Zadania z Mechaniki Kwantowej Zestaw 5

Zadania z Mechaniki Kwantowej
Zestaw 5
5.1. Wektor ~r obracamy wokół osi zdefiniowanej przez jednostkowy wektor ~n o infinitezymalny
kąt ε. Otrzymujemy wektor r~0 , który można zapisać jako:
r~0 = ~r − ε~r × ~n
Proszę wyrazić funkcję falowaą ψ(r~0 ) poprzez ψ(~r) korzystając z rozwinięcia Taylora do pierwszego rzędu w ε. Proszę na tej podstawie zapisać operator obrotu o kąt ε, Rε , poprzez operator
~
momentu pędu L̂
~
L̂ = ~r̂ × p̂~
d
zaś ra = a (a = x, y, z). Obrót o dowolnie duży kąt α wokół osi ~n można
gdzie pa = −i~ da
zapisać jako
Rα = lim RεN
N →∞
α
.
N
gdzie ε =
Posługując się tym wynikiem proszę uzasadnić, że operator obrotu funkcji falowej
o kąt α wokół osi ~n ma postać
i
~
(1)
Rα = e ~ α~nL
Uwaga: zadanie to jest analogiczne do zadania 2.3. Można skorzystać z (~r × ~n)a = abc rb nc
5.2. Proszę pokazać, że operatory orbitalnego momentu pędu spełniają relacje komutacji:
[L̂i , L̂j ] = i~ijk L̂k .
Warto skorzystać z notacji L̂a = abc r̂b p̂c oraz reguł komutacji dla położenia i pędu.
~
5.3. Składowe operatora Ŝ spinu 12 definiujemy jako Sa = 21 σa , gdzie (a = x, y, z) oraz σa to
macierze Pauliego. Korzystając z wyników uzyskanych w Zestawie 1, proszę napisać reguły
komutacji dla operatorów spinu.
~
~ dostaniemy operator obrotu funkcji falowej dla ciała ze
5.4. Kładąc we wzorze (1) Ŝ zamiast L/~
1
spinem 2 wokół osi ~n o kąt α. Proszę pokazać, że operator ten można zapisać jako:
Rα1/2 = cos
α
~ sin α .
+ i ~nS
2
2
Należy skorzystać z faktu, że ~n~n = 1 oraz jawnej postaci macierzy Pauliego oraz sprawdzić
~ Jakiej operacji na funkcji falowej odpowiada
jak zachowują się kolejne potęgi operatora ~nS.
obrót układu o 360 stopni ?
Andrzej Michał Oleś
Marek Rams