ZAGADNIENIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI. 1

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI.
1. Spójniki logiczne i prawa rachunku zdań.
2. Podstawowe operacje na zbiorach i prawa rachunku zbiorów.
3. Relacja równoważności i klasy abstrakcji relacji równoważności.
4. Funkcja jako relacja. Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji (obraz, przeciwobraz, funkcja odwrotna,
różnowartościowa, złożenie funkcji itp.).
5. Równoliczność zbiorów (zbiory skończone, nieskończone, przeliczalne, nieprzeliczalne).
6. Liczby naturalne i zasada indukcji matematycznej.
7. Kresy górny i dolny podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.
8. Ciągi liczbowe (granica ciągu, ciągi zbieżne, rozbieżne, monotoniczne, Cauchy’ego, podciągi).
9. Granica funkcji w punkcie.
10. Ciągłość funkcji (w punkcie, w zbiorze, jednostajna ciągłość).
11. Własności funkcji ciągłej na odcinku domkniętym (na zbiorze zwartym).
12. Własność Darboux.
13. Podstawowe funkcje elementarne i ich własności.
14. Pochodna funkcji w punkcie (własności i reguły różniczkowania, interpretacja geometryczna).
15. Twierdzenia o wartości średniej.
16. Ekstrema lokalne funkcji (warunki konieczne i wystarczające).
17. Ekstrema globalne funkcji.
18. Reguła de l’Hospitala.
19. Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora.
20. Definicja całki Riemanna i jej interpretacja geometryczna.
21. Całkowanie przez części i przez podstawienie.
22. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona.
23. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
24. Szeregi liczbowe (zbieżne, rozbieżne, bezwzględnie zbieżne).
25. Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.
26. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych.
27. Ciągi i szeregi funkcyjne (zbieżność punktowa i jednostajna).
28. Szeregi potęgowe (promień zbieżności, własności granicy szeregu potęgowego, rozwinięcia funkcji elementarnych w szeregi potęgowe).
29. Pochodna i pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych.
30. Pochodna i pochodne cząstkowe odwzorowań wielu zmiennych.
31. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.
1
32. Twierdzenie o funkcji uwikłanej (w przypadku dwóch zmiennych).
33. Całki wielokrotne i ich zastosowania.
34. Przestrzenie liniowe (wektorowe) i ich podstawowe własności.
35. Liniowa zależność i niezależność wektorów.
36. Baza i wymiar przestrzeni liniowej.
37. Przekształcenia liniowe i ich związek z macierzami.
38. Macierze (wyznacznik, rząd, iloczyn macierzy).
39. Układy równań liniowych i twierdzenia o ich rozwiązywaniu.
40. Iloczyn skalarny, prostopadłość wektorów.
41. Baza ortogonalna przestrzeni liniowej.
42. Przestrzenie metryczne.
43. Ciągi i granice ciągów w przestrzeniach metrycznych.
44. Zbiory otwarte i domknięte w przestrzeniach metrycznych.
45. Pojęcia zwartości, spójności i zupełności przestrzeni metrycznych.
ZAGADNIENIA Z SEMINARIUM.
1. Na czym polega podstawowy problem rachunku wariacyjnego?
2. Zasada maksimum Pontragina.
3. Zadanie Bolzy, Meyera, Lagrange’a.
4. Co to jest ciąg minimalizujący, funkcjonał koerycytywny? Co daje koerycytywność ciągu minimalizującego? Podać przykład funkcji ograniczonej z dołu nie posiadającej minimum.
5. Jak wygląda równanie różnicowe liniowe II rzędu o stałych współczynnikach?
6. Definicja otoczki wypukłej, punktu ekstremalnego.
7. Definicja elastyczności funkcji w punkcie.
8. Definicja nośnika zwartego.
9. Określenie gry dwuosobowej o sumie zerowej.
Marek Majewski,
18 czerwca 2010
2