Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Transkrypt
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Marek Skarupski Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą kwadratową i nieosobliwą. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą kwadratową i nieosobliwą. Skoro A jest nieosobliwa, to istnieje macierz A−1 oraz X = A−1 B. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn . Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn . Niech będzie, że det(A) 6= 0. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn . Niech będzie, że det(A) 6= 0. Oznaczmy przez det(Ai ) wyznacznik macierzy, w której i-ta kolumna została zastąpiona kolumną wyników B. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wzroy Cramera Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej AX = B, w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn . Niech będzie, że det(A) 6= 0. Oznaczmy przez det(Ai ) wyznacznik macierzy, w której i-ta kolumna została zastąpiona kolumną wyników B. Układ taki ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem xi = det(Ai ) , det(A) Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. i = 1, ..., n. Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: =1 x − y − z (1) 3x + 4y − 2z = −1 3x − 2y − 2z = 1. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: =1 x − y − z (1) 3x + 4y − 2z = −1 3x − 2y − 2z = 1. Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników: 1 det(A) = 3 3 −1 4 −2 −1 −2 −2 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: =1 x − y − z (1) 3x + 4y − 2z = −1 3x − 2y − 2z = 1. Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników: 1 det(A) = 3 3 −1 4 −2 −1 −2 = −8 + 6 + 6 + 12 − 4 − 6 = 6. −2 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań: =1 x − y − z (1) 3x + 4y − 2z = −1 3x − 2y − 2z = 1. Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników: 1 det(A) = 3 3 −1 4 −2 −1 −2 = −8 + 6 + 6 + 12 − 4 − 6 = 6. −2 Teraz liczymy wyznaczniki det(Ax ), det(Ay ), det(Az ), w których w miejsce odpowiednio kolumny pierwszej, drugiej i trzeciej wstawiamy kolumnę wyników: 1 −1 . 1 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład - c.d. 1 det(Ax ) = −1 1 −1 4 −2 −1 −2 −2 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład - c.d. 1 det(Ax ) = −1 1 −1 4 −2 −1 −2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6, −2 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład - c.d. 1 det(Ax ) = −1 1 −1 4 −2 −1 −2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6, −2 1 det(Ay ) = 3 3 1 −1 1 −1 −2 −2 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład - c.d. 1 det(Ax ) = −1 1 −1 4 −2 −1 −2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6, −2 1 det(Ay ) = 3 3 1 −1 1 −1 −2 = 2 − 6 − 3 − 3 + 2 + 6 = −2, −2 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład - c.d. 1 det(Ax ) = −1 1 −1 4 −2 −1 −2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6, −2 1 det(Ay ) = 3 3 1 −1 1 −1 −2 = 2 − 6 − 3 − 3 + 2 + 6 = −2, −2 1 det(Az ) = 3 3 −1 4 −2 1 −1 1 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład - c.d. 1 det(Ax ) = −1 1 −1 4 −2 −1 −2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6, −2 1 det(Ay ) = 3 3 1 −1 1 −1 −2 = 2 − 6 − 3 − 3 + 2 + 6 = −2, −2 1 det(Az ) = 3 3 −1 4 −2 1 −1 = 4 + 3 − 6 − 12 − 2 + 3 = −10. 1 Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Przykład - c.d. Korzystając ze wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązanie układu równań: −6 det(Ax ) = = −1, det(A) 6 det(Ay ) −2 1 y= = =− , det(A) 6 3 det(Az ) −10 5 z= = =− . det(A) 6 3 x= Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wnioski z twierdzenia Cramera W twierdzeniu Cramera była mowa o przypadku, kiedy det(A) 6= 0. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wnioski z twierdzenia Cramera W twierdzeniu Cramera była mowa o przypadku, kiedy det(A) 6= 0. Jeśli det(A) = 0, ale choć jeden z wyznacznikow det(Aj ) 6= 0, to układ jest sprzeczny. Jeśli det(A) = det(A1 ) = ... = det(An ) = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Układ równań macierzowych Układem równań macierzowych nazywamy układ postaci: A1,1 X1 + A1,2 X2 + ... + A1,n Xn = B1 , ... Am,1 X1 + Am,2 X2 + ... + Am,n Xn = Bm gdzie wszystkie występujące tu elementy są macierzami. Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Układ równań macierzowych Układem równań macierzowych nazywamy układ postaci: A1,1 X1 + A1,2 X2 + ... + A1,n Xn = B1 , ... Am,1 X1 + Am,2 X2 + ... + Am,n Xn = Bm gdzie wszystkie występujące tu elementy są macierzami. Przy rozwiązywaniu takich układów można posłużyć się m.in. metodą podstawienia, tzn. z wyznaczamy z jednego rówania postać wybranej niewiadomiej macierzy i wstawiamy do drugiego równania. Należy jednak pamiętać o tym, że mnożenie macierzy nie jest przemienne! Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Literatura Bronsztejn, I.N. Siemiendiajew Matematyka. Poradnik Encyklopedyczny, wyd. siódme, PWN, Warszawa 1986 Mostowski, Stark Elementy algebry wyższej, Biblioteka Matematyczna 16. PWN, Warszawa 1974 Rietsch, E. An introduction to Scilab from a Matlab User’s Point of View, ver. 5.2, 2010, on-line: https://wiki.scilab.org/Tutorials?action=AttachFile&do=get&target= Scilab4Matlab.pdf Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Podziękowania Dziękuję za uwagę Marek Skarupski Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.