II_Funkcje elementarne i ich własności

Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji
elementarnych
I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii
Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami.
Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim
przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej
skomplikowanej analizy.
Definicja 1. Funkcją 𝑓 prowadzącą ze zbioru 𝑋 ∕= ∅ w zbiór 𝑌 ∕= ∅ (notacja: 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 )
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi 𝑥 ∈ 𝑋 dokładnie jednego elementu
𝑦 ∈𝑌.
Zbiór 𝑋 nazywamy dziedziną funkcji 𝑓 i oznaczamy przez 𝐷𝑓 . Jego elementy to argumenty funkcji 𝑓 .
Zbiór 𝑌 nazywamy przeciwdziedziną funkcji 𝑓 .
Zbiór 𝑓 (𝑋) = {𝑦 ∈ 𝑌 : ∃𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑓 (𝑥) = 𝑦} to zbiór wartości funkcji 𝑓 . Elementy tego
zbioru to wartości funkcji 𝑓 .
Najczęściej będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w ℝ), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w ℂ lub ℝ𝑛 , ale znamy
również zupełnie inne funkcje.
Przykłady Funkcje na zbiorze ludzi (matka), ciągi.
Przykłady Nie są funkcjami 𝑓 (𝑥) = 𝑥1 ; 𝑋 = 𝑌 = ℝ, 𝑓 (𝑥) = 𝑦 ⇔ 𝑥2 + 𝑦 2 = 1,
𝑋 = 𝑌 = [−1, 1], „funkcja” na zbiorze ludzi (rodzeństwo).
Przykłady Podstawowe przykłady ekonomiczne: funkcja kosztu od wielkości produkcji,
funkcja popytu od ceny, funkcja podaży od ceny, funkcja produkcji w zależności od
nakładów, funkcja użyteczności w zależności od nakładów lub od wyboru koszyka, funkcja
zysku od wielkości inwestycji.
Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z „przepisu” czyli
wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny.
Definicja 2. Mówimy, że funkcja 𝑓 jest równa funkcji 𝑔 jeśli 𝐷𝑓
i ∀𝑥∈𝐷𝑓 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥).
=
𝐷𝑔
2
Przykład 𝑓 (𝑥) = 𝑥 −4𝑥
, 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4.
𝑥
Jeśli, wspominając o funkcji, nic nie mówimy o dziedzinie, to zakładamy, że jest ona
maksymalna możliwa. Dlatego czasem mówimy o zawężeniu funkcji do jakiegoś zbioru
(jeśli chcemy, by dziedzina funkcji została „sztucznie” zmniejszona).
Definicja 3. Niech 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 i 𝐴 ⊂ 𝑋. Wtedy 𝑓 ∣𝐴 : 𝐴 → 𝑌 taka, że
∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑓 ∣𝐴 (𝑎) = 𝑓 (𝑎) nazywana jest zawężeniem funkcji 𝑓 do zbioru 𝐴.
Definicja 4. Wykresem funkcji 𝑓 nazywamy zbiór par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋×𝑌 , takich, że 𝑓 (𝑥) = 𝑦.
Oznaczamy go przez 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑓 .
Definicja 5. Miejscem zerowym lub pierwiastkiem funkcji 𝑓 nazywamy każdy 𝑥 ∈ 𝑋
taki, że 𝑓 (𝑥) = 0.
Przez najbliższe kilka podrozdziałów (jeśli nie będzie zaznaczone, że jest inaczej)
zajmiemy się przykładami funkcji rzeczywistych i ich własnościami. Domyślnie, aż do
sekcji XII włącznie, słowo „funkcja” oznacza funkcję rzeczywistą.
II. Wielomiany, funkcje potęgowe i funkcje wielomianopodobne, równania i
nierówności wielomianowe
Podstawowe informacje o wielomianach - do powtórki (w pliku - wstępne informacje o
funkcjach elementarnych).
Uwaga! Wielomiany pierwszego stopnia (czyli funkcje postaci 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏) są często
w szkole i literaturze ekonomicznej nazywane „liniowymi”. Również podczas wykładu,
na opisanie zależności reprezentowane takimi funkcjami często będziemy używać słowa
1
2
„liniowe”. Jednak ściśle, funkcjami liniowymi są tylko te, dla których 𝑏 = 0 (pojęciem odwzorowania liniowego szczegółowo zajmiemy się na algebrze). Matematycznie
prawidłową nazwą są funkcje afiniczne (czyli takie, które od liniowych różnią się
dodaniem pewnej stałej).
Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych,
czyli funkcja dana wzorem 𝑓 (𝑥) = 𝑥. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach.
Definicja 6. Niech 𝑋 będzie dowolnym zbiorem (niekoniecznie podzbiorem ℝ). Wtedy
funkcję 𝑓 : 𝑋 → 𝑋, taką, że ∀𝑥∈𝑋 𝑓 (𝑥) = 𝑥 nazywamy identycznością na zbiorze 𝑋 i
oznaczamy przez 𝑖𝑑𝑋 lub 𝐼𝑋 .
Definicja 7. Funkcją potęgową zmiennej 𝑥 nazywamy funkcję postaci 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑎 , gdzie
𝑎 ∈ ℝ. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których 𝑎 ∈ ℚ.
√
1
Przypominam, że 𝑥−𝑎 = 𝑥1𝑎 i 𝑥 𝑎 = 𝑎 𝑥. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek.
Funkcje potęgowe, dla których 𝑎 ∈ ℕ są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę
rzeczywistą. Dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika.
Jeśli 𝑎 jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Jeśli zaś 𝑎 = 𝑝𝑞 jest ułamkiem
nieskracalnym oraz 𝑞 jest parzyste, to liczby ujemne też nie należą do dziedziny.
Na koniec tego podrozdziału dodamy pewną niestandardową, lecz wygodną definicję,
której nie znajdzie się w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie.
Definicja 8. Funkcją wielomianopodobną zmiennej 𝑥 nazywamy dowolną skończoną
sumę funkcji postaci 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑟 𝑥𝑟 , gdzie 𝑟 ∈ ℝ i 𝑎𝑟 ∈ ℝ.
Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym,
że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności
podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej
składowych funkcji potęgowych.
III. Parzystość/nieparzystość, monotoniczność funkcji
Pojęcie parzystości i nieparzystości funkcji jest znane ze szkoły - proszę sobie przypomnieć definicję i jak się parzystość/nieparzystość sprawdza, a także jak rozpoznać funkcję
parzystą/nieparzystą po wykresie.
Definicja 9. Funkcję 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 nazywamy różnowartościową (lub injekcją), jeśli nie
przyjmuje nigdy tej samej wartości dla dwu różnych argumentów, czyli
∀𝑎,𝑏∈𝑋 (𝑎 ∕= 𝑏 ⇒ 𝑓 (𝑎) ∕= 𝑓 (𝑏)).
Przykłady 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + 1, 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 .
Definicja 10. Funkcja 𝑓 jest rosnąca w zbiorze 𝐴 ⊂ 𝐷𝑓 jeśli dla każdych 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴
zachodzi 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑓 (𝑎) < 𝑓 (𝑏).
Funkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze 𝐴 ⊂ 𝐷𝑓 jeśli dla każdych 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 zachodzi
𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑓 (𝑎) > 𝑓 (𝑏).
Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między
𝑓 (𝑎) i 𝑓 (𝑏), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub
niemalejących/nierosnących.
Jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca w zbiorze 𝐴, to mówimy, że jest monotoniczna w
tym zbiorze.
Domyślnie, jeśli nie mówimy w jakim zbiorze funkcja jest rosnąca/malejąca, zakładamy,
że jest ona rosnąca/malejąca w całej swojej dziedzinie.
Przykład 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 , 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 .
Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w
zbiorze 𝐵 nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze 𝐴 ∪ 𝐵!
Przykład 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥.
3
Pożytki z funkcji rosnących/malejących: rozwiązywanie nierówności. Jeśli po obu stronach
nierówności występuje funkcja rosnąca w dziedzinie tej nierówności, możemy ją
„pominąć”. Jeśli taka funkcja jest malejąca - jej pominięcie wymaga zmiany kierunku
nierówności. Podobnie postępujemy, gdy chcemy na obu stronach nierówności wykonać
tę samą operację - co jest dozwolone (z ewentualną zmianą kierunku nierówności), jeśli
ta operacja jest funkcją monotoniczną.
Przykład 𝑥2 < 4 dla 𝑥 > 0 i 𝑥 < 0.
IV. Funkcje wykładnicze
Przykład Rozwój populacji, fałszywa hipoteza Malthusa.
VI. Funkcje okresowe, funkcje trygonometryczne
Przykłady zjawisk okresowych: sezonowe zmiany w handlu żywnością, cykle ekonomiczne.
Należy sobie przypomnieć definicje funkcji okresowych oraz okresu funkcji.
Z zakresu funkcji trygonometrycznych powinny być znane pojęcia: miara łukowa, sinus, kosinus, tangens, kotangens (jako funkcje rzeczywiste, niezależne od intuicji geometrycznej).
Powinni Państwo znać: wykresy tych funkcji na osi rzeczywistej, dziedziny funkcji, zbiory
wartości, podstawowe własności (monotoniczność, parzystość/nieparzystość, różnowartościowość, okresowość, okres), wartości funkcji w punktach 0, 𝜋, 𝜋2 , 𝜋3 , 𝜋4 , 𝜋6 , wzory redukcyjne i wszelkie szkolne wzory trgonometryczne.
Ponadto powinni Państwo umieć rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne.
VII. Działania na funkcjach, funkcje odwrotne, funkcje popytu i podaży
Na funkcjach, jak na liczbach można wykonywać działania arytmetyczne.
Definicja 11. Niech 𝑓 : 𝑋 → ℝ i 𝑔 : 𝑋 → ℝ, 𝛼 ∈ ℝ, zaś ⋄ oznacza jedno z działań
+, −, ⋅. Wtedy definiujemy funkcje:
a)𝛼 ⋅ 𝑓 : 𝑋 → ℝ, (𝛼 ⋅ 𝑓 )(𝑥) = 𝛼 ⋅ 𝑓 (𝑥).
b)𝑓 ⋄ 𝑔 : 𝑋 → ℝ, (𝑓 ⋄ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 (𝑥) ⋄ 𝑔(𝑥).
Dodatkowo, jeśli 𝑔(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴, to definiujemy:
(𝑥)
c) 𝑓𝑔 : 𝑋 ∖ 𝐴 → ℝ, 𝑓𝑔 (𝑥) = 𝑓𝑔(𝑥)
.
Dodatkowo, na funkcjach możemy przeprowadzić jeszcze jedno działanie: składanie.
Definicja 12. Niech 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 i 𝑔 : 𝑌 → 𝑍. Wtedy funkcja ℎ : 𝑋 → 𝑍 dana
wzorem ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓 (𝑥)) nazywa się złożeniem funkcji 𝑓 i 𝑔. Oznaczamy ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓 . 𝑓 jest
nazywana funkcją wewnętrzną, a 𝑔 funkcją zewnętrzną takiego złożenia.
Przykład Podatki.
Przykład Składanie i rozkładanie różnych funkcji.
Uwaga! Składanie funkcji nie jest przemienne!
Definicja 13. Funkcję 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 nazywamy surjekcją, jeśli przeciwdziedzina tej funkcji
jest równa zbiorowi wartości tj. ∀𝑦∈𝑌 ∃𝑥∈𝑋 : 𝑓 (𝑥) = 𝑦.
Przykłady 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 . Surjekcjami na ℝ są zawsze wielomiany nieparzystego stopnia. Zazwyczaj łatwo „poprawić” funkcję tak, by była surjekcją - wystarczy
zmniejszyć jej zbiór wartości (np. 𝑔(𝑥) = 2𝑥 jest surjekcją na jako funkcja 𝑔 : ℝ → ℝ+ ).
Definicja 14. Funkcję 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją, jeśli
jest injekcją i surjekcją.
Bijekcjami na swojej dziedzinie i zbiorze wartości są wszystkie funkcje monotoniczne
np. funkcje wykładnicze. Funkcje trygonometryczne są bijekcjami dopiero po zawężeniu
dziedziny i przeciwdziedziny.
Definicja 15. Dla bijekcji 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 definiujemy jej funkcję odwrotną 𝑓 −1 : 𝑌 → 𝑋
następująco: 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥, gdzie 𝑥 jest takie, że 𝑓 (𝑥) = 𝑦. Jest to jedyna funkcja taka, że
𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝑖𝑑𝑌 , 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑𝑋 . Każdą funkcję, która posiada funkcję odwrotną nazywamy
odwracalną.
4
Wykres Wykresy wzajemnie odwrotnych funkcji rzeczywistych są symetryczne względem
prostej 𝑦 = 𝑥.
Przykład 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 + 2.
Przykład Funkcje popytu i podaży - wykresy walrasowskie i marshallowskie.
Twierdzenie 1. (Zasada buta i skarpetki) Jeśli funkcje 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 i 𝑔 : 𝑌 → 𝑍 są
odwracalne, to (𝑔 ∘ 𝑓 )−1 = 𝑓 −1 ∘ 𝑔 −1 .
Twierdzenie 2. Jeśli funkcja 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 jest funkcją rosnącą (malejącą) i odwracalną,
to 𝑓 −1 : 𝑌 → 𝑋 również jest funkcją rosnącą (malejącą).
VIII. Funkcje logarytmiczne
Funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej jest funkcja logarytmiczna.
Powinni państwo sobie przypomnieć wszystko o definicji, wykresie i własnościach (różnowartościowość, monotoniczność, dziedzina, zbiór wartości) funkcji logarytmicznej. Ponadto
wzory związane z logarytmami (logarytm iloczynu, logarytm potęgi, wartość logarytmu
w 1 i w 𝑎) oraz rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych.
Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln 𝑥. ln, czyli logarytm naturalny, jest to
logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera - liczba niewymierna (tak jak 𝜋),
oznaczana przez 𝑒 ≈ 2, 72. Wkrótce poznamy ciekawe - zarówno z punktu widzenia
zarówno matematyki, jak i zastosowań, własności tej liczby, oraz funkcji 𝑒𝑥 i ln 𝑥.
Przykład Po jakim czasie dana suma zostanie zgromadzona na lokacie?
Równania i nierówności logarytmiczne rozwiązujemy, korzystając z własności monotoniczności i różnowartościowości funkcji.
IX. Funkcje cyklometryczne
Generalnie, funkcje trygonometryczne nie są odwracalne: skoro są okresowe, nie mogą
być różnowartościowe. Dlatego, zanim skonstruujemy funkcje odwrotne do nich, musimy
zawęzić ich dziedziny.
Funkcją odwrotną do sin ∣[−𝜋/2,𝜋/2] jest arcsin : [−1, 1] → [− 𝜋2 , 𝜋2 ]. Wartość można obliczyć
zgodnie
z
zasadami
obliczania
wartości
funkcji
odwrotnej,
czyli
arcsin 𝑥 = 𝑦 ⇔ sin 𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ [− 𝜋2 , 𝜋2 ]. Na przykład arcsin(−1) = − 𝜋2 , bo sin(− 𝜋2 ) = −1,
arcsin 21 = 𝜋6 , bo sin 𝜋6 = 12 .
Wykres
Funkcją odwrotną do cos ∣[0,𝜋] jest arccos : [−1, 1] → [0, 𝜋]. Wartość można obliczyć
zgodnie
z
zasadami
obliczania
wartości
funkcji
odwrotnej,
czyli
arccos 𝑥 = 𝑦 ⇔ cos 𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ [0, 𝜋]. Na przykład arccos(−1) = 𝜋, bo cos 𝜋 = −1,
arccos 21 = 𝜋3 , bo cos 𝜋3 = 12 .
Wykres
Funkcją odwrotną do tg ∣(−𝜋/2,𝜋/2) jest arctg : ℝ → (− 𝜋2 , 𝜋2 ). Wartość można obliczyć
zgodnie
z
zasadami
obliczania
wartości
funkcji
odwrotnej,
czyli
arctg 𝑥 = 𝑦 ⇔ tg 𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (− 𝜋2 , 𝜋2 ). Na przykład arctg(−1) = − 𝜋4 , bo tg(− 𝜋4 ) = −1,
√
√
arctg 3 = 𝜋3 , bo tg 𝜋3 = 3.
Wykres
Warto zwrócić uwagę, że arctg, choć jest funkcją stale rosnącą, to jest ograniczony od
góry tj. istnieje liczba, która jest większa od każdej z wartości przyjmowanych przez
arctg.
Funkcją odwrotną do ctg ∣(0,𝜋) jest arcctg : ℝ → (0, 𝜋). Wartość można obliczyć
zgodnie
z
zasadami
obliczania
wartości
funkcji
odwrotnej,
czyli
3𝜋
3𝜋
arcctg 𝑥 = 𝑦 ⇔ ctg 𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (0, 𝜋). Na przykład arcctg(−1) = 4 , bo ctg 4 = −1,
√
√
arcctg 3 = 𝜋6 , bo ctg 𝜋6 = 3.
Wykres
Własności funkcji cyklometrycznych
∙ Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a
dziedziną arcsin i arccos jest zbiór [−1, 1].
5
∙ Zbiór wartości: Dla funkcji arcsin zbiorem wartości jest [− 𝜋2 , 𝜋2 ], dla funkcji arccos
zbiorem wartości jest [0, 𝜋], dla arctg zbiorem wartości jest (− 𝜋2 , 𝜋2 ), dla arcctg
zbiorem wartości jest (0, 𝜋).
∙ Funkcje arcsin i arctg są nieparzyste.
∙ Funkcje arcsin i arctg są rosnące, a arccos i arcctg są malejące w swojej dziedzinie.
∙ Wszystkie te funkcje są różnowartościowe (więc są bijekcjami na swój obraz) i
odwracalne.
Dodatkowo, zachodzą równości (w dziedzinie odpowiednich funkcji):
arcsin 𝑥 + arccos 𝑥 =
𝜋
𝜋
; arctg 𝑥 + arcctg 𝑥 = .
2
2
X. Dziedzina-podsumowanie
Wszystkie powyżej przedstawione funkcje rzeczywiste są tzw. funkcjami elementarnymi.
Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badania zachowania się różnych
funkcji (najczęściej powstających przez odpowiednie działania na funkcjach elementarnych).
Prawie zawsze (a przynajmniej, jeśli nie jest powiedziane inaczej), takie badanie musi być
poprzedzone obliczeniem dziedziny odpowiedniej funkcji.
Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny:
∙ Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni).
∙ Pierwiastki lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników.
∙ Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens).
∙ Funkcje logarytmiczne.
∙ Funkcje cyklometryczne.
Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo
złożonej funkcji.
√
Przykład 𝑓 (𝑥) =
arcsin
ln(1−𝑥)
.
𝑥+1
XI. Wklęsłość i wypukłość funkcji
Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych
własność to wypukłość/wklęsłość.
Definicja 16. Funkcja 𝑓 jest wypukła w przedziale [𝑎, 𝑏] jeśli dla dowolnych, różnych
punktów 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏) i liczby 𝛼 ∈ (0, 1) zachodzi
𝑓 (𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ) < 𝛼𝑓 (𝑥1 ) + (1 − 𝛼)𝑓 (𝑥2 ).
Funkcja 𝑓 jest wklęsła w przedziale [𝑎, 𝑏] jeśli dla dowolnych, różnych punktów
𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏) i liczby 𝛼 ∈ (0, 1) zachodzi 𝑓 (𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ) > 𝛼𝑓 (𝑥1 ) + (1 − 𝛼)𝑓 (𝑥2 ).
Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy
o słabej wypukłości/wklęsłości.
Interpretacja geometryczna: funkcja jest wypukła, jeśli odcinek łączący dwa punkty
wykresu funkcji przebiega nad tym wykresem. Oczywiście, jeśli funkcja jest wklęsła,
to odcinek łączący dwa punkty wykresu funkcji przebiega pod tym wykresem. Można
sobie wyobrazić próbę nalania płynu (od góry) do naczyń w tych kształtach: z kieliszka
wklęsłego płyn się zawsze wyleje...
√
Przykłady 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 - wypukła w całej dziedzinie. 𝑓 (𝑥) = 𝑥 - wklęsła w całej
dziedzinie, 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 - wklęsła w [−∞, 0], wypukła w [0, +∞].
Interpretacja związana z monotonicznością: Jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to
znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli
jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje
coraz szybciej.
Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość:
Jeśli funkcja 𝑓 jest wypukła, to funkcja −𝑓 jest wklęsła.
Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie
(jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (𝑥2 ).
6
Funkcje wykładnicze są wypukłe. Funkcje logarytmiczne są wklęsłe, jeśli podstawa
logarytmu jest większa od 1, a w przeciwnym wypadku są wypukłe.
Funkcje cyklometryczne i trygonometryczne nie są wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie
(jedynie przedziałami).
Przykłady Warunek wypukłości pojawia się często w zastosowaniach ekonomicznych.
Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeśli są „niekorzystne”
(np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) i wklęsłe, jeśli są korzystne (funkcja
przychodu od nakładów - zasada malejących przychodów krańcowych).
XII. Rzeczywiste funkcje nieelementarne
Najbardziej popularne (i chyba jedyne pojawiające się na tym kursie) funkcje, które
nie są ani funkcjami elementarnymi, ani nie powstają za pomocą przedstawionych w
podrozdziale VI działań na funkcjach, to tzw. sklejenia funkcji, które polegają na tym,
że funkcja jest zdefiniowana różnymi wzorami elementarnymi na różnych przedziałach.
Czasem funkcje tego typu są na tyle użyteczne, że uzyskują własne oznaczenie.
Przykłady 𝑓 (𝑥) = ∣𝑥∣, 𝑓 (𝑥) = sgn 𝑥.
XIII. Funkcje wielu zmiennych - przykłady
Żeby Państwa nie przyzwyczajać zanadto do myśli, że wszystkie funkcje muszą zależeć
od jednej zmiennej, przedstawię kilka przykładów, że tak nie jest. W istocie, nieczęsto się
zdarza, by jakiekolwiek zjawisko, ekonomiczne, czy inne, było zależne tylko od jednego
bodźca. Dlatego używanie funkcji wielu zmiennych jest często konieczne, by stworzyć
właściwy model.
Kanoniczny iloczyn skalarny
Rozważmy dwa wektory w przestrzeni ℝ𝑛 : 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) i 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 , . . . , 𝑦𝑛 ).
Odwzorowanie 𝑢 : ℝ𝑛 × ℝ𝑛 → ℝ zdefiniowane wzorem 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + . . . +
𝑥𝑛 𝑦𝑛 nazywamy kanonicznym iloczynem skalarnym. Często używa się innych oznaczeń:
𝑢(𝑥, 𝑦) =< 𝑥, 𝑦 >= 𝑥 ∘ 𝑦, albo po prostu: 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦.
Geometryczna interpretacja: Dla wektorów 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 można użyć iloczynu skalarnego
jako sposobu znajdowania kąta między nimi, gdyż zachodzi zależność < 𝑥, 𝑦 >= ∣∣𝑥∣∣ ⋅
∣∣𝑦∣∣ ⋅ cos 𝛼, gdzie 𝛼 jest miarą kąta między nimi. Zauważmy, że nie ma znaczenia, w którą
stronę ten kąt jest mierzony, gdyż cos jest funkcją parzystą.
Najczęściej używa się tej zależności do badania prostopadłości wektorów: dwa wektory
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wynosi 0.
Ekonomiczna interpretacja: Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii.
Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz
rynkowy posiada następujące zasoby: 𝑥1 jednostek dobra 1, 𝑥2 jednostek dobra 2 itd.
(liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr
to: 𝑦1 za jednostkę dobra 1, 𝑦2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą być ujemne, jeśli
dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne) Wtedy wartość wszystkich zasobów
gracza rynkowego (jego koszyka dóbr) wynosi < 𝑥, 𝑦 >.
Funkcje produkcji (Cobba-Douglasa)
Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami:
kapitałem i pracą. Są one postaci: 𝐹 (𝐾, 𝐿) = 𝑎𝐾 𝛼 𝐿𝛽 , gdzie 𝐾 to nakład kapitału, a 𝐿
to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania 𝐹 (𝐾, 𝐿) jednostek produktu. 𝑎, 𝛼 i 𝛽
są liczbami rzeczywistymi. Jak widać: 𝐹 : ℝ+ × ℝ+ → ℝ. Obecnie funkcje tej postaci
rozważa się w wielu kontekstach, niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału
oraz produkcją. Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne.
Ciekawostka: czasem do założeń o funkcjach Cobba-Douglasa dokłada się warunek
𝛼 + 𝛽 = 1 obrazujący tzw. brak efektu skali (tj. informację o tym, że np. jednoczesne
podwojenie nakładów kapitału i nakładów pracy spowoduje podwojenie produkcji). Gdy
chcemy dodać działanie efektu skali, możemy założyć 𝛼 + 𝛽 < 1 lub 𝛼 + 𝛽 > 1.