Wyklad III semestr

Transkrypt

Wyklad III semestr

Powierzchnie
Twierdzenia typu Stokesa
Równania ró»niczkowe zwyczajne
Caªka funkcji wielu zmiennych
Niech P = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] b¦dzie prostopadªo±cianem. Wtedy
• Obj¦to±¢ P wynosi (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an ),
• dªugo±¢ p
przek¡tnej P wynosi
δ(P) = (b1 − a1 )2 + . . . + (bn − an )2 .
Powierzchnie
• dªugo±¢ p
δ(P) = (b1 − a1 )2 + . . . + (bn − an )2 .
Rozwa»my funkcj¦ f : P → R. Naszym celem jest zdeniowanie caªki z
funkcji f po zbiorze P . Niech
• P b¦dzie dowolnym podziaªem prostopadªo±cianu P na
prostopadªo±ciany P1 , . . . Pk ,
• v1 , . . . vn b¦d¡ obj¦to±ciami P1 , . . . Pn .
Powierzchnie
• dªugo±¢ p
δ(P) = (b1 − a1 )2 + . . . + (bn − an )2 .
Rozwa»my funkcj¦ f : P → R. Naszym celem jest zdeniowanie caªki z
funkcji f po zbiorze P . Niech
• P b¦dzie dowolnym podziaªem prostopadªo±cianu P na
prostopadªo±ciany P1 , . . . Pk ,
• v1 , . . . vn b¦d¡ obj¦to±ciami P1 , . . . Pn .
rednic¡ podziaªu P nazywamy najwi¦ksz¡ dªugo±¢ przek¡tnej
prostopadªo±cianów P1 , . . . , Pk .
Powierzchnie
Caªka funkcji wielu zmiennych cd.
Wybieramy dowolny punkt ξi ∈ Pi i tworzymy sum¦ aproksymacyjn¡
σP = f (ξ1 )x1 + . . . + f (ξk )f (vk ),
sum¦ aproksymacyjn¡ doln¡
sP = m1 x1 + . . . + mk f (vk ), gdzie mi = inf {f (ξi ) : ξi ∈ Pi }
oraz sum¦ aproksymacyjn¡ górn¡
SP = M1 x1 + . . . + Mk f (vk ), gdzie Mi = inf {f (ξi ) : ξi ∈ Pi }
Przypomnijmy, »e ci¡g podziaªów nazywamy normalnym je±li ±rednica
podziaªów d¡»y do 0.
Powierzchnie
Denicja
Funkcj¦ f : P → R nazywamy caªkowaln¡ w sensie Riemanna po
prostopadªo±cianie P je±li dla ka»dego normalnego ci¡gu podziaªów i dla
dowolnego wyboru punktów ξi ∈ Pi ci¡g sum aproksymacyjnych σPn jest
zbieny do tej samej granicy. Granic¦ t¦ nazywamy n-krotn¡ caªk¡
Riemanna funkcji f po zbiorze P i oznaczamy przez
Z
P
f (x)dx lub
Z
Z
...
P
f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .
Powierzchnie
Denicja
Funkcj¦ f : P → R nazywamy caªkowaln¡ w sensie Riemanna po
prostopadªo±cianie P je±li dla ka»dego normalnego ci¡gu podziaªów i dla
dowolnego wyboru punktów ξi ∈ Pi ci¡g sum aproksymacyjnych σPn jest
zbieny do tej samej granicy. Granic¦ t¦ nazywamy n-krotn¡ caªk¡
Riemanna funkcji f po zbiorze P i oznaczamy przez
Z
P
f (x)dx lub
Z
Z
...
f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .
P
Analogicznie tworzymy caªk¦ górn¡ i doln¡. Zauwa»my, »e w przypadku
n = 1 powy»sza dencja pokrywa si¦ z denicj¡ caªki Riemanna po
przedziale.
Powierzchnie
Wªasno±ci caªki
Twierdzenie
Funkcja f : P → R jest caªkowalna w sensie Riemanna po
prostopadªo±cianie P wtedy i tylko wtedy gdy caªka górna funkcji f jest
równa caªce dolnej z tej funkcji.
Powierzchnie
Wªasno±ci caªki
Twierdzenie
Funkcja f : P → R jest caªkowalna w sensie Riemanna po
prostopadªo±cianie P wtedy i tylko wtedy gdy caªka górna funkcji f jest
równa caªce dolnej z tej funkcji.
Twierdzenie
Niech P ⊂ Rn b¦dzie prostopadªo±cianem oraz niech f : P → R b¦dzie
funkcj¡ ci¡gª¡. Wtedy f jest caªkowalna w sensie Riemanna.
Powierzchnie
Caªka po dowolnym zbiorze
Niech D ⊂ Rn b¦dzie dowolnym ograniczonym zbiorem oraz niech
f : D → R b¦dzie funkcj¡ ograniczon¡. Wtedy istnieje prostopadªo±cian P
taki, »e D ⊂ P . Rozszerzamy funkcj¦ f do funkcji fb: P → R w
nast¦puj¡cy sposób:
fb(x) =
f (x) dla x ∈ D
.
0
dla x ∈ P \ D
Powierzchnie
Caªka po dowolnym zbiorze
Niech D ⊂ Rn b¦dzie dowolnym ograniczonym zbiorem oraz niech
f : D → R b¦dzie funkcj¡ ograniczon¡. Wtedy istnieje prostopadªo±cian P
taki, »e D ⊂ P . Rozszerzamy funkcj¦ f do funkcji fb: P → R w
nast¦puj¡cy sposób:
fb(x) =
f (x) dla x ∈ D
.
0
dla x ∈ P \ D
Denicja
Funkcj¦ f nazywamy caªkowaln¡ w sensie Riemanna po zbiorze D gdy fb
jest caªkowalna w sensie Riemanna po P . Przyjmujemy wtedy
Z
Z
fb(x)dx.
f (x)dx =
D
P
Powierzchnie
Wªasno±ci caªki
Twierdzenie
Je±li f , g : D → R, gdzie D ⊂ Rn s¡ caªkowalne, to
1. dla dowolnego λ ∈ R funkcja λf : D → R jest caªkowalna oraz
Z
Z
λf (x)dx = λ
D
f (x)dx,
D
2. funkcja f + g : D → R jest caªkowalna oraz
Z
Z
λf (x) + g (x)dx =
D
Z
λf (x)dx +
D
λg (x)dx.
D
Powierzchnie
Miara Jordana
Denicja
Niech D ⊂ Rn b¦dzie zbiorem ograniczonym, takim, »e funkcja f (x) = 1
jest caªkowalna w sensie Riemanna na D . Mówimy wtedy, »e D jest
mierzalny w sensie Jordana. Ponadto
Miar¡ Jordana (obj¦to±ci¡) tego
R
zbioru nazywamy liczb¦ |D| = D 1dx .
Powierzchnie
Miara Jordana
Denicja
R
Jak mo»na zinterpretowa¢ t¦ wielko±¢?
Powierzchnie
Miara Jordana
Denicja
R
Jak mo»na zinterpretowa¢ t¦ wielko±¢?
Twierdzenie
Niech D ⊂ Rn b¦dzie zbiorem mierzalnym w sensie Jordana. Wtedy
mierzalne w sensie Jordana s¡ jego wn¦trze, domkni¦cie oraz brzeg.
Ponadto |D| = |D| = |int|D|| oraz |∂D| = 0.
Powierzchnie
Czy funkcja ci¡gªa jest caªkowalna?
Twierdzenie
Je»eli D jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana, a f : D → R jest
funkcj¡ ci¡gª¡ to f jest caªkowalna w sensie Riemanna.
Powierzchnie
Czy funkcja ci¡gªa jest caªkowalna?
Twierdzenie
funkcj¡ ci¡gª¡ to f jest caªkowalna w sensie Riemanna.
Twierdzenie
funkcj¡ ci¡gª¡ to
Z
Z
f (x)dx =
D
Z
f (x)dx =
D
intD
f (x)dx.
Powierzchnie
Addytywno±¢ caªki wzgl¦dem sumy zbiorów
Twierdzenie
Niech D1 , D2 b¦d¡ zbiorami mierzalnym w sensie Jordana, takimi, »e
intD1 ∩ intD2 oraz niech f : D1 ∪ D2 → R b¦dzie caªkowalna. Wtedy
Z
Z
f (x)dx =
D1 ∪D2
Z
f (x)dx +
D1
f (x)dx.
D2
Powierzchnie
Addytywno±¢ caªki wzgl¦dem sumy zbiorów
Twierdzenie
Niech D1 , D2 b¦d¡ zbiorami mierzalnym w sensie Jordana, takimi, »e
intD1 ∩ intD2 oraz niech f : D1 ∪ D2 → R b¦dzie caªkowalna. Wtedy
Z
Z
Z
f (x)dx =
f (x)dx +
D1 ∪D2
D1
f (x)dx.
D2
Twierdzenie
Niech D b¦dzie zbiorem mierzalnym w sensie Jordana, a f : D → R
funkcj¡ caªkowaln¡ i ograniczon¡. Oznaczmy
m = inf {f (x) : x ∈ D},
Wtedy
M = sup{f (x) : x ∈ D}.
Z
m|D| ≤
f (x)dx ≤ M|D|.
D
Powierzchnie
Zbiory normalne
Wniosek
Je±li f ≥ 0 na D , to
R
D
f ≥ 0.
Powierzchnie
Zbiory normalne
Wniosek
R
D
f ≥ 0.
Denicja
Dowolny przedziaª jest zbiorem normalnym w R.
Powierzchnie
Zbiory normalne
Wniosek
R
D
f ≥ 0.
Denicja
Dowolny przedziaª jest zbiorem normalnym w R. Zbiór D ⊂ R2
nazywamy normalnym wzgl¦dem pierwszej wspóªrz¦dnej gdy istniej¡
funkcje ci¡gªe ϕ1 , ψ1 : [a, b] → R takie, »e
D = {(x, y ) ∈ R2 : ϕ1 (y ) ≤ x ≤ ψ1 (y ), a ≤ y ≤ b}.
Powierzchnie
Zbiory normalne
Wniosek
R
D
f ≥ 0.
Denicja
D = {(x, y ) ∈ R2 : ϕ1 (y ) ≤ x ≤ ψ1 (y ), a ≤ y ≤ b}.
Zbiór D ⊂ R2 nazywamy normalnym wzgl¦dem drugiej wspóªrz¦dnej gdy
istniej¡ funkcje ci¡gªe ϕ2 , ψ2 : [c, d] → R takie, »e
D = {(x, y ) ∈ R2 : c ≤ x ≤ d,
ϕ2 (x) ≤ y ≤ ψ2 (x)}.
Powierzchnie
Zbiory normalne
Wniosek
R
D
f ≥ 0.
Denicja
D = {(x, y ) ∈ R2 : ϕ1 (y ) ≤ x ≤ ψ1 (y ), a ≤ y ≤ b}.
Zbiór D ⊂ R2 nazywamy normalnym wzgl¦dem drugiej wspóªrz¦dnej gdy
istniej¡ funkcje ci¡gªe ϕ2 , ψ2 : [c, d] → R takie, »e
D = {(x, y ) ∈ R2 : c ≤ x ≤ d,
ϕ2 (x) ≤ y ≤ ψ2 (x)}.
Zbiór D nazywamy normalnym gdy jest normalny wzgl¦dem pierwszej lub
drugiej zmiennej
Powierzchnie
Zbiory regularne
Denicja
Zbiór D nazywamy regularnym gdy jest sko«czon¡ sum¡ zbiorów
normalnych o rozª¡cznych wn¦trzach
Powierzchnie
Zbiory regularne
Denicja
Zbiór D nazywamy regularnym gdy jest sko«czon¡ sum¡ zbiorów
normalnych o rozª¡cznych wn¦trzach
Czy nast¦puj¡ce zbiory s¡ zbiorami normalnymi?
• Zbiór ograniczonym przez wykresy funkcji y = 2x 2 , y = 2x ,
• Koªo o promieniu R 2 .
Jak wygl¡da denicja normalno±ci i regularno±ci dla zbiorów w Rn ?
Powierzchnie
Twierdzenie Fubiniego
Twierdzenie
Niech P = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] oraz niech f : P → R b¦dzie funkcj¡
ci¡gª¡. Wtedy
Z
Z
b1
f (x)dx =
P
Z
bn−1
Z
bn
an−1
f (x1 , . . . , xn )dxn dxn−1 . . . dx1 .
...
a1
an
Powierzchnie
Twierdzenie Fubiniego
Twierdzenie
Niech P = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] oraz niech f : P → R b¦dzie funkcj¡
ci¡gª¡. Wtedy
Z
Z
b1
f (x)dx =
P
Z
bn−1
Z
bn
an−1
f (x1 , . . . , xn )dxn dxn−1 . . . dx1 .
...
a1
an
Wzór ten ma uogólnienie do obszarów normalnych.
Musimy jednak wtedy
R
pami¦ta¢ o granicach caªkowania! Oblicz D (2x + y )dxdy gdzie D jest
obszarem ograniczonym liniami y = −1, y = −x 2 .
Powierzchnie
Zmiana zmiennych w caªce
Twierdzenie
Niech ∆, D ⊂ R2 b¦d¡ zbiorami otwartymi oraz niech
• ϕ : ∆ → D b¦dzie bijekcj¡ klasy C 1 ,
• ϕ−1 : D → ∆ b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡,
• det Jϕ (u, v ) 6= 0 dla (u, v ) ∈ ∆.
Je±li f : D → R2 jest funkcj¡ caªkowaln¡ po zbiorze D , to funkcja
(u, v ) → (f ◦ ϕ)(u, v ) · | det Jϕ (u, v )|
jest caªkowalna po zbiorze ∆ oraz
Z
Z
f (x)dx =
D
∆
f (ϕ(u)) · | det Jϕ (u)|du.
Powierzchnie
Biegunowa zmiana zmiennych
Denicja
Niech
ϕ : (0, +∞) × (0, 2π) → R2 \{(x, 0) : x ∈ [0, +∞)}
ϕ(r , α) = (r cos α, r sin α)
Potocznie zapisujemy te wzory w postaci:
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
Zauwa»my, »e
0 < r , 0 < α < 2π.
cos α −r sin α
,
sin α r cos α
Jϕ (r , α) =
zatem det Jϕ (r , α) = r cos2 α + r sin2 α = r .
Powierzchnie
Walcowa zmiana zmiennych
Denicja
Niech
ϕ : (0, +∞) × (0, 2π) × R → R2 \{(x, 0) : x ∈ [0, +∞)} × R
ϕ(r , α, z) = (r cos α, r sin α, z)
x = r cos ϕ,
Zauwa»my, »e
y = r sin ϕ, z = z,
0 < r , 0 < α < 2π, z ∈ R .
cos α −r sin α 0
Jϕ (r , α) =  sin α r cos α 0 ,
0
0
1

zatem det Jϕ (r , α, z) = r cos2 α + r sin2 α = r .

Powierzchnie
Wspóªrz¦dne sferyczne w przestrzeni R3
Denicja
Niech
ϕ : (0, +∞) × (0, 2π) × (− π2 , π2 ) → R3 \{(x, 0, z) : x ∈ [0, +∞), z ∈ R}
ϕ(r , α, β) = (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β)
x = r cos α cos β,
y = r sin α cos β, z = r sin β,
0 < r , 0 < α < 2π, − π2 < β < π2 .
Zauwa»my, »e
cos α cos β −r sin α cos β −r cos α sin β
Jϕ (r , α, ϕ) =  sin α cos β r cos α cos β −r sin α sin β  ,
sin β
0
r cos β

zatem det Jϕ (r , α, ϕ) = r 2 cos2 β .

Powierzchnie
Przykªady
• Oblicz obj¦to±¢ sfery x 2 + y 2 + z 2 < R 2 .
• Oblicz
R
K (0,R)
x 2 + y 2 + z 2 dxdydz .
Powierzchnie
Powierzchnie
Denicja
Niech D b¦dzie obszarem regularnym w R2 , a σ : D → R3 b¦dzie funkcj¡
ci¡gªa. Funkcj¦ σ nazywamy powierzchni¡ 2-wymiarow¡ w przestrzeni
R3 , a funkcj¦ σ parametryzacj¡ zbioru σ(D).
Powierzchnie
Powierzchnie
Denicja
Niech D b¦dzie obszarem regularnym w R2 , a σ : D → R3 b¦dzie funkcj¡
ci¡gªa. Funkcj¦ σ nazywamy powierzchni¡ 2-wymiarow¡ w przestrzeni
R3 , a funkcj¦ σ parametryzacj¡ zbioru σ(D).
Mówimy, »e S jest regularna je±li funkcja σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) jest klasy C 1
oraz wektory styczne
∂σ1
∂σ1
∂σ2
∂σ3
∂σ2
∂σ3
(u, v ),
(u, v ),
(u, v ) ,
(u, v ),
(u, v ),
(u, v )
∂u
∂u
∂u
∂v
∂v
∂v
s¡ liniowo niezale»ne w R3 .
Stosujemy ten sam zapis dla domkni¦cia zbioru f (D).
Powierzchnie
Przykªady
Uwaga
Je±li dana jest powierzchnia σ : D → R3 , a σ = (σ1 , σ2 , σ3 ), to
powierzchni¦ t¦ mo»na opisa¢ u»ywaj¡c notacji w postaci:
x = σ1 (u, v ), y = σ2 (u, v ), z = σ3 (u, v ).
Przykªad
Je±li mamy funkcj¦ f : D → R gdzie D ⊂ R2 jest obszarem normalnym,
to wykres S tej funkcji, czyli zbiór
S = (x, y , f (x, y ) ∈ R3 : (x, y ) ∈ D)
jest obrazem pewnej powierzchni. Powierzchni¦ ta jest opisana przez
wzory
σ : D → R3 , σ(x, y ) = (x, y , f (x, y )).
Powierzchnie
Przykªady cd.
Przykªad
Niech
σ : (0,
π
2
) × (0,
π
2
) → S ⊂ R3 , σ = (σ1 , σ2 , σ3 )
x = σ1 (α, β) = R cos α cos β,
y = σ2 (α, β) = R sin α cos β,
z = σ3 (α, β) = R sin β.
Wtedy S jest cz¦±ci¡ sfery o ±rodku w punkcie 0, promieniu R , tak¡, »e
x > 0, y > 0, z > 0.
Powierzchnie
Przykªady cd.
Przykªad
Powierzchnie
Przykªady cd.
Przykªad
Powierzchni¦ {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x > 0, y > 0, z > 0}
mo»na równie»
p okre±li¢ przez funkcj¦ f : D → R, gdzie
f (x, y ) = R 2 − x 2 − y 2 oraz
D = {(x, y ) ∈ R2 : x 2 + y 2 < R 2 , x > 0, y > 0}.
Przykªad
Sfera S = {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 } jest dana jako domkni¦cie
powierzchni
π π
σ : (0, 2π) × (− , ) → S ⊂ R3 , σ = (σ1 , σ2 , σ3 )
2 2
Powierzchnie
Przykªady cd.
Przykªad
Powierzchni¦ boczn¡ walca
S = {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 = R, a < z < b}
mo»emy bada¢ jako obraz funkcji:
σ : (0, 2π) × (a, b) → S ⊂ R3 ,
(x, y , z) = σ(t, z) = (R cos t, R sin t, z).
Powierzchnie
Przykªady cd.
Denicja
Niech σ : D → S ⊂ R3 , σ = (σ1 , σ2 , σ3 ). Pªaszczyzn¡ styczn¡ w punkcie
(x0 , y0 , z0 ) = σ(u0 , v0 ), (gdzie (u0 , v0 ) ∈ D ) nazywamy pªaszczyzn¦
rozpi¦t¡ przez wektory styczne:
∂σ2
∂σ3
(u0 , v0 ),
(u0 , v0 ) ,
∂u
∂u
∂u
∂σ
∂σ2
∂σ3
1
b=
(u0 , v0 ),
(u0 , v0 ),
(u0 , v0 ) ,
∂v
∂v
∂v
a=
∂σ
1
(u0 , v0 ),
Pªaszczyn¦ styczn¡ wyra»a równanie:
(x, y , z) = (x0 , y0 , z0 ) + as + bt,
s, t ∈ R3 .
Powierzchnie
Wektor normalny
Denicja
Niech σ : D → S ⊂ R3 , σ = (σ1 , σ2 , σ3 ). Wektorem normalnym do
powierzchni S w punkcie (x0 , y0 , z0 ) = σ(u0 , v0 ), (gdzie (u0 , v0 ) ∈ D
nazywamy wektor prostopadªy do pªaszczyzny stycznej w punkcie
(x0 , y0 , z0 ) i oznaczamy n = (n1 , n2 , n3 ). Normalna w punkcie x0 , y0 , z0
jest prost¡ prostopadª¡ do pªaszczyzny stycznej i przechodz¡c¡ przez ten
punkt.
Powierzchnie
Wektor normalny wzór
Wektor normalny w punkcie (x0 , y0 , z0 ) = σ(u0 , v0 ) jest iloczynem
wektorowym wektorów stycznych a i b. St¡d, wspóªrz¦dne wektora
n = (n1 , n2 , n3 ) przyjmuj¡ posta¢:
n1 = det
n2 = − det
n3 = det
∂σ2
∂u (u0 , v0 )
∂σ2
∂v (u0 , v0 )
∂σ1
∂u (u0 , v0 )
∂σ1
∂v (u0 , v0 )
∂σ1
∂u (u0 , v0 )
∂σ1
∂v (u0 , v0 )
∂σ3
∂u (u0 , v0 )
∂σ3
∂v (u0 , v0 )
∂σ3
∂u (u0 , v0 )
∂σ3
∂v (u0 , v0 )
∂σ2
∂u (u0 , v0 )
∂σ2
∂v (u0 , v0 )
,
,
.
Równanie prostej normalnej zapisujemy nast¦puj¡co:
(x, y , z) = (x0 , y0 , z0 ) + (n1 , n2 , n3 )t . Równanie pªaszczyzny stycznej dane
jest wzorem: n1 (x − x0 ) + n2 (y − y0 ) + n3 (z − z0 ) = 0.
Powierzchnie
Przykªad
Oblicz wektor normalny oraz jego dªugo±¢ dla sfery o promieniu R ,
Uwaga
Niech S b¦dzie powierzchni¡ zadan¡ przez funkcj¦ f : D → R klasy C 1 , a
wi¦c σ(x, y ) = (x, y , f (x, y )). Wtedy wektory styczne w punkcie
(x0 , y0 , z0 ) gdzie z0 = f (x0 , y0 ) maj¡ posta¢
(1, 0, fx0 (x0 , y0 ), (0, 1, fy0 (x0 , y0 ),
natomiast wektor normalny ma posta¢
n = (−fx0 (x0 , y0 ), −fy0 (x0 , y0 ), 1).
Przykªad
Wyznacz równanie pªaszczyzny stycznej do paraboloidy o równaniu
f (x, y ) = 4 − x 2 − y 2 dla x = 1, y = −1.
Powierzchnie
Orientacja powierzchni
• Dwie strony powierzchni
• Przesuwanie wektora normalnego po powierzchni
• Orientacja dodatnia i ujemna
• Wst¦ga Mobiusa
Powierzchnie
Pole powierzchni
Denicja
Niech obszar D b¦dzie regularny oraz niech σ : D → S ⊂ R3 b¦dzie
powierzchni¡.
Dzielimy powierzchni¦ S siatk¡ krzywych gªadkich na cz¦sci S1 , . . . , Sn .
W ka»dej z tych cz¦sci wybieramy punkt Pi ∈ Si .
Zakªadamy, »e w ka»dym z tych punktów istnieje pªaszczyzna styczna.
Niech Ti b¦dzie rzutem Si na t¦ pªaszczyzn¦.
Zaªó»my, »e rzut Ti jest mierzalny w sensie Jordana a jego miara wynosi
|Ti |.
Najwi¦ksz¡P
srednic¦ rzutów Ti nazywamy srednic¡ podziaªu.
Jesli sumy ni=1 |Ti | s¡ zbie»ne do tej samej granicy dla dowolnego
wyboru ciagu podziaªów S dla którego ci¡g srednic d¡»y do 0, to granic¦
t¦ nazywamy polem powierzchni D
Powierzchnie
Pole powierzchni - wzór
Twierdzenie
Gdy D jest regularny, a σ : D → S ⊂ R3 jest powierzchni a regularn¡, to
Z Z
|S| =
kn(u, v )kdudv =
Z Z q
n12 (u, v ) + n22 (u, v ) + n32 (u, v )dudv ,
gdzie n(u, v ) jest wektorem normalnym w punkcie σ(u, v ).
Powierzchnie
Przykªady
• Oblicz pole powierzchni sfery o promieniu R ,
• Ile wynosi pole powierzchni powierzchni zadanej przez funkcj¦
f : D → R, gdzie D ⊂ R2 jest obszarem regularnym?
Powierzchnie
Caªka niezorientowana
Denicja
Niech obszar D b¦dzie regularny oraz niech σ : D → S ⊂ R3 b¦dzie
powierzchni¡.
Dzielimy powierzchni¦ S siatk¡ krzywych gªadkich na cz¦sci S1 , . . . , Sn .
W ka»dej z tych cz¦sci wybieramy punkt Pi ∈ Si .
Zakªadamy, »e w ka»dym z tych punktów istnieje pªaszczyzna styczna.
Niech Ti b¦dzie rzutem Si na t¦ pªaszczyzn¦.
Zaªó»my, »e rzut Ti jest mierzalny w sensie Jordana a jego miara wynosi
|Ti |.
Najwi¦ksz¡P
srednic¦ rzutów Ti nazywamy srednic¡ podziaªu.
Jesli sumy ni=1 f (Pi )|Ti | s¡ zbie»ne do tej samej granicy dla dowolnego
wyboru ciagu podziaªów S dla którego ci¡g srednic d¡»y do 0, to granic¦
t¦ nazywamy caªk¡ powierzchniow¡
niezorientowan¡ funkcji f po
RR
powierzchni D i oznaczamy
fdS
S
Powierzchnie
Zamiana caªki powierzchniowej na caªk¦ Riemanna
Twierdzenie
Niech D b¦dzie obszarem regularnym oraz niech σ : D → S ⊂ R3 b¦dzie
powierzchni¡ regularn¡, a f : S → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Wtedy:
Z Z
Z Z
fdS =
S
f (σ(u, v ))kn(u, v )kdudv .
D
Powierzchnie
Zamiana caªki powierzchniowej na caªk¦ Riemanna
Twierdzenie
powierzchni¡ regularn¡, a f : S → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Wtedy:
Z Z
Z Z
fdS =
S
f (σ(u, v ))kn(u, v )kdudv .
D
Gdy σ(x, y ) = (x, y , h(x, y )), to
Z Z
Z Z
fdS =
S
f (x, y , h(x, y ))
D
q
1 + hx02 (x, y ) + hy02 (x, y )dxdy .
Powierzchnie
Caªka powierzchniowa niezorientowana
Przykªad
Oblicz
RR
S
zdS , gdzie S = {(x, y , z) : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z > 0}.
Powierzchnie
Caªka powierzchniowa zorientowana
Denicja
orientowaln¡ powierzchni¡ regularn¡. Oznaczmy przez ν = (ν1 , ν2 , ν3 )
n
jednostkowy wektor normalny, tzn. ν = knk
. Niech
3
f = (P, Q, R) : S → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Caªk¡ powierzchniow¡
zorientowan¡ funkcji f po S nazywamy caªk¦
Z Z
Z Z
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
S
S
P · ν1 + Q · ν2 + R · ν3 dS.
Powierzchnie
Uwaga
Wybierzmy odwrotn¡ orientacj¦ O − powierzchni S i oznaczmy j¡ przez
S − . Wtedy
Z Z
Z Z
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = −
S−
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy .
S
Twierdzenie
Wykorzystuj¡c wzór na caªk¦ powierzchniow¡ niezrientowan¡
otrzymujemy
Z Z
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
Z Z
=
P(σ(u, v ))n1 (u, v )+Q(σ(u, v ))n2 (u, v )+R(σ(u, v ))n3 (u, v )dudv .
D
Powierzchnie
Uwaga
Gdy σ(x, y ) = (x, y , h(x, y )), to
Z Z
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
Z Z
=
D
− P(x, y )hx0 (x, y ) − Q(x, y )hy0 (x, y ) + R(x, y , h(x, y ))dxdy .
Powierzchnie
Caªka powierzchniowa zorientowana cd.
Przykªad
Oblicz
RR
(y − z)dydz + (z − x)Qdzdx + (x − y )dxdy , gdzie S jest
S
wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni
(x, y , z) : x 2 + y 2 = z 2 , 0 6 z 6 h, 0 6 h .
Powierzchnie
Wzór Greena
Twierdzenie
Niech D ⊂ R2 b¦dzie obszarem normalnym ze wzgl¦du na obie zmienne.
Niech brzeg ∂D b¦dzie krzyw¡ zamkni¦t¡, kawaªkami gªadk¡,
zorientowan¡ dodatnio i niech f = (P, Q) : D → R2 b¦dzie funkcj¡ klasy
C (1) . Wtedy:
Z Z Z
Pdx + Qdy =
∂D
D
∂P
∂Q
−
dxdy .
∂x
∂y
Powierzchnie
Wzór Greena
Twierdzenie
Niech D ⊂ R2 b¦dzie obszarem normalnym ze wzgl¦du na obie zmienne.
Niech brzeg ∂D b¦dzie krzyw¡ zamkni¦t¡, kawaªkami gªadk¡,
zorientowan¡ dodatnio i niech f = (P, Q) : D → R2 b¦dzie funkcj¡ klasy
C (1) . Wtedy:
Z Z Z
Pdx + Qdy =
∂D
∂P
∂Q
−
dxdy .
∂x
∂y
D
Uwaga
Niech P(x, y ) = − 21 y , Q(x, y ) = 21 x . Wtedy
Z
Z Z
Pdx + Qdy =
∂D
D
( 12 + 12 )dxdy = |D|.
Powierzchnie
Wzór Greena cd.
Przykªad
Oblicz pole obszaru ograniczonego elips¡
y2
x2
+ 2 = 1.
2
a
b
Powierzchnie
Wzór Greena cd.
Przykªad
Oblicz pole obszaru ograniczonego elips¡
y2
x2
+ 2 = 1.
2
a
b
Twierdzenie Greena jest wykorzystywane w planimetrach, które sªu»¡ do
obliczania powierzchni. Licz¡ one w rzeczywistoci caªk¦ krzywoliniow¡
zorientowan¡ i dzi¦ki Twierdzeniu Greena wyliczaj¡ pole powierzchni.
Powierzchnie
Wzór Greena cd.
Przykªad
Oblicz caªk¦
Z p
p
x 2 + y 2 dx + y (xy + ln(x + x 2 + y 2 ))dy .
K
Powierzchnie
Funkcje potencjalne
Denicja
Zbiór D ⊂ Rn nazywamy ªukowo spójnym gdy dla dowolnych dwóch
punktów x , y ∈ D istnieje krzywa ϕ : [a, b] → Rn o pocz¡tku w punkcie x
i ko«cu w punkcie y , zawarta w zbiorze D .
Powierzchnie
Funkcje potencjalne
Denicja
Zbiór D ⊂ Rn nazywamy ªukowo spójnym gdy dla dowolnych dwóch
punktów x , y ∈ D istnieje krzywa ϕ : [a, b] → Rn o pocz¡tku w punkcie x
i ko«cu w punkcie y , zawarta w zbiorze D .
Denicja
Niech D ⊂ Rn b¦dzie otwarty oraz ªukowo spójny ora niech f : D → Rn .
Funkcj¡ pierwotn¡ (potencjaªem) funkcji f nazywamy funkcj¦ F : D → R
∂f
tak¡, »e F 0 = f . (tzn. f = (f1 , . . . , fn ) oraz ∂x
(x) = fi (x) dla x ∈ D )
i
Mówimy, »e f jest funkcj¡ potencjaln¡.
Powierzchnie
Funkcje potencjalne
Denicja
Niech D ⊂ Rn b¦dzie otwarty oraz ªukowo spójny. Niech f : D → Rn ,
f = (f1 , . . . , fn ). Mówimy, »e caªka krzywoliniowa zorientowana funkcji f
nie zale»y od drogi caªkowania mi¦dzy punktami u , v ∈ D gdy dla
ka»dych
R
Rkrzywych K1 , K2 o pocz¡tku w u i ko«cu w v mamy
K1
f =
K2
f.
Powierzchnie
Funkcje potencjalne
Denicja
Niech D ⊂ Rn b¦dzie otwarty oraz ªukowo spójny. Niech f : D → Rn ,
f = (f1 , . . . , fn ). Mówimy, »e caªka krzywoliniowa zorientowana funkcji f
nie zale»y od drogi caªkowania mi¦dzy punktami u , v ∈ D gdy dla
ka»dych
R
Rkrzywych K1 , K2 o pocz¡tku w u i ko«cu w v mamy
K1
f =
K2
f.
Twierdzenie
Niech D ⊂ Rn b¦dzie otwarty oraz ªukowo spójny oraz taki, »e Rn \D jest
zbiorem spójnym. Zaªó»my, »e f : D → Rn , f = (f1 , . . . , fn ) jest klasy C (1)
w D . Wtedy nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne
(a) funkcja f jest potencjalna
(b)
∂fi
∂xj
(x) =
∂fj
∂xi
(x) dla x ∈ D oraz i, j = 1, . . . n,
(c) dla ka»dych dwóch punktów u , v ∈ D caªka krzywoliniowa funkcja f
nie zale»y od drogi caªkowania.
Powierzchnie
Funkcje potencjalne cd.
Uwaga
Niech f : D → Rn klasy C (1) w D b¦dzie funkcj¡ potencjaln¡ oraz niech
F : D → R b¦dzie potencjaªem funkcji f . Wtedy dla u , v ∈ D
otrzymujemy
Z v
f = F (v ) − F (u).
u
Przykªad
Oblicz caªk¦
Z
(3,2)
(0,1)
(4xy 3 −
1
y
)dx + (6x 2 y 2 +
x
+ y )dy .
y2
Powierzchnie
Twierdzenie Greena-Ostrogradskiego
Twierdzenie
Niech V ⊂ R3 b¦dzie zbiorem normalnym ze wzgl¦du na wszystkie
zmienne i niech ∂V b¦dzie powierzchni¡ kawaªkami C (1) zoreintowan¡ na
zewn¡trz. Zaªó»my, »e funkcja f = (P, Q, R) : V ∪ ∂V → R3 jest ci¡gªa
oraz klasy C (1) w V . Wtedy
Z Z
Z Z Z
∂V
V
∂Q
∂R
∂P
+
+
dxdydz.
∂x
∂y
∂z
Powierzchnie
Twierdzenie Greena-Ostrogradskiego
Twierdzenie
Niech V ⊂ R3 b¦dzie zbiorem normalnym ze wzgl¦du na wszystkie
zmienne i niech ∂V b¦dzie powierzchni¡ kawaªkami C (1) zoreintowan¡ na
zewn¡trz. Zaªó»my, »e funkcja f = (P, Q, R) : V ∪ ∂V → R3 jest ci¡gªa
oraz klasy C (1) w V . Wtedy
Z Z
Z Z Z
∂V
∂Q
∂R
∂P
+
+
dxdydz.
∂x
∂y
∂z
V
Przykªad
Oblicz
RR
S
xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie S jest sfer¡ o promieniu R
zorientowan¡ na zewn¡trz.
Powierzchnie
Twierdzenie Stokesa
Twierdzenie
Niech D ⊂ R2 b¦dzieobszarem regularnym i niech σ : D → R3 b¦dzie
powierzchni¡ regularn¡, zorientowan ¡, z brzegiem ∂S b¦d¡cym krzyw¡
kawaªkami gªadk¡.Zaªó»my, »e powierzchnia S jest zorientowana zgodnie
z jej parametryzacj¡, to znaczy w taki sposób, aby zgodnie z reguª¡ ±ruby
prawoskr¦tnej obieg dookoªa krzy2wej wyznaczaª zwrot wektora
normalnego do powierzchni. Niech G ⊂ R3 b¦dzie zbiorem otwartym
takim, »e S ∪ ∂S ⊂ G . Zaªó»my, »e funkcja f = (P, Q, R) : G → R3 jet
funkcj¡ klasy C (1) w G . Wtedy
Z
Pdx + Qdy + Rdz
∂S
Z Z Z =
S
∂P ∂R
∂Q ∂P
∂R ∂Q
dydz +
dzdx +
dxdy .
−
−
−
∂y
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
Powierzchnie
Twierdzenie Stokesa
Przykªad
Oblicz
RR
S
xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie S jest sfer¡ o promieniu R
zorientowan¡ na zewn¡trz.
Powierzchnie
Przykªady
Przykªad
Ciaªo staªe o masie pocz¡tkowej m zanurzone w cieczy rozpuszcza si¦
proporcjonalnie ze wspóªczynnikiem λ do masy ciaªa nierozpuszczonego.
Szukamy funkcji y : [0, +∞) → R okrelaj¡cej mas¦ ciaªa rozpuszczonego
w chwili t . Pr¦dko±¢ rozpuszczania okre±la pochodna dy
dt . Masa ciaªa
nierozpuszczonego w chwili t wynosi m − y (t). Wtedy
dy
= λ(m − y (t)).
dt
Powierzchnie
Model rozwoju populacji
Przykªad
Przyjmujemy, »e przyrost populacji jest wprost proporcjonalny do pewnej
funkcji zale»nej od liczby osobników. Zapisujemy to w postaci
x 0 (t) = f (x(t)),
gdzie x(t) to liczba osobników w chwili t , a f jest pewn¡ znan¡ funkcj¡.
W klasycznym modelu Malthusa przyjmujemy f (x) = λx . Model, gdy
dost¦p do po»ywienia jest ograniczony lepiej opisuje funkcja
f (x) = λx(1 − x).
Powierzchnie
Denicja
Denicja
Niech F : D → R, gdzie D ⊂ R3 jest obszarem. Niech I b¦dzie
przedziaªem.Zagadnienie polegaj¡ce na znalezieniu funkcji y : I ]to R klasy
C (1) takiej, »e
F (x, y (x), y 0 (x)) = 0
dla ka»dego i ∈ I nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym rz¦du
pierwszego.
Uwaga: Rozwi¡za« równania ró»niczkowego jest zazwyczaj niesko«czenie
wiele.
Powierzchnie
Denicja
Denicja
Niech F : D → R, gdzie D ⊂ R3 jest obszarem. Niech I b¦dzie
przedziaªem.Zagadnienie polegaj¡ce na znalezieniu funkcji y : I ]to R klasy
C (1) takiej, »e
F (x, y (x), y 0 (x)) = 0
(1)
dla ka»dego i ∈ I nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym rz¦du
pierwszego.
Uwaga: Rozwi¡za« równania ró»niczkowego jest zazwyczaj niesko«czenie
wiele.
Uwaga
Cz¦sto rozwa»amy problem istnienia rozwi¡zania z dodatkowym
warunkiem y (x0 ) = y0 dla pewnych x0 ∈ I oraz y0 ∈ R.
Powierzchnie
Jednoznaczno±¢ rozwi¡zania
Denicja
Niech x0 ∈ I oraz y0 ∈ R. Je±li dla dowolnych dwóch rozwi¡za« y ,
ỹ : I → R równania ró»niczkowego postaci (1) takich, »e
y (x0 ) = y0 = ỹ (x0 ) wynika y (x) = ỹ (x) dla ka»dego x ∈ I , to mówimy,
»e równanie ró»niczkowe postaci (1) ma jednoznaczne rozwi¡zanie.
Denicja
Równanie postaci y 0 = f (x, y ) nazywamy postaci¡ normaln¡ równania
ró»niczkowego rz¦du pierwszego.
Twierdzenie
Je±li funkcja f : D → R jest ci¡gªa w obszarze D oraz pochodna
∂f
cz¡stkowa ∂y
jest ci¡gªa w D , to przez ka»dy punkt (x0 , y0 ) obszaru D
przechodzi dokªadnie jedno rozwi¡zanie y : I → R, x → y (x) speªniaj¡ce
równanie y 0 = f (x, y ).
Powierzchnie
Typy równa«
Szczególne typy równa« ró»niczkowych pierwszego rz¦du:
• równania o rozdzielonych zmiennych,
• równania postaci y 0 = f (ax + by + c),
• równania postaci y 0 = f ( yx ),
• równania liniowe jedno i niejednorodne y 0 + p(x)y = q(x).
• równanie Bernoulliego y 0 + p(x)y = q(x)y n .

Wyklad III semestr

Transkrypt

Podobne dokumenty

Liczby zespolone 1. Algebra liniowa 2. Przestrzenie wektorowe 3

Twierdzenie Nasha-Mosera o lokalnym dyfeomorfizmie

okazja zabawki

co za dziewczyna - Seweryn Krajewski Fundacja

Oto Pan Bóg przyjdzie

Modelowanie Matematyczne CzŚą˘ druga Równanie Van der Pola

Zobaczcie jaką miłością

Kołysanka dla Dzieciątka

Zadanie 5. (5pkt) Ciąg liczbowy ( , , ) jest arytmetyczny i + +

Okazja do wpisu b dzie 22 wrze nia o 9:30 w sali 151 paw. B