Wykład 4 - MiNI PW

Wykład 4
Tw.Kroneckera-Capellego





a11 x1 + a12 x2 + . . . +a1n xn = b1
a x + a22 x2 + . . . +a2n xn = b2
Dla układu (∗∗)  21 1
...
...
...
...
...



am1 x1 + am2 x2 + . . . +amn xn = bm
macierzą rozszerzoną nazywamy macierz [A, B].
Twierdzenie 1. (Kroneckera-Capellego)
1. Układ (∗∗) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R([A, B]);
2. Jeżeli R(A) = R([A, B]) = n, to układ (∗∗) ma dokładnie jedno rozwiązanie;
3. Jeżeli R(A) = R([A, B]) = k < n, to układ (∗∗) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n − k parametrów.
Podstawowe własności funkcji
X, Y - dowolne zbiory niepuste; f : X → Y - funkcja f określona na zbiorze X o wartościach
w zbiorze Y . x - argument funkcji f (zmienna niezależna); y = f (x) wartość funkcji f (zmienna
zależna).
df
X = Df - dziedzina funkcji f ;
df
Rf ={y ∈ Y : y = f (x) dla pewnego x ∈ Df } - przeciwdziedzina funkcji f.
Jeśli Df ⊂ R, Rf ⊂ R, to f - funkcja liczbowa.
Definicja 1. Funkcje f1 , f2 są równe, jeśli 1) Df1 = Df2 ; 2) ∀x ∈ Df1 [f1 (x) = f2 (x)].
Definicja 2. Niech f : X → Y i A ⊂ X. Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A, jeśli
∀x1 , x2 ∈ A [x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )] ≡ ∀x1 , x2 ∈ A [f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ]
Definicja 3. Niech f : X → Y , g : Y → Z. Funkcja złożona (superpozycja) funkcji f (f. wedf
wnętrzna) i g (f. zewnętrzna)to funkcja h : X → Z określona wzorem ∀x ∈ X[h(x) = g(f (x)).
ozn
h = g ◦ f.
Jeśli f : X → Y taka, że Rf = Y i f - różnowartościowa, to można określić funkcję g : Y → X
wzorem
df
∀x ∈ X, y ∈ Y [g(y) = x ⇔ f (x) = y]
ozn
Funkcja g = f −1 - funkcja odwrotna do funkcji f .
Uwaga 1. f ◦ f −1 = idY , f −1 ◦ f = idX .
Definicja 4. Funkcja f : X → Y jest parzysta, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = f (x)];
Funkcja f : X → Y jest nieparzysta, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = −f (x)].
Algebra i Analiza 1 (AL1)
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2014
Uwaga 2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą. Iloczyn funkcji
parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcja nieparzystą.
Definicja 5. Funkcja f : X → Y jest rosnąca (odp.niemalejąca) na zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀x1 , x2 ∈ A [x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )]
(odp. ∀x1 , x2 ∈ A [x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ¬ f (x2 )] )
Definicja 6. Funkcja f : X → Y jest malejąca (odp.nierosnąca) na zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀x1 , x2 ∈ A [x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )]
(odp. ∀x1 , x2 ∈ A [x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ­ f (x2 )] )
Definicja 7. Funkcja f jest monotoniczna (odp.ściśle monotoniczna) na zbiorze A, jeśli jest na
tym zbiorze niemalejąca lub nierosnąca (odp. rosnąca lub malejąca).
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym przedziale O = (x0 − δ; x0 + δ).
Definicja 8. Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne (odp. minimum lokalne), jeżeli
∀x ∈ O1 ⊂ O [f (x) ¬ f (x0 )] (odp. ∀x ∈ O1 ⊂ O [f (x) ­ f (x0 )])
Funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, jeśli ma w tym punkcie minimum lub maksimum
lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to ekstremum jest
właściwe.
Funkcje cyklometryczne (kołowe)
π π
Funkcja x = sin y na przedziale h− ; i ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościowa.
2 2
Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna arkus sinus (arcsin):
π π
y = arcsin x ⇔ x = sin y i y ∈ h− ; i
2 2
Funkcja x = cos y na przedziale h0 ; πi ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościowa. Na
zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna arkus kosinus (arccos):
y = arccos x ⇔ x = cos y i y ∈ h0 ; πi
π π
Funkcja x = tg y na przedziale (− ; ) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa. Na
2 2
zbiorze R określona jest funkcja odwrotna arkus tangens (arctg ):
π π
y = arctg x ⇔ x = tg y i y ∈ (− ; )
2 2
Funkcja x = ctg y na przedziale (0 ; π) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa. Na zbiorze
R określona jest funkcja odwrotna arkus kotangens (arcctg ):
y = arcctg x ⇔ x = ctg y i y ∈ (0 ; π)
Uwaga 3. Dla każdego x ∈ h−1 ; 1i:
1. sin(arcsin x) = x, cos(arccos x) = x
√
2. sin(arccos x) = cos(arcsin x) = 1 − x2
Algebra i Analiza 1 (AL1)
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2014
Y
Y
y = arcsin x
1.0
y = sin x
2
0.5
-1.5
-1.0
-0.5
y = arccos x
0.5
X
1.0
1
-0.5
-1
-1.0
1
X
2
y = cos x
-1.5
-1
Y
Y
y = tg x
4
4
y = arcctg x
2
2
y = arctg x
-4
-2
Algebra i Analiza 1 (AL1)
2
4
X
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
4
X
y = ctg x
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2014