bifurkacje 1 - Politechnika Gdańska

BIFURKACJE
Zdzisław Dzedzej
Politechnika Gdańska
Gdańsk, 2013
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
1
LITERATURA
2
RÓWNANIA -OGÓLNIE
3
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
4
POTOKI
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
1
2
3
J. K. Hale, H. Koçak, Dynamics and Bifurcations,
Springer 1991,
L. Perko, Differential Equations and Dynamical
Systems, Springer 2006,
S.N. Chow, J.K. Hale, Methods of Bifurcation
Theory, Springer 1982.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
PODSTAWOWE TWIERDZENIA
Niech U ⊂ R × Rn będzie zbiorem otwartym i
Rn . Rozważamy problem Cauchy’ego:
ẋ
= f (t , x )
(C )
x (t0 ) = x 0
f :U
→
Twierdzenie 1. (Istnienie). Jeżeli f jest ciągła, to istnieją
α < t0 < β takie, że istnieje rozwiązanie ϕ : (α, β) → Rn
spełniające problem (C ).
Uwaga. Można wybrać maksymalny przedział istnienia
rozwiązania. α może być równe −∞, zaś β∞. Maksymalny przedział istnienia jest zawsze otwarty.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Twierdzenie 2. (Jednoznaczność i zależność od warunków początkowych). Jeżeli f ∈ C k (U , Rn ); k ≥ 1, to
istnieje jedyne rozwiązanie określone na maksymalnym przedziale α, β. Co więcej, wtedy ϕ jest klasy C k w
zależności od argumentów t , t0 , x 0 .
Twierdzenie 3. (O wybuchaniu rozwiązań). Przy założeniach twierdzenia 1, dla każdego ograniczonego i
domkniętego podzbioru W ⊂ U istnieje stała δ > 0
(zależna od W) taka, że dla t ∈
/ (α + δ, β − δ) zachodzi
(t , ϕ(t )) ∈
/ W.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Twierdzenie 4. (Zależność od parametrów.) Niech dodatkowo dany będzie otwarty podzbiór Λ ⊂ Rm . Leśli
f ∈ C k (Λ × U , Rn ), k ≥ 1, to rozwiązanie dla rodziny
problemów
ẋ
= f (λ, t , x )
(Cλ )
x (t0 ) = x 0
jest funkcją klasy
Ck
argumentów λ, t , to , x o .
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
(∗)
ẋ (t ) = f (x (t )), x : I
→ R, I ⊂ R.
Twierdzenie 5. a) Jeżeli f ∈ C 0 (R, R), to dla każdego
x0 ∈ R istnieje maksymalny przedział otwarty (być
może nieograniczony) Ix0 = (αx0 , βx0 ) zawierający t0 i
rozwiązanie ϕ(t , x0 ) określone na Ix0 dla (∗) z warunkiem x (t0 ) = x0 .
b) Jeżeli αx0 > −∞, to limt →α+ |ϕ(t , x0 | = +∞.
c) Jeżeli βx0 < ∞, to limt →β − |ϕ(t , x0 | = +∞.
d) Jeżeli f ∈ C 1 (R, R), to ϕ ∈
mentów, i jest jedyne na Ix0 .
BIFURKACJE
C 1 względem obu arguBIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Uwagi. 1. Rozważanie problemu (∗) z dowolnym t0 jest
tylko pozornie ogólniejsze, niż dla t0 = 0. Jeśli ϕ spełnia
takie (∗), to dla ψ(t ) = ϕ(t − t0 ) mamy
ψ̇(t ) = ϕ̇(t − t0 ) · 1 = f (ϕ(t − t0 )) = f (ψ(t )),
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Uwagi. 1. Rozważanie problemu (∗) z dowolnym t0 jest
tylko pozornie ogólniejsze, niż dla t0 = 0. Jeśli ϕ spełnia
takie (∗), to dla ψ(t ) = ϕ(t − t0 ) mamy
ψ̇(t ) = ϕ̇(t − t0 ) · 1 = f (ϕ(t − t0 )) = f (ψ(t )),
ψ(t0 ) = ϕ(t0 − t0 ) = ϕ(0) = x0 .
Podobnie na odwrót.
2. Z kursu równań różniczkowych 1 wiemy, że rozwiązanie można znależć przez kwadratury ze wzoru
Z x
1
ds = t − t0
x0 f (s )
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Przykład 1. Problem ẋ = −x ; x (0) = x0
ma rozwiązanie x (t ) = e −t x0 na całej prostej.
Pytanie : czy jest to jedyne rozwiązanie ?
Przykład 2. ẋ = x 2 ; x (0) = x0 .
Z powyższego wzoru mamy x (t ) =
x0
1−x0 t .
x0 > 0 rozwiązanie jest na przedziale (−∞, x10 ).
Dla x0 < 0 rozwiązanie jest na przedziale ( x10 , +∞).
Dla x0 = 0 rozwiązanie jest na przedziale (+∞, −∞).
Dla
Zauważmy, że rozwiązanie staje się nieograniczone, gdy
zbliżamy się z t do x10 .
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Przykład 3. ẋ =
Rozwiązanie
√
x , x (0) = x0 , (x ≥ 0)
√
1
(t + 2 x0 )2 .
4
= 0 innym rozwiązaniem jest
x (t ) =
Ale dla
x0
x ≡ 0.
Uwagi. 1. W ostatnim przykładze dziedzina f jest podzbiorem R, co często wynika też z interpretacji (zastosowań).
2. Jeśli f ∈ C n (U , R, gdzie U ⊂ R otwarty i ograniczony,
to w ostatnim twierdzeniu granice w punktach b) i c)
mają leżeć na brzegu U .
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
S
Twierdzenie 5 określa funkcję o dziedzinie D = x0 Ix0 .
Nazywamy ją potokiem (lokalnym) równania ẋ = f (x ).
Własności:
1
ϕ(0, x0 ) = x0 ;
2
ϕ(t + s , x0 ) = ϕ(t , ϕ(s , x0 ) dla każdych t , s , gdy obie
strony są określone ;
3
funkcja ϕ(t , ·) jest klasy C 1 i odwrotna do niej
ϕ(−t , ·) też.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
S
Twierdzenie 5 określa funkcję o dziedzinie D = x0 Ix0 .
Nazywamy ją potokiem (lokalnym) równania ẋ = f (x ).
Własności:
1
ϕ(0, x0 ) = x0 ;
2
ϕ(t + s , x0 ) = ϕ(t , ϕ(s , x0 ) dla każdych t , s , gdy obie
strony są określone ;
3
funkcja ϕ(t , ·) jest klasy C 1 i odwrotna do niej
ϕ(−t , ·) też.
Ogólnie , odwzorowanie ϕ : R × Rn to Rn o powyższych
własnościach nazywamy gładkim układem dynamicznym.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Przestrzeń {(t , x ); t , x ∈ R} będziemy nazywać rozszerzoną przestrzenią fazową równania ẋ = f (x ).
W tej przestrzeni w każdym punkcie (t , x ) wystawiamy
odcinek o tangensie nachylenia równym wartości pochodnej dx /dt . Rodzinę takich odcinków nazywamy
polem kierunków dla naszego równania.
Definicja. Wykres rozwiązania problemu ·x = f (x ), x (0) =
x0 nazywamy trajektorią przechodzącą przez x0 .
Obserwacje. 1. Ponieważ f nie zależy od t, to na poziomych liniach pole kierunków jest stałe.
2. Trajektoria jest styczna do odcinków pola kierunków w punktach, przez które przechodzi.
Z uwagi na obserwację 1 możemy rozważyć rzut pola
kierunków na oś x-ów. Lub też zaznaczyć na tej osi
wektory od x do x + f (x ). Otrzymamy pole wektorowe
f na R. (Patrz rysunki)
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Definicja. Dodatnia (ujemna ) półorbita, orbita są określone wzorami
[
γ + (x0 ) =
ϕ(t , x0 ),
t ∈[0,βx0 )
γ − (x0 ) =
[
ϕ(t , x0 ),
t ∈(αx0 ,0]
γ(x0 ) =
ϕ(t , x0 ).
[
t ∈(αx0 ,βx0 )
Wartość pola wektorowego f (x ) zadaje "prędkość"w
punkcie x .
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Definicja. Punkt x̄ jest punktem równowagi (punktem krytycznym, rozwiązaniem stacjonarnym ...), jeśli
f (x̄ ) = 0.
Możemy rysować obrazek zaznaczając w przestrzeni
fazowej (x-ów) orbity, punkty stacjonarne, zaznaczając
kierunek ruchu. Taki obrazek nazywamy portretem
fazowym równania.
Następujący lemat wynika z jednoznaczności rozwiązań:
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Lemat 1. Załóżmy jednoznaczność rozwiązania dla każdego x0 . Wtedy
1
ϕ(t , x0 ) jest funkcją monotoniczną od t ,
2
ϕ(t , x0 ) < ϕ(t , y0 ) dla wszystkich t , jeśli x0 < y0 ,
3
jeśli γ + (x0 ) jest ograniczona, to βx0 = +∞, oraz
ϕ(t , x0 ) → x̄ przy t → +∞,
4
jeśli γ − (x0 ) jest ograniczona, to αx0 = −∞, oraz
ϕ(t , x0 ) → x̄ przy t → −∞.
Przykład. ẋ = x − x 3 . Punkty równowagi −1, 01. (Rysunek)
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Definicja. Jeżeli γ − (x0 ) jest ograniczona, to zbiór
α(x0 ) = lim+ ϕ(t , x0 )
t →αx0
nazywamy zbiorem α-granicznym dla
x0 .
Definicja. Jeżeli γ + (x0 ) jest ograniczona, to zbiór
ω(x0 ) = lim− ϕ(t , x0 )
t →βx0
nazywamy zbiorem ω-granicznym dla
x0 .
Zatem powyższy lemat mówi, że dla równań skalarnych jednoelementowe zbiory α(x0 ), ω(x0 ) są punktami
równowagi.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Definicja. Punkt stacjonarny x̄ równania (∗) jest stabilny, jeśli
∀ε > 0∃δ = δ(x ) > 0
∀x0
Jeżeli
x̄
|x̄ − x0 | < δ ⇒ ∀t
|ϕ(t , x0 ) − x̄ | < ε
nie jest stabilny, to nazywamy go niestabilnym.
Definicja. Punkt stacjonarny x̄ równania (∗) jest asymptotycznie stabilny, jeśli jest stabilny, oraz
∃r > 0
dla każdego
|ϕ(t , x0 ) − x̄ | →t →∞ 0
x0 takiego, że |x0 − x̄ | < r .
Poniższy elementarny fakt daje proste kryterium stabilności.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Lemat 2. a) Punkt równowagi
∃δ > 0
b)
x̄
x̄
jest stabilny, jeśli
|x − x̄ | < δ ⇒ (x − x̄ )f (x ) ≤ 0.
jest asymptotycznie stabilny ⇔
∃δ > 0
c)
x̄
0 < |x − x̄ | < δ ⇒ (x − x̄ )f (x ) < 0.
jest niestabilny, jeśli
∃δ > 0
(x − x̄ )f (x ) > 0
dla 0 < x − x̄ < δ lub −δ < x − x̄ < 0.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Przykład.
ẋ =
0
gdy
1
3
−x sin x gdy
x =0
x 6= 0
Punkt 0 jest stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.
To dowodzi też, że warunek a) jest wystarczający, ale
nie konieczny.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Przykład.
ẋ =
0
gdy
1
3
−x sin x gdy
x =0
x 6= 0
Punkt 0 jest stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.
To dowodzi też, że warunek a) jest wystarczający, ale
nie konieczny.
Definicja. Punkt równowagi
f 0 (x̄ 6= 0.
BIFURKACJE
x̄
jest hiperboliczny, jeżeli
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Przykład.
ẋ =
0
gdy
1
3
−x sin x gdy
x =0
x 6= 0
Punkt 0 jest stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.
To dowodzi też, że warunek a) jest wystarczający, ale
nie konieczny.
Definicja. Punkt równowagi
f 0 (x̄ 6= 0.
x̄
jest hiperboliczny, jeżeli
Twierdzenie 6. Niech x̄ będzie hiperbolicznym punktem równowagi. Wtedy x̄ jest asymptotycznie stabilny,
gdy f 0 (x̄ ) < 0, zaś niestabilny, gdy f 0 (x̄ ) > 0.
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
Dowód: Niech y = x − x̄ .
Wtedy ȳ = 0 jest równowagą równania ẏ = f (x̄ + y ).
Rozwinięcie Taylora daje postać ẏ = f 0 (x̄ )y + g (y ), gdzie
g (y ) = 0, g 0 (0) = 0.
∀ε > 0∃δ > 0 |y | < δ ⇒ |g 0 (y )| < ε.
Ry
Ze wzoru g (y ) = 0 g 0 (s )ds mamy, że
|g (y )| < ε|y | dla |y | < δ. Biorąc ε < |f 0 (x̄ )| dla |y | < δ
znaki f (x̄ + y ) = f 0 (x̄ )y + g (y ) i f 0 (x̄ )y są takie same.
Teza wynika więc z lematu 2.
Równanie ẋ = f 0 (x̄ )x nazywamy linearyzacją równania
(∗) wokół punktu równowagi x̄ .
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
BIFURKACJE
BIFURKACJE
LITERATURA
RÓWNANIA -OGÓLNIE
SKALARNE RÓWNANIA AUTONOMICZNE
POTOKI
BIFURKACJE
BIFURKACJE