Flow velocity estimation method utilizing the phase of the cross

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ
Nr 1078
ELEKTRYKA, z. 121
2010
WŁODZIMIERZ MOSOROW
Wydział Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki
Politechniki Łódzkiej
WYZNACZANIE PR DKO CI PRZEPŁYWU
METOD ANALIZY WIDMA FAZOWEGO FUNKCJI
KORELACJI WZAJEMNEJ OBRAZÓW
TOMOGRAFICZNYCH
Recenzent: dr in . Mariusz Rz sa
Maszynopis dostarczono: 1. 10. 2010
Zaproponowano metod umo liwiaj c pomiar pr dko ci
przepływu z wi ksz dokładno ci w porównaniu z klasycznymi
metodami korelacyjnymi. Wst pne wyniki eksperymentalne zostały
uzyskane dla przepływu grawitacyjnego przy wykorzystaniu systemu
pojemno ciowej tomografii elektrycznej, jednak metoda ta mo e by
u yta równie dla innych metod tomograficznych. Zastosowanie tej
metody w przyszło ci pomo e w tworzeniu dokładniejszych urz dze
do bada przepływów.
1. WPROWADZENIE
Tomografia procesowa znajduje szerokie zastosowanie do monitorowania i
badania procesów przemysłowych (Williams Beck, 1995). Jednym z jej
zastosowa jest pomiar pr dko ci przepływu gaz/ciało stałe za pomoc
dwupłaszczyznowego systemu tomograficznego oraz technik korelacji
wzajemnej (Beck Pl skowski, 1987). Jednak techniki korelacyjne, oparte na
wyszukiwaniu warto ci, przy których funkcja korelacyjna odpowiadaj cych
192
Włodzimierz Mosorow
sobie pikseli z dwu płaszczyzn osi ga maksimum, w rzeczywisto ci s
ograniczone ze wzgl du na ich mał dokładno . Zaproponowana metoda
pozwala mierzy czas przemieszczania si substancji z wi ksz dokładno ci .
Metoda ta wykorzystuje do wyznaczania przesuni cia czasowego faz g sto ci
widmowej obliczonej z funkcji korelacji wzajemnej.
2. OPIS METODY
Niech xn(iT) i yn(iT) oznaczaj chwilowe zmiany koncentracji
otrzymywane z okresem próbkowania T, dla n-tego pixela i-tego obrazu
odpowiednio przekrojów X i Y uzyskanych z dwupłaszczyznowego tomografu.
Je li xn(iT) i yn(iT) s modelowane jako procesy statystyczne, to funkcja korelacji
wzajemnej (FKW) Rxy mo e by u yta do oszacowania czasu przemieszczania si
cz stek pomi dzy X i Y. Jednak u ycie FKW mo e okaza si nieefektywne w
przypadku, gdy funkcja korelacji nie ma wyra nego maksimum lub ma kilka
maksimów.
Zakładaj c, e ruch pomi dzy dwoma płaszczyznami jest równoległy do
osi rury, chwilowe zmiany koncentracji w płaszczy nie X i Y mog by wyra one
jako
(1)
yn(iT-pT) = xn(iT)+r(iT),
gdzie p oznacza nieznane przesuni cie natomiast r(iT) jest warto ci okre laj ca
bł dy przy rekonstrukcji oraz szum pomiarów. Wzajemna g sto widmowa
(WGW) Sxy(j ) jest, wi c definiowana przez czasow dyskretn transformat
Fouriera (DFT) funkcji korelacji wzajemnej:
S xy ( jω ) = Fd {R xy (mT )} = Fd {R x ((m + p ) ⋅ T )},
gdzie: Fd{·} - oznacza dyskretn
autokorelacj funkcji xn(iT).
transformat
m = ...,−1,0,1,...
(2)
Fouriera, Rx(mT) - oznacza
Jak wiadomo przesuni cie w dziedzinie czasu odpowiada obrotowi w
dziedzinie cz stotliwo ci:
(3)
S xy ( jω ) = e jω⋅ p⋅T Fd {Rx ( mT )} = e jω⋅ p⋅T ⋅ S x ( jω )
gdzie: Sx(j ) jest g sto ci widmow dla próbkowanych warto ci xn(iT).
Ze wzoru (3) argument ( ) funkcji Sxy(j ) mo e by wyra ony jako:
( ) = arg[Sxy(j )] = ·p T
(4)
St d wyznaczenie nieznanego dot d parametru p w dziedzinie czasu
zostanie sprowadzone do okre lenia linii prostej opisuj cej argument ( )
wzajemnej g sto ci widmowej Sxy(j ).
Wyznaczanie pr dko ci przepływu metod analizy widma fazowego…
Funkcja
193
( ) w dyskretnej dziedzinie cz stotliwo ci wyra a si wzorem:
2πk
[k ] =
⋅p
k=1,...,N-1
(5)
N
gdzie: N jest liczb próbek obu sygnałów dyskretnych, a k jest indeksem
cz stotliwo ci.
W praktyce liczba indeksów k mo e by zredukowana do M=int[N/nmax],
gdzie nmax jest liczb ramek odpowiadaj cych maksymalnemu mo liwemu
przesuni ciu, int[] wyznacza warto
całkowit z warto ci w nawiasach
kwadratowych.
W celu wyznaczenia warto ci p najpierw u yto estymatora najmniejszych
∧
kwadratów (ang. linear least-squares) do aproksymacji funkcji Φ(k ) :
d
dp
M
∧
(k ) −
k =1
2πk
⋅p
N
2
=0
(6)
∧
gdzie Φ(k ) jest argumentem funkcji wzajemnej g sto ci widmowej obliczonym
∧
∧
dla rzeczywistych sygnałów x n (iT ) i y n (iT ) obarczonych zakłóceniami i
szumem pomiarowym,
i ostatecznie uzyskano wzór do oszacowania przesuni cia p jako
M
∧
3⋅ N
p=
k ⋅ (k ) .
(7)
π ⋅ M ⋅ ( M + 1) ⋅ (2M + 1) k =1
3. WERYFIKACJA METODY
Zaproponowan metod zastosowano do wyznaczenia czasu przesuni cia a
zatem pr dko ci swobodnego opadania cz stek plastikowych za pomoc systemu
dwupłaszczyznowej pojemno ciowej tomografii elektrycznej ECT.
194
Włodzimierz Mosorow
Schemat urz dzenia pokazany został na rys. 1.
Wypełniony
zbiornik
Górna
płaszczyzna X
0
9
580
Zawór
Dolna
płaszczyzna Y
Wylot
Rys. 1. Schemat urz dzenia do bada pr dko ci opadania podczas przepływu
grawitacyjnego
Okre lona obj to (fragment rury o rednicy wewn trznej ok. 5 cm)
została wypełniona plastikowymi cz stkami o rednicy 3 mm i g sto ci 910
kg/m3. Cz stki wst pnie s wstrzymane przez zawór. Ka dy z sensorów składa
si z o miu elektrod podł czonych do systemu ECT. Szybko obrazowania
tomografu wynosi 100 klatek na sekund . Odległo mi dzy płaszczyznami
sensorów wynosi 90mm.
Do celów rekonstrukcji obrazów u yty został zmodyfikowany iteracyjny
algorytm Landwebera (Isaksen 1996, Wajman i inni 2006). Rozdzielczo
ka dego obrazu wynosiła 32x32 piksele. Korek z cz stek przechodz cy przez
rur pod wpływem grawitacji został u yty do oceny czasu przej cia zarówno
klasyczn metod korelacji wzajemnej jak i proponowan metod .
W celu porównania obydwu metody, oszacowuje si najpierw teoretyczn
pr dko vT opadaj cych cz stek:
vT (iT ) = vT ((i − 1)T ) + g −
Cd ⋅ ρ a ⋅ A 2
vT ((i − 1)T ) ⋅ T ,
2⋅m
vT (0) = 0,
i = 1,... (8)
gdzie: m – masa cz stki (1,3 10-5 kg), g – przyspieszenie ziemskie
(9,81 m/s2), Cd – współczynnik tarcia (0,5), A – powierzchnia czołowa cz stki
(7,1 10-6 m2), a – g sto powietrza (1,29 kg/m3).
Wyznaczanie pr dko ci przepływu metod analizy widma fazowego…
koncentracja w górnej płaszczy nie
0,35
koncentracja w dolnej płaszczy nie
0,3
koncentracja wzgl dna
195
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
380
430
480
530
580
num er ram ki
a)
metoda korelacy jna
proponowana metoda
pr dko
teorety czna
5
4,5
4
(m/s)
3,5
3
pr dko
2,5
2
1,5
1
0,5
0
420
445
470
495
520
545
num er ram ki
b)
Rys. 2. Wykres koncentracji (a) i pr dko ci (b) podczas przepływu grawitacyjnego
w rodkowym punkcie jako funkcja numerów ramek
196
Włodzimierz Mosorow
Z równania (8) wynika, e cz stki powinny dociera do ni szej
płaszczyzny znajduj cej si ok. 58 cm od zaworu w czasie 0,35 sekundy, a ich
pr dko powinna osi ga warto 3,21m/s.
Rys. 2a przedstawia zmiany koncentracji w rodkowym pikselu obu
płaszczyzn jako funkcj numerów ramki dla jednego z przeprowadzonego
eksperymentów. Na rys. 3 pokazane s obrazy tomograficzne rozkładu
materiału podczas przepływu grawitacyjnego dla wybranych ramek.
Rys. 2b przedstawia zmiany pr dko ci obliczonej za pomoc obu metod
podczas spadania cz stek. Pr dko ci obliczone na podstawie obu metod s
zbli one, jednak pr dko obliczona na podstawie proponowanej metody jest
bli sza warto ci teoretycznej vT.
górna płaszczyzna X
dolna
płaszczyzna Y
#540
#545
#575
Rys. 3. Obrazy tomograficzne rozkładu materiału przepływu grawitacyjnego
(pokazanego na rys. 2a) dla wybranych ramek
Rys. 4a przedstawia funkcj korelacji wzajemnej obliczon dla numerów
ramek 468-531 dla okna N=64 ramek. Energetyczna i fazowa reprezentacja
g sto ci widmowej funkcji FKW dla 12 pierwszych harmonicznych jest
pokazana na rys. 4b,c (zakładaj c, e nmax=5 ramek i M=int[64/5]=12). Warto ,
przy której FKW przyjmuje maksimum równa 2,98, została obliczona metod
aproksymacji wielomianem (ang. polynomial fitting method), a obliczona
odpowiednio pr dko wynosi:
Wyznaczanie pr dko ci przepływu metod analizy widma fazowego…
197
v=d/p·T= 0,09/2,98·0,01= 3,02 m/s.
Natomiast obliczona z równania 7 warto przesuni cia po=2,79 daje
pr dko
równ 0,09/2,79·0,01=3,22 m/s co dobrze odpowiada warto ci
teoretycznej vT.=3,21 m/s.
4. PODSUMOWANIE
Zaproponowana metoda umo liwia pomiar pr dko ci przepływu z wi ksz
dokładno ci w porównaniu z klasyczn metod korelacyjn . Wst pne
wyniki eksperymentalne zostały uzyskane dla przepływu grawitacyjnego przy
wykorzystaniu systemu pojemno ciowej tomografii elektrycznej, jednak metoda
ta mo e by u yta równie dla innych metod tomograficznych. Zastosowanie tej
metody w przyszło ci pomo e w tworzeniu dokładniejszych urz dze do bada
przepływów.
funkcja korelacji wzajemnej
-32 -28 -24 -20 -16 -12 -8
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4 0
4
numer ramki
a)
8
12 16 20 24 28 32
198
Włodzimierz Mosorow
0,3
0,275
0,25
0,225
0,2
energia
0,175
0,15
0,125
0,1
0,075
0,05
0,025
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
numer harmonicznej
b)
1,6
1,4
faza (rad)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
numer harmonicznej
c)
Rys. 4. Funkcja korelacji obliczona dla ramek o numerach 468-531 (a),
energetyczna (b) i fazowa (c) reprezentacja wzajemnej g sto ci widmowej pierwszych 12
harmonicznych dla (a)
LITERATURA
Beck M.S., Pl skowski A.: Cross correlation flowmeters – their design and
application, Adam Hilger, Bristol, 1987.
[2] Isaksen O.: A review of reconstruction techniques for capacitance
tomography. Measur. Sci. Tech., 7, 1996, pp. 325-37.
[1]
Wyznaczanie pr dko ci przepływu metod analizy widma fazowego…
199
Wajman R., Banasiak R., Mazurkiewicz Ł., Dyakowski T., Sankowski
D.: Spatial imaging with 3D capacitance measurements, Meas. Sci. Technol.,
Vol. 17 ( 8), 2006, pp. 2113-2118.
[4] Williams R. A., Beck M. S.: Process Tomography: Principles, Techniques
and Applications, Oxford: Butterworth-Heinemann, 1995.
[3]
FLOW VELOCITY ESTIMATION METHOD
UTILIZING THE PHASE OF THE CROSS SPECTRAL
DENSITY OF TOMOGRAPHIC IMAGES
Abstract
A method permitting the flow velocity to be measured with higher accuracy
comparing with classical correlation methods, is presented. The preliminary
results were obtained for gravity drop flow using an ECT system, however, the
method can also be used for another tomographic modality. Future application of
this method will help to develop more accurate flowmeters.
Politechnika Łódzka
Katedra Informatyki Stosowanej