Relacja kredytodawca-kredytobiorca w ujęciu teorii gier

Andrzej Paliński
Relacja kredytodawca-kredytobiorca w ujęciu teorii gier
Teoria gier w ciągu ostatnich 30 lat stała się głównym narzędziem analiz
mikroekonomicznych. Modele budowane przy jej pomocy starają się wyjaśnić
funkcjonowanie róŜnych podmiotów (tzw. agentów) w gospodarce w warunkach asymetrii
informacji. Klasycznym zagadnieniem jest relacja przedstawicielstwa (agency relationship),
która powstaje wówczas, gdy jeden podmiot – mocodawca (principal) zleca do wykonania
pewne działanie drugiemu podmiotowi – przedstawicielowi (agent), przekazując mu
równocześnie uprawnienia decyzyjne niezbędne do wykonania tego działania. Powstaje więc
rozdział pomiędzy podejmowaniem decyzji a ich kontrolowaniem. Strony kierują się przy
tym własnym interesem, co powoduje, Ŝe ich cele nie są w pełni zbieŜne.
W tym nurcie mieści się równieŜ wiele modeli finansowych, w szczególności z
zakresu bankowości. Problemy selekcji kredytobiorców przed udzieleniem kredytu oraz
konstrukcji kontraktu kredytowego zabezpieczającego interesy banku są waŜnym elementem
licznych prac badawczych. Teoria gier znakomicie pozwala modelować zachowania stron w
warunkach braku pełnej informacji na temat intencji stron umowy kredytowej oraz ryzyka i
wyników przedsięwzięcia inwestycyjnego finansowanego ze środków pochodzących z
kredytu.
Z punktu widzenia teorii bankowości najbardziej przydatne w modelowaniu relacji
kredytodawca-kredytobiorca są gry statyczne z niepełną informacją oraz gry dynamiczne z
niepełną informacją. Pierwsze z nich prowadzą do bayesowskiej równowagi Nasha, drugie –
do bayesowskiej równowagi doskonałej. Współcześnie waŜniejszą rolę zaczęło odgrywać
modelowanie bayesowskiej równowagi doskonałej prowadzące do warunkowej oceny
zachowań, co oznacza, Ŝe drugi gracz ocenia jakiego typu moŜe być pierwszy gracz po jego
uprzednim działaniu (akcji). Kluczową rolę odegrał w tym zakresie model Spence’a (1973), w
którym próbowano wyjaśnić przyczynę podejmowania edukacji. WaŜnym wnioskiem z tego
modelu było to, iŜ wykształcenie ma na celu głównie sygnalizowanie zdolności, a nie
umiejętności kandydata poszukującego zatrudnienia. Edukacja jest trudniejsza (bardziej
kosztowna) dla osób mniej zdolnych.
W obszarze bankowości rzeczywiste intencje kredytobiorcy mogą być oceniane na
podstawie jego zachowań. Wysokość deklarowanej spłaty kredytu, wartość oferowanego
zabezpieczenie lub sama nawet wielkość zaciąganego kredytu mogą świadczyć o ryzyku i
potencjalnym zwrocie z przedsięwzięcia finansowanego z kredytu.
Analizowany w dalszej części model w ogólnej postaci zaprezentowany został przez
Krasa’ę i Villamil (2000). Jest to przykład gry sygnalizacyjnej, w której warunkowa ocena
zachowań kredytobiorcy jest dokonywana na podstawie wysokości spłaconego kredytu. Bank
nie obserwuje realizacji projektu inwestycyjnego i jedyne co moŜe zrobić w razie wątpliwości
co do uczciwości kredytobiorcy, to skorzystać z obarczonej kosztami drogi sądowej.
RozwaŜmy gospodarkę z dwoma neutralnymi względem ryzyka agentami. Jeden z
agentów – przedsiębiorca – pozbawiony kapitału dysponuje technologią pozwalającą
zamienić jedną jednostkę nakładu w y jednostek wyniku. Wynik y jest zmienną losową
dyskretną ze skończoną liczbą realizacji y œ Y = {y,…, y }Õ +. Dla uproszczenia, bez utraty
ogólności, przyjmijmy, Ŝe zwrot z inwestycji ma tylko dwie wartości: y = yL i y = yH, gdzie
indeks L oznacza niski zwrot, a indeks H – wysoki zwrot, przy czym yL < yH. Inwestorkredytodawca dysponuje natomiast jedną jednostkę kapitału. Obydwaj agenci posiadają
powszechną początkową wiedzę na temat ocen (beliefs) β(.) na zbiorze moŜliwych realizacji
Y, gdzie β(y) > 0, przy czym w rozwaŜanym przypadku zbiór ocen składa się z dwóch
wartości {β(yL), β(yL)}, zatem β(yL) = 1 – β(yH). Obydwaj agenci wiedzą, Ŝe wynik
przedsięwzięcia będzie obserwowalny jedynie przez przedsiębiorcę.
Aby doszło do rozpoczęcia działalności przedsiębiorca musi poŜyczyć jednostkę
kapitału od inwestora i obydwie strony muszą zawrzeć kontrakt w początkowym okresie
t = 0. Przebieg gry jest następujący.
1. W pierwszym okresie t = 1 natura wybiera zwrot z przedsięwzięcia.
2. W następnym okresie t = 2 przedsiębiorca obserwując wynik przedsięwzięcia decyduje o
tym, jaką kwotę płatności dokonać na rzecz inwestora, biorąc pod uwagę moŜliwość nie
dokonania płatności w ogóle. Dobrowolna początkowa płatność v œ V = {v,…, v }, gdzie
vi§vi+1, nie moŜe być później zwrócona i nie moŜe być wymuszona przez sąd.
3. W ostatnim okresie t = 3 inwestor znając kwotę płatności, ale nie stan natury, decyduje o
ewentualnym wymuszeniu płatności przy wykorzystaniu kosztownej technologii zwanej
sądem. Inwestor podejmuje działanie e, przy pomocy którego moŜe wymusić płatność l(.).
JeŜeli e = 1, wtedy płatność l jest wymuszana, w przeciwnym wypadku e = 0 i nie
dochodzi do wymuszenia płatności.
Aktywa przedsiębiorcy przed podjęciem decyzji o skierowaniu sprawy do sądu wynoszą y - v.
Z uwagi na moŜliwość ukrycia przez przedsiębiorcę części aktywów, lub inne przyczyny
prawne, sąd nie jest w stanie przejąć środków o wartości x . Zatem maksymalny transfer
wymuszony na przedsiębiorcy wynosi x = max{y – v – x , 0}. Zakłada się, Ŝe decyzję o
wymuszeniu płatności podejmuje inwestor, a dodatnie koszty sądowe wynoszą dla inwestor cI
i przedsiębiorcy cE. Są to koszty utracone. Sąd określa prawdziwy stan natury y i wymusza
płatność l(x, v).
Funkcje wypłaty dla obydwu agentów pi, gdzie i = E, I, są następujące
pE(y, v, e) = y – v – e[l(x, v) + cE] oraz
pI(y, v, e) = v + e[l(x, v) – cI], gdzie x = max{y – v – x , 0}.
(1)
Zaprezentowany model jest przykładem dynamicznej gry niekooperacyjnej z niepełną
informacją. Biorą w niej udział dwaj gracze: przedsiębiorca i inwestor (ich indeksy
odpowiednio E – entrepreneur oraz I - investor). Jest to gra sygnalizacyjna (signaling game),
w której warunkowa ocena typu pierwszego gracza przez drugiego następuje na podstawie
zachowania (akcji) pierwszego z nich.
W niniejszym przypadku mamy dwa typy graczy T = {L, H} odpowiadające wynikowi
inwestycji y = {yL, yH}. Natura wybiera typ gracza z określonym prawdopodobieństwem.
Wstępne oceny typu gracza są odpowiednio β(y) = {β(yL), β(yH)}. Przestrzeń akcji
przedsiębiorcy AE = v = [0, yH], zatem jest nią wielkość dobrowolnej płatności na rzecz
kredytodawcy. Na podstawie zaobserwowanej płatności inwestor dokonuje uaktualnienia
oceny typu gracza β(y|v) = {β(yL|v), β(yL|v)}. Przestrzeń akcji kredytodawcy dotyczy jego
decyzji o wymuszeniu płatności z wykorzystaniem sądu i jest nią AI = e = [0, 1], czyli moŜe
to takŜe być decyzja „ułamkowa”.
W rozwaŜanej grze mamy zatem vektor (v, l, sE, sI, β(y|v)), gdzie płatności v, l i
uaktualniona ocena β(y|v) definiują niekooperacyjną grę z niekompletną informacją ze
strategiami mieszanymi sE i sI. Strategia sE odpowiada prawdopodobieństwu przypisanemu
do dobrowolnej płatności v ze strony przedsiębiorcy, podczas gdy sI jest
prawdopodobieństwem z jakim inwestor decyduje o wyborze e dla wymuszenie płatności l.
Definicja (Watson 2005) Profil strategii graczy oraz ich oceny zachowań we wszystkich
zbiorach informacyjnych nazywa się bayesowską równowagę doskonałą jeŜeli:
1. strategia kaŜdego gracza wyznacza optymalne akcje przy jego ocenach i przy
zastosowaniu przez pozostałych graczy ich strategii wchodzących w skład tego
profilu,
2. uaktualnione oceny są zgodne z wzorem Bayesa, jeśli tylko moŜna go zastosować.
Uwzględniając powyŜszą definicję – zbiór strategii mieszanych sE, sI oraz ocen β(y),
β(y|v) rozwaŜanej gry stanowi bayesowską równowagę doskonałą wtedy i tylko wtedy, gdy
(a)
sE œ SE maksymalizuje wartość oczekiwaną EsE,sI pE(y, v, e) dla kaŜdego y.
(b)
sI œ SI maksymalizuje sumę wartości oczeikwanych SyœY β(y|v)EsI pI(y, v, e) dla
kaŜdego v.
(c)
β(y|v) jest otrzymywane z reguły Bayesa wtedy, kiedy tylko jest to moŜliwe.
Warunki (a) oraz (b) nakładają wymaganie, aby kaŜda ze strategii stanowiła
bayesowską równowagę doskonałą dla kaŜdej podgry przy danych ocenach (punkt 1
definicji). Warunek (c) określa sposób uaktualnienia ocen po zaobserwowaniu dobrowolnej
płatności v (punkt 2 definicji).
Analizę modelu naleŜy rozpocząć od sytuacji z pełną informacją odnośnie realizacji
przedsięwzięcia y. Wtedy strategia kaŜdego gracza powinna stanowić najlepszą odpowiedź na
strategię drugiego gracza. Najlepszą strategię przedsiębiorcy wyznacza następujące zadanie
max π E ( y, v, e) .
(2)
v
Mamy zatem z warunku pierwszego rzędu
∂
( y − v − e[l ( x, v) + cE ]) = −1 − e'[l ( x, v) + cE ] − e l ' ( x, v) =
∂v
− 1 − e' ( y − v − x + cE ) − e = 0 .
(3)
Stąd
v* = y − x + cE +
1+ e
.
e'
(4)
PoniewaŜ e jest nieujemne (określone na przedziale [0, 1]) i malejące względem v (bo
wraz ze wzrostem płatności maleje moŜliwość podjęcia decyzji o wykorzystaniu sądu), to
e ¥ 0 i e’ § 0, a ostatni ułamek we wcześniejszym wzorze jest zawsze niedodatni i
maksymalna wartość uzyskiwana jest dla e = 0. Zatem optymalna strategia przedsiębiorcy
powinna prowadzić do uniknięcia wymuszonej płatności w drodze postępowania sądowego.
Optymalną strategią przedsiębiorcy jest spłata równa realizacji inwestycji pomniejszona o
koszty postępowania sądowego i wartość majątku moŜliwego do wyjęcia (ukrycia) spod
transferu w drodze sądowej.
Najlepszą strategię inwestora wyznacza natomiast następujące zadanie
max π I ( y, v, e) = max (v + e[l ( x, v) − cI ]) .
e
(5)
e
Płatność dla inwestora jest funkcją liniową i malejącą względem e z uwagi na koszty
sądowe i majątek przedsiębiorcy wyjęty spod transferu, zatem maksymalną wartość
kredytodawca uzyska dla e = 1, lub dla e = 0 w zaleŜności od strategii kredytobiorcy.
Maksymalna wartość płatności wyniesie v = y, lub v = y – x – cI.
Równowaga będzie zaleŜała od relacji między kosztami postępowania sądowego
przedsiębiorcy i kredytodawcy. Dla zapewnienia braku wymuszenia płatności (e = 0)
wystarczy aby przedsiębiorca dokonał płatności równej v = y – x – cI, gdyŜ jest to minimalna
płatność wymagana przez inwestora. Ostatecznie równowaga istnieje dla pary strategii
(v* = y – x – cI, e* = 0).
Istnienie równowagi zaleŜy równieŜ od wzajemnych relacji yL, yH, x , cI i cE. Nie
będzie to jednak szczegółowo dyskutowane, gdyŜ nie wniesie to nic istotnego do wyników
analizy dla typowych warunków działalności gospodarczej.
W warunkach symetrii informacji równowagę stanowi zatem para strategii –
przedsiębiorca sprawozdaje prawdziwy stan natury i płaci inwestorowi kwotę równą realizacji
inwestycji pomniejszoną o koszty postępowania sądowego i wartość majątku wyjętego spod
transferu sądowego v* = y – x – cI, a inwestor nie podejmuje wymuszenia płatności w drodze
sądowej. Obydwaj gracze unikają ponoszenia kosztów postępowania sądowego, które są
kosztami utraconymi.
WaŜną kwestią, którą naleŜy wziąć tutaj pod uwagę jest to, iŜ inwestor podejmując
decyzję o udzieleniu kredytu potencjalnemu kredytobiorcy musi określić wartość oczekiwaną
takiego przedsięwzięcia. Jest ona zaleŜna nie tylko od wartości realizacji przedsięwzięcia yH i
yL, ale takŜe od wstępnych ocen typów graczy β(y). Mamy zatem
EpI = β(yL) vL* + β(yH) vH* ¥ 0 .
(6)
Nierówność powyŜsza jest warunkiem dojścia w gospodarce do inwestowania. Biorąc
pod uwagę wcześniejsze rozwaŜania nasuwa się tutaj ciekawy wniosek – czym niŜsze koszty
całkowite związane z postępowaniem sądowym oraz sprawniejszy system egzekucji majątku,
tym wyŜsza stopa inwestycji w gospodarce.
W warunkach asymetrii informacji mogą istnieć następujące doskonałe równowagi
bayesowskie:
• Równowaga rozdzielająca, w której przedsiębiorca typu H raportuje yH, a przedsiębiorca
typu L raportuje yL.
• Równowaga łącząca, w której obydwa typy przedsiębiorców raportują yL.
• Równowagi hybrydowe w strategiach mieszanych, w których przedsiębiorca typu H
raportuje yL z określonym prawdopodobieństwem róŜnym od zero.
• Równowagi hybrydowe w strategiach mieszanych, w których inwestor z określonym
prawdopodobieństwem róŜnym od zero stosuje strategię e.
• Równowagi będące kombinacją dwóch wcześniejszych.
Rozpoczynając od równowagi rozdzielającej – nie róŜni się ona istotnie od opisanej
wcześniej sytuacji z pełną informacją. Optymalna strategia przedsiębiorcy w zaleŜności od
jego typu pozostanie analogiczna, jak w przypadku pełnej informacji. Jest ona zatem
następująca
 y L − x − cI , dla y = y L
v = y − x − cI =  H
 y − x − cI , dla y = y H .
*
(7)
Inwestor obserwując wysokość dokonanej płatności dokonuje uaktualnienia swojej
oceny typu kredytobiorcy przyjmując
1, dla v = v*L
0 , dla v ≠ v*L ,
β ( y = y L | v) = 
oraz
(8)
1, dla v = vH*
0 , dla v ≠ vH* .
β ( y = y H | v) = 
(9)
Strategia inwestora jest wtedy następująca
0, dla v = v*
e(v ) = 
*
1, dla v ≠ v .
(10)
Początkowo optymalną płatnością ze strony kredytobiorcy typu H jest vH* = yH – x –
cI, ale sekwencyjna racjonalność wymaga, aby strategia ta uwzględniając zachowanie
drugiego gracza-inwestora była nadal optymalna. Wiedząc, Ŝe inwestor obserwując płatność
vL* uaktualnia swoją ocenę do β(y = yL|vL), kredytobiorca typu H będzie chciał zmienić swoją
strategię i będzie skłonny dokonać niŜszej spłaty, tak aby nie odróŜnić się od kredytobiorcy
typu L i zatrzymać wyŜszą część zwrotu z inwestycji. Zatem pierwotna strategia nie jest
optymalna.
Z powyŜszego wynika, Ŝe w tej grze nie ma równowagi rozdzielającej. Jest to
naturalna konsekwencja braku jakiegokolwiek kosztu fałszerstwa lub funkcji kary wobec
kredytobiorcy o wysokim zwrocie z inwestycji. Przykładowo, w modelu Lacker’a i
Weinberg’a (1989) wprowadzona jest funkcja kosztu fałszowania wyniku przedsięwzięcia.
Koszt ten jest zerowy dla prawdziwej sprawozdawczości i rośnie wraz we wzrostem róŜnicy
między rzeczywistym stanem natury a stanem raportowanym przez przedsiębiorcę. Jest to
realistyczne załoŜenie, gdyŜ fałszowanie sprawozdawczości w praktyce wymaga od podmiotu
gospodarczego wielu kosztownych zabiegów księgowych i prawnych.
Inną powszechnie spotykaną praktyką jest stosowanie prawnego zabezpieczenia spłaty
kredytu, groźba utraty którego stanowi bodziec do prawdziwego raportowania1. W
analizowanym modelu przedsiębiorca nie posiada majątku początkowego, stąd nie ma
moŜliwości zastosowania zabezpieczenia spłaty.
Kolejnym rodzajem równowagi jest równowaga łącząca. W tej równowadze
kredytobiorcy obydwu typów podejmują taką samą akcję vp (indeks p od ang. pooling
equilibrium), co oznacza, Ŝe kredytobiorca typu H udaje kredytobiorcę typu L. Zatem
prawdopodobieństwo zaobserwowania vp pod warunkiem, Ŝe zostało ono zapłacone przez
kredytobiorcę typu L wynosi P(vp|yL) = 1 oraz identycznie dla typu H – mamy P(vp|yH) = 1.
Uaktualnione oceny ze strony inwestora po zaobserwowaniu vp zgodnie z wzorem Bayesa są
następujące
β ( y = y L | vp ) =
P (v p | y L ) β ( y L )
=
P (v p | y L ) β ( y L ) + P (v p | y H ) β ( y H )
1⋅ β ( y L )
β ( yL )
=
=
= β ( yL ) .
L
H
L
L
1 ⋅ β ( y ) + 1 ⋅ β ( y ) β ( y ) + [1 − β ( y )]
(11)
Analogicznie dla drugiego typu kredytobiorcy
1
innym waŜny celem zabezpieczenia jest selekcja kredytobiorców ze względu na ryzyko przedsięwzięcia –
przedsiębiorca o wyŜszym ryzyku w obawie przed utratą zabezpieczenia nie zaciągnie kredytu w ogóle lub
zaciągnie go przy wyŜszym oprocentowaniu, ale bez zabezpieczenia (zob. np. Bester 1985).
β ( y = y H | vp ) = β ( y H ) .
(12)
Uaktualnione oceny są zatem zgodne z początkowymi ocenami typu kredytobiorcy.
Przy uwzględnieniu uaktualnionych ocen funkcja płatności dla inwestora jest teraz
pI(y, v, e) = vp + e[β(yH)(yH – vp – x ) +(1 – β(yH))(yL – vp – x ) – cI] .
(13)
Jest to liniowa funkcja względem akcji inwestora e, zatem maksymalna wartość
wystąpi dla e = 0, lub e = 1. Co po przekształceniach prowadzi do
pI(y, v, e= 0) = vp
pI(y, v, e= 1) = yL + β(yH)(yH – yL) – x – cI .
(14)
Kredytodawcy będzie obojętne, czy otrzyma płatność vp = yL + β(yH)(yH – yL) – x – cI
i nie podejmie decyzji o wymuszeniu płatności przez sąd, czy teŜ dla płatności mniejszej od vp
podejmie decyzję o wymuszeniu.
Stąd optymalną strategią ze strony kredytobiorcy dowolnego typu jest spłat
vp* = yL + β(yH)(yH – yL) – x – cI .
(15)
Sekwencyjna racjonalność wymaga, aby spłata ta była optymalna dla obydwu typów
kredytobiorców. Dla kredytobiorcy typu H mamy
pE(yH, vp*, e= 0) = yH– [yL + β(yH)(yH – yL) – x – cI] .
(16)
Co po przekształceniach daje
pE(yH, vp*, e= 0) = [1– β(yH)](yH – yL) + x + cI .
(17)
Jest to wartość zawsze nie niŜsza niŜ ta, którą kredytobiorca typu H otrzymałby w
wyniku postępowania sądowego wynoszącą x , gdyŜ porównując obydwie wartości mamy
zawsze
[1– β(yH)](yH – yL) + cI.¥ 0
(18)
Dla kredytobiorcy typu L mamy natomiast
pE(yL, vp*, e= 0) = yL– [yL + β(yH)(yH – yL) – x – cI] .
(19)
Co po przekształceniach daje
pE(yL, vp*, e= 0) = – β(yH)(yH – yL) + x + cI .
(20)
Równowaga łącząca będzie zatem istniała, gdy vp będzie takŜe optymalną spłatą dla
kredytobiorcy typu L, czyli wtedy, gdy postępowanie sądowe nie będzie dla niego bardziej
opłacalne, zatem gdy zachodzi
β(yH)(yH – yL) § cI.
(21)
Nierówność ta oznacza, Ŝe nadwyŜka wysokiego zwrotu z inwestycji nad niskim
zwrotem waŜona prawdopodobieństwem wysokiego zwrotu nie moŜe być wyŜsza od kosztów
inwestora związanych z postępowaniem sądowym.
Równowaga łącząca przyjmuje ostatecznie następującą postać. Kredytobiorcy obydwu
typów stosują strategię
vp = yL + β(yH)(yH – yL) – x – cI .
(22)
Uaktualnioną oceną inwestora jest natomiast
1, dla v = v p
0 , dla v ≠ v p ,
β ( y = y L | vp ) = 
(23)
co implikuje strategię
0, dla v = v p
e(v ) = 
1, dla v ≠ v p .
(24)
Kredytodawca obserwując spłatę vp zakłada, Ŝe ma do czynienia z kredytobiorcą typu
L i nie jest dla niego opłacalne podejmowanie wymuszenia płatności.
MoŜliwy jest jeszcze jeden typ równowagi – równowaga hybrydowa w strategiach
mieszanych. W równowadze tej przedsiębiorca typu H z prawdopodobieństwem a pozoruje
zwrot z przedsięwzięcia yL i spłaca kwotę optymalną dla typu L w tej równowadze. Strategią
rozdzielającą dla typu H pozostaje vH* = yH – x – cI. Równowaga taka moŜe istnieć jedynie
wtedy, gdy nie ma moŜliwości renegocjacji pierwotnego kontraktu. Wartość płatności
pochodzących od przedsiębiorcy o niskim zwrocie i „oszukującego” przedsiębiorcy o
wysokim zwrocie wyniesie vh (indeks h od hybrydowy).
Uaktualnione oceny kredytodawcy po zaobserwowaniu płatności vh i vH* są
następujące
β ( y = y L | vh ) =
P (vh | y L ) β ( y L )
=
P (vh | y L ) β ( y L ) + P (vh | y H ) β ( y H )
1⋅ β ( y L )
β ( yL )
=
=
1 ⋅ β ( y L ) + α ⋅ β ( y H ) β ( y L ) + α [1 − β ( y L )]
(25)
oraz
β ( y = y H | v*H ) = 1.
(26)
Prawdopodobieństwo a zaniŜenia płatności przez przedsiębiorcę o wysokim zwrocie
dla osiągnięcia wartość vh zapewniająca równowagę musi spełniać następujący warunek
vh =
β ( yL )
α [1 − β ( y L )]
L
(
y
−
x
−
c
)
+
( y H − x − cI ).
I
β ( y L ) + α [1 − β ( y L )]
β ( y L ) + α [1 − β ( y L )]
(27)
Wynika on stąd, Ŝe prawdopodobieństwo prawdziwej spłaty przy niskim zwrocie
pomnoŜone przez wartość niskiej spłaty oraz prawdopodobieństwo zastosowania wymuszonej
płatności przy niskiej spłacie pochodzącej od przedsiębiorcy o wysokim zwrocie pomnoŜone
przez wysokość płatności wymuszonej stanowią wartość oczekiwaną płatności hybrydowej.
Jest to typowa strategia mieszana inwestora, w której z prawdopodobieństwem r akceptuje on
płatność vL* oraz z prawdopodobieństwem 1 – r wymusza płatność w drodze sądowej
oczekując przejęcia nadwyŜki pochodzącej od przedsiębiorcy o wysokim zwrocie.
Prawdopodobieństwo r spełnia warunek (27), zatem
r ( y L − x − cI ) + (1 − r )( y H − x − cI ) = vh ,
(28)
skąd prawdopodobieństwo a zaniŜania płatności przez przedsiębiorcę o wysokim zwrocie w
warunkach równowagi musi być równe
α=
β ( y L )(1 − r )
.
r[1 − β ( y L )]
(29)
Hybrydowa strategia mieszana będzie opłacalna dla kredytobiorcy o wysokim
zwrocie, gdy oczekiwana wypłata przy płatności hybrydowej vh będzie równa wypłacie przy
optymalnej płatności rozdzielającej dla wysokiego zwrotu, czyli wtedy gdy
q (yH – vh) +(1 – q) x = x + cI,
(30)
gdzie q oznacza prawdopodobieństwo akceptacji płatności hybrydowej i nie zastosowanie
wymuszenia sądowego przez kredytodawcę, co po przekształceniach daje
q=
cI
.
y − vh − x
H
(31)
Hybrydowa doskonała równowaga bayesowska przyjmuje ostatecznie następującą
postać
vh , z prawdop. α
v( y H ) =  *
vH , z prawdop. (1 − α ) ,
(32)
v( y L ) = vh .
(33)
Uaktualniona ocena inwestora jest następująca
β ( y = y L | vh ≤ v < vH* ) = r
(34)
β ( y = y H | v*H ) = 1,
(35)
oraz
co implikuje strategię
0, dla v = vH* lub vh ≤ v < vH* z prawdop. q
e(v ) = 
1, dla v < vh lub vh ≤ v < v*H z prawdop. 1 − q .
(35)
Wnioski
1. W warunkach asymetrii informacji, gdy kredytodawca nie jest w stanie obserwować
wyników przedsięwzięcia realizowanego przez kredytobiorcę, powstaje pokusa
informowania przez przedsiębiorcę o niskim zwrocie z inwestycji i spłacania moŜliwie
najniŜszej kwoty płatności.
2. Przy braku kosztu związanego z fałszowaniem przez przedsiębiorcę sprawozdania
wyników inwestycji nie ma równowagi rozdzielającej, to znaczy takiej, w której
przedsiębiorca o wyŜszym zwrocie spłaca wyŜszą kwotę, a ten o niŜszym zwrocie – kwotę
odpowiednio niŜszą.
3. W warunkach asymetrii informacji istnieje równowaga łącząca, to znaczy taka, w której
obydwa typy przedsiębiorców spłacają taką samą kwotę. Kredytodawca akceptuje tę
kwotę, a przy płatności niŜszej od niej podejmuje decyzję o wymuszeniu płatności w
drodze sądowej.
4. Mimo braku równowagi rozdzielającej moŜe istnieć równowaga hybrydowa w strategiach
mieszanych – przedsiębiorca o wyŜszym zwrocie z określonym prawdopodobieństwem
spłaca niŜszą kwotę, a z przeciwnym prawdopodobieństwem spłaca kwotę optymalną dla
wysokiego zwrotu. Z kolei inwestor losowo akceptuje tę płatność albo podejmuje decyzję
o wymuszeniu płatności. Warunkiem istnienia tej równowagi jest brak moŜliwości
renegocjacji pierwotnego kontraktu.
Bibliografia
1. Bester H. (1985): Screening vs. rationing in credit markets with imperfect information.
“The American Economic Review” 75, 850-855.
2. Krasa S., Villamil A. (2000): Optimal contracts when enforcement is a decision variable.
“Econometrica” 68, 119-134.
3. Krasa S., Villamil A. (2003): Optimal contracts when enforcement is a decision variable:
a replay. “Econometrica” 71, 391-393.
4. Lacker J., Weinberg J. (1989): Optimal contracts under costly state falsification. “The
Journal of Political Economy” 97, 1345-1363.
5. Sharma T. (2003): Optimal contracts when enforcement is a decision variable.
“Econometrica” 71, 387-390.
6. Spence A. (1973): Job Market Signaling. “The Quarterly Journal of Economics” 87, 355374.
7. Watson J. (2005): Strategia. Wprowadzenie do teorii gier. WNT, Warszawa.