nie wieksze niż 1.
‘
‘
‘
‘
‘
8. Znajdź odleglość punktu (1, 2, 3, 4)⊤ od plaszczyzny Lin({(1, −1, 1, −1)⊤, (0, 1, 2, −1)⊤}).
9. Czy istnieje iloczyn skalarny na R3 , taki że cosinusy katów miedzy wektorami E1 , E2 , E3 , wynosza 12 , 13 , 14 ?
‘
‘
‘


4 −2 2
2 −1
1 −4
10. Znajdź rozklady biegunowe przeksztalceń Rn :
;
; 4
4 −1  .
2 1
1 4
−2 4
2
11. Niech v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wk spelniaja, dla dowolnych i, j ∈ {1, 2, . . . , k}, warunek hvi , vj i = hwi , wj i.
‘
Udowodnij, że istnieje przeksztalcenie ortogonalne/unitarne U , takie że U (vi ) = wi dla i ∈ {1, 2, . . . , k}.
12. Uzasadnij, że jeśli |v| = |w|, to istnieje przeksztalcenie ortogonalne/unitarne F , takie że F (v) = w.
13. Uzasadnij, że jeśli T jest samosprzeżone, to exp(iT ) jest unitarne. Uzasadnij, że każde przeksztalcenie
‘
unitarne jest postaci exp(iT ) dla pewnego samosprzeżonego T .
‘
14. Niech A ∈ Mn×n (R) bedzie macierza ortogonalna, λ = a + bi ∈ C jej nierzeczywista wartościa wlasna, zaś
‘
‘
‘
‘
‘
‘
v = u + iw ∈ Cn jej zespolonym wektorem wlasnym (a, b ∈ R, u, w ∈ Rn ).
a) Zauważ, że v jest wektorem wlasnym A dla wartości wlasnej λ.
b) Uzasadnij, że (zespolone) wektory wlasne A odpowiadajace różnym wartościom wlasnym sa prostopadle
‘
‘
(wzgledem standardowego iloczynu skalarnego na Cn ).
‘
c) Wywnioskuj, że hv, vi = 0, że u ⊥ w, i że |u| = |w|.
15. Udowodnij, że w bazie standardowej macierz dowolnej liniowej izometrii R2 jest postaci
cos φ
sin φ
− sin φ
cos φ
lub
cos φ
sin φ
sin φ
− cos φ
.
16. Zdiagonalizuj nad C macierze z poprzedniego zadania.
17. Udowodnij, że zlożenie dwóch (liniowych) symetrii obrotowych R3 jest obrotem.
18. Udowodnij, że każda izometria R2 jest obrotem lub symetria z poślizgiem (zlożeniem odbicia w pewnej
‘
prostej i translacji wzdluż tej prostej).
19. Zdefiniuj uogólniona symetrie z poślizgiem w przestrzeni Rn . Nastepnie udowodnij, że każda izometria Rn
‘
‘
‘
ma punkt staly lub jest uogólniona symetria z poślizgiem.
‘
‘
20. Udowodnij, że macierz Grama ukladu wektorów jest zawsze nieujemnie określona.
Qn Pn
2
21. Udowodnij, że dla A = (aij ) ∈ Mn×n (R) zachodzi nierówność (Hadamarda) (det(A))2 ≤ i=1
a
j=1 ij .
1
22. Wykaż, że objetość równoleglościanu spelnia V (a1 , . . . , ak , b1 , . . . , bl ) ≤ V (a1 , . . . , ak )V (b1 , . . . , bl ).
‘
23. Endomorfizm przestrzeni unitarnej V nazywamy normalnym, jeśli T T ∗ = T ∗ T . Udowodnij, że endomorfizm
V jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy diagonalizuje sie w bazie ortonormalnej.
‘
24. Niech T bedzie rzutem (tzn. niech spelnia T 2 = T – wyjaśnij skad nazwa). Udowodnij, że nastepujace
‘
‘
‘
‘
warunki sa równoważne: (a) T = T ∗ ; (b) T T ∗ = T ∗ T ; (c) Im(T ) = (ker(T ))⊥ .
‘
25. (V unitarna) Udowodnij, że jeśli (∀v ∈ V )(hT v, vi = 0), to T = 0. Czy jest to prawda również w przypadku
‘
rzeczywistym?
26. Udowodnij, że każdy endomorfizm przestrzeni unitarnej jest kombinacja liniowa czterech przeksztalceń uni‘
‘
tarnych.
Pn−1
27. Udowodnij, że jeśli U : V → V jest unitarne, to dla dowolnego v ∈ V zachodzi limn→∞ n1 k=0 U k v = P v,
gdzie P jest rzutem ortogonalnym na podprzestrzeń {w ∈ V : U w = w}.
28. Zalóżmy, że T jest samosprzeżony, a S spelnia warunek: (∀P ∈ Hom(V, V ))(T P = P T ⇒ SP = P S).
‘
Udowodnij, że istnieje wielomian w taki że w(T ) = S.
n
29. Czy istnieja punkty a1 , √
a2 , a3 , √
a4 , a5 w
√ R (dla pewnego n), takie że macierza‘ odleglości (d(ai , aj )) jest
 ‘
2 2
0
3
√5 √5 √
0
14
14
 √3
√
√17 
√


macierz  √5 √14 √0
2
17 ? Jeśli tak, to znajdź najmniejsze możliwe n.


0
3
√5 √14 √ 2
17
17
3
0
2 2
30. Upewnij sie, że teoria form kwadratowych przenosi sie na przypadek form hermitowskich. (Forma hermi‘
‘
towska na V to póltoraliniowe Φ: V × V → C spelniajace Φ(v, w) = Φ(w, v).)
‘
2